Hoofdstuk 8
Modelleren (VWO)
§1 Modelleren §2 De vrije val
§1 Modelleren
In dit hoofdstuk gaan we de computer gebruiken voor het beschrijven van natuurkundige processen. We doen dit met behulp van natuurkundige modellen. In deze paragraaf introduceren we een programma waarmee dergelijke modellen te maken zijn.
In dit hoofdstuk gaan we leren modelleren. Laten we met een simpel voorbeeld van een model beginnen. Stel een leerling heeft op een bepaald tijdstip 15 euro in zijn spaarpot en krijgt elke week 2 euro zakgeld. Met een model kunnen we dan een grafiek maken waarbij we de hoeveelheid geld in zijn spaarpot uitzetten tegen de tijd. Klik op 'play' om het resultaat te zien:
Links van de grafiek zien we twee kolommen. In de rechter kolom vullen we de zogenaamde startwaarden in. Hier vullen we voor alle relevante grootheden de beginwaarde in. Ook noteren we hier constanten die we nodig hebben. Met de eerste regel zorgen we dat we de tijd starten op tijdstip t = 0. Met de tweede regel bepalen hoe groot een tijdstapje dt is. Met de laatste twee regels bepalen we hoeveel geld er aan het begin in de spaarpot zit en hoeveel zakgeld elke week gegeven wordt.
In de linker kolom noteren we de zogenaamde modelregels. Hier schrijven we een aantal wiskundige operaties op, waarmee het programma kan uitrekenen wat de waarde van de relevante grootheden gaat zijn een tijdstapje dt later. Elk tijdstapje worden alle modelregels doorlopen, zodat het model steeds verder in de tijd evolueert. We noemen dit herhaaldelijk doorlopen van de regels een iteratief proces.
In dit model gebruiken we twee modelregels:
- t = t + dt
- spaarpot = spaarpot + zakgeld
In de eerste regel wordt de tijd t een tijdstapje dt vooruitgezet. Het "="-teken dat we in deze modelregels zien heeft niet de gebruikelijke betekenis. In programmeertalen staat het "="-teken voor: "wordt gelijk aan". In woorden is de eerste modelregel dus:
- De nieuwe tijd t wordt gelijk aan de huidige tijd t plus een tijdstapje dt
De tweede modelregel vertelt ons dat de nieuwe waarde in de spaarpot gelijk wordt aan de huidige waarde plus het zakgeld.
Nog een voorbeeld. Een leerling heeft 50 euro en koopt hiervan elke dag een broodje van 3,40 euro. Als hij echter minder dan 20 euro over heeft, dan gaat hij iets zuiniger aan doen en koopt hij een broodje van slechts 1,40 euro. Als zijn geld op is, dan kan hij natuurlijk niks meer uitgeven. Op dit moment willen we dan ook dat de grafiek stopt. Het model ziet er dan als volgt uit:
Bij de modelregels wordt nu gebruik gemaakt van de als-dan-anders-stelling:
- als(spaarpot > 20)
- dan{kosten = 3,4}
- anders{kosten = 1,4}
Hier staat dat als er meer dan 20 euro in de spaarpot zit, dat de gemaakte kosten per dag dan 3,4 euro zijn. Als er minder dan 20 euro in de spaarpot zit, dan worden de kosten 1,4 euro. In de regel die hierop volgt wordt uitgerekend hoeveel geld de persoon na deze tijdstap nog overhoudt:
- spaarpot = spaarpot - kosten
Merk op dat de volgorde hier belangrijk is! Eerst moeten de kosten per dag bepaald worden en pas dan kan je uitrekenen hoeveel geld de persoon aan het eind van die dag overhoudt.
Uiteindelijk geven we het stop-commando als de persoon minder dan 1,40 euro over heeft en dus geen broodje meer kan kopen:
- als(spaarpot < 1,4)
- dan{stop}
Hieronder vind je een lijstje met wiskundige symbolen die je bij het modelleren kan gebruiken:
|
Vermenigvuldigen |
* |
|
Delen |
/ |
|
Macht |
^ |
|
Wortel |
sqrt |
INSTRUCTIE:
Modelleren
Zorg dat je de basisoperaties van modelleren beheerst
|
|
§2 De vrije val
In deze paragraaf bestuderen we een model waarmee we een vrije val kunnen beschrijven.
Hieronder zien we het model van een steen die we met een snelheid van 40 m/s omhoogschieten vanaf hoogte x = 0 m. We verwaarlozen de wrijvingskrachten en spreken daarom van een vrije val:
Laten we eerst naar de startwaarden kijken:
- t = 0
- dt = 0.05
- x = 0
- v = 40
- g = -9.81
De hoogte x zetten we aan het begin op 0. De snelheid zetten we aan het begin op 40. De versnelling van een voorwerp dat een vrije val ondergaat is gelijk aan de valversnelling g = -9,81 m/s2. Het minteken geeft hier aan dat de versnelling naar beneden gericht is.
Nu de modelregels. De eerste drie regels zijn:
- t = t + dt
- v = v + g*dt
- x = x + v*dt
Met de tweede regel wordt elk tijdstapje de nieuwe snelheid van de steen berekend. Hoe komen we aan deze formule? Voor een vrije val geldt:
$$ g = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$Dit kunnen we herschrijven tot:
$$ \Delta v = g \times \Delta t $$Δv staat voor de toename van de snelheid tijdens het tijdstapje Δt. Om de nieuwe snelheid uit te rekenen hebben we daarom de volgende regel nodig:
- v = v + dv
In woorden staat hier:
- De nieuwe snelheid v wordt gelijk aan de huidige snelheid v plus de toename van de snelheid dv .
Omdat dv = g*dt, wordt de regel:
- v = v + g*dt
Bij de modelregel x = x + v*dt gebeurt iets soortgelijks. Hier maken we gebruik van:
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$Dit schrijven we om tot:
$$ \Delta x = v \times \Delta t $$Δx staat voor de verplaatsing van de steen tijdens het tijdstapje Δt. Om de nieuwe hoogte uit te rekenen hebben we daarom de volgende regel nodig:
- x = x + dx
In woorden staat hier:
- De nieuwe hoogte x wordt gelijk aan de huidige hoogte x plus de toename van de hoogte dx .
Omdat dx = v*dt, wordt de regel:
- x = x + v*dt
In dit model hebben we ook nog een als-dan-stelling toegevoegd:
- als(x < 0)
- dan{stop}
Deze stelling zorgt ervoor dat de grafiek stopt als de steen de grond raakt. Het voorwerp raakt de grond als x = 0, maar we hebben hier toch gekozen voor de modelregel x < 0. Dit komt omdat het programma rekent in tijdstapjes van grootte dt en het dus mogelijk is dat de grafiek de tijd-as passeert zonder dat x ooit precies nul wordt.
INSTRUCTIE:
De vrije val
|
Zorg dat je de vrije val kan modelleren
|
|