BASIS
BEWEGING
KRACHT
ELEKTRICITEIT
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
MECHANICA
ENERGIE
MOMENT
MODELLEREN
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden

Hoofdstuk 8
Modelleren (VWO)

§1     Modelleren

In dit hoofdstuk gaan we de computer gebruiken voor het beschrijven van natuurkundige processen. We doen dit met behulp van natuurkundige modellen. In deze paragraaf introduceren we een programma waarmee dergelijke modellen te maken zijn.

In dit hoofdstuk gaan we leren modelleren. Laten we met een simpel voorbeeld van een model beginnen. Stel een leerling heeft op een bepaald tijdstip 15 euro in zijn spaarpot en krijgt elke week 2 euro zakgeld. Met een model kunnen we dan een grafiek maken waarbij we de hoeveelheid geld in zijn spaarpot uitzetten tegen de tijd. Klik op 'play' om het resultaat te zien:

AFBEELDING BOEK!!!

Links van de grafiek zien we twee kolommen. In de rechter kolom vullen we de zogenaamde startwaarden in. Hier vullen we voor alle relevante grootheden de beginwaarde in. Ook noteren we hier constanten die we nodig hebben. Met de eerste regel zorgen we dat we de tijd starten op tijdstip t = 0. Met de tweede regel bepalen hoe groot een tijdstapje dt is. Met de laatste twee regels bepalen we hoeveel geld er aan het begin in de spaarpot zit en hoeveel zakgeld elke week gegeven wordt.

In de linker kolom noteren we de zogenaamde modelregels. Hier schrijven we een aantal wiskundige operaties op, waarmee het programma kan uitrekenen wat de waarde van de relevante grootheden gaat zijn een tijdstapje dt later. Elk tijdstapje worden al deze regels dus doorlopen. We noemen dit herhaaldelijk doorlopen van de regels een iteratief proces.

Bij dit model lezen we:

In de eerste regel wordt de tijd t een tijdstapje dt vooruit gezet. Het '='-teken dat we in deze modelregels zien heeft niet de gebruikelijke betekenis. Bij modelleren staat het '='-teken voor het woord 'wordt'. In woorden is de eerste modelregel dus:

De tweede modelregel vertelt ons dat de nieuwe waarde in de spaarpot gelijk wordt aan de huidige waarde plus het zakgeld.

Nog een voorbeeld. Een leerling heeft 50 euro en koopt hiervan elke dag een broodje van 3,40 euro. Als hij echter minder dan 20 euro over heeft, dan gaat hij iets zuiniger aan doen en koopt hij een broodje van slechts 1,40 euro. Als zijn geld op is, dan kan hij natuurlijk niks meer uitgeven. Op dit moment willen we dan ook dat de grafiek stopt. Het model ziet er dan als volgt uit:

AFBEELDING BOEK!!!

Bij de modelregels wordt nu gebruik gemaakt van de als-dan-anders-stelling:

Hier staat dat als er meer dan 20 euro in de spaarpot zit, dat de gemaakte kosten per dag dan 3,4 euro zijn. Als er minder dan 20 euro in de spaarpot zit, dan worden de kosten 1,4 euro. In de regel die hierop volgt wordt uitgerekend hoeveel geld de persoon na deze tijdstap nog overhoudt:

Merk op dat de volgorde hier belangrijk is! Eerst moeten de kosten per dag bepaald worden en pas dan kan je uitrekenen hoeveel geld de persoon aan het eind van die dag overhoudt.

Uiteindelijk geven we het stop-commando als het geld op is:

Let op dat we hier gebruik maken van een '<'-teken en niet van het '='-teken. Dit doen we omdat we werken in tijdstapjes dt en de kans klein is dat na een van deze tijdstapjes de persoon precies nul euro over zal hebben. Als gevolg zou bij gebruik van het '='-teken de grafiek gewoon doorlopen onder de horizontale as. Het '<'-teken zorgt ervoor dat het proces stopt zodra er een negatieve waarde bereikt wordt.

Ter afsluiting van deze paragraaf, vind je hieronder een lijstje met wiskundige symbolen die je bij het modelleren kan gebruiken voor een aantal wiskundige operaties:

Vermenigvuldigen

*

Delen

/

Macht

^

Wortel

sqrt

Inverse sinus

asin

         Beheersen van de basisoperaties van modelleren
  1. Beschrijf wat de modelregel 't=t+dt' betekent.
  2. Een persoon heeft 150 euro op de bank en krijgt een jaarlijkse rente van 2,1%. Maak een model waarmee een grafiek gemaakt kan worden waarmee de hoeveelheid geld wordt uitgezet tegen de tijd.
  3. Een bacteriekolonie neemt bij aanwezigheid van genoeg voedsel en ruimte elke dag met 20% toe. Een bepaalde soort bacteriekolonie kan niet boven de 1,0 miljoen bacteriën uitgroeien.
    1. Maak een model waarmee een grafiek gemaakt kan worden waarmee je de groei van deze kolonie tegen de tijd uitzet. Zorg ervoor dat de grafiek stopt als de 1,0 miljoen bacteriën bereikt is.
    2. Leg uit waarom je het '>'-teken moest gebruiken in de als-dan-stelling en niet gewoon het '='-teken.
  4. Met een thermostaat wordt de temperatuur in een woonkamer gemeten. Deze thermostaat bepaalt dan op basis van een ingestelde temperatuur of de verwarming aan- of uitgezet moet worden. Als de bewoner de verwarming aan zet is het 15 graden Celsius. Als de verwarming aan staat, neemt de temperatuur in de kamer 0,4 graden Celsius per uur toe. Als de verwarming uit staat, neemt de temperatuur 0,2 graden Celsius af. De bewoner heeft de temperatuur op 21 graden Celsius ingesteld. Dat wil zeggen dat de thermostaat de verwarming uitzet als deze boven de 21 graden komt. Als de temperatuur dan weer onder de 21 graden komt, dan wordt de verwarming weer aangezet. Maak dit model.
  5. Een radioactieve bron bevat 100 radioactieve deeltjes. Elke dag vervalt 5 procent van deze deeltjes door het uitzenden van straling. Maak een model waarbij je de overgebleven deeltjes uitzet tegen de tijd.

 

§2     De vrije val

In deze paragraaf bestuderen we een model waarmee we een vrije val kunnen beschrijven.

Hieronder zien we het model van een steen die we met een snelheid van 40 m/s omhoog schieten vanaf hoogte x = 0. We verwaarlozen de wrijvingskrachten en spreken daarom van een vrije val:

AFBEELDING BOEK!!!

Laten we eerst naar de startwaarden kijken:

De hoogte x zetten we aan het begin op 0. De snelheid zetten we aan het begin op 40. De versnelling van een voorwerp dat een vrije val ondergaat is gelijk aan de valversnelling g = -9,81 m/s2. Het minteken geeft hier aan dat de versnelling naar beneden gericht is.

Nu de modelregels. De eerste drie regels zijn:

Met de tweede regel wordt elk tijdstapje de nieuwe snelheid van de steen berekend. Hoe komen we aan deze formule? Voor een vrije val geldt:

$$ g = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$

Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ \Delta v = g \times \Delta t $$

Δv staat voor de toename van de snelheid tijdens het tijdstapje Δt. Om de nieuwe snelheid uit te rekenen hebben we daarom de volgende regel nodig:

In woorden staat hier:

Omdat dv = g*dt, wordt de regel:

Bij de modelregel x = x + v*dt gebeurt iets soortgelijks. Hier maken we gebruik van:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

Dit schrijven we om tot:

$$ \Delta x = v \times \Delta t $$

Δx staat voor de verplaatsing van de steen tijdens het tijdstapje Δt. Om de nieuwe hoogte uit te rekenen hebben we daarom de volgende regel nodig:

In woorden staat hier:

Omdat dx = v*dt, wordt de regel:

In dit model hebben we ook nog een als-dan-stelling toegevoegd:

Deze stelling zorgt ervoor dat de grafiek stopt als de steen de grond raakt. Het voorwerp raakt de grond als x = 0, maar we hebben hier toch gekozen voor de modelregel x < 0. Dit komt omdat het programma rekent in tijdstapjes van grootte dt en het dus mogelijk is dat de grafiek de tijd-as passeert zonder dat x ooit precies nul wordt.

Hieronder zien we hetzelfde model, maar nu met andere startwaarden. In dit geval valt de steen vanuit stilstand van een hoogte van 100 m. Je kan hier goed zien dat het model stopt voordat de waarde van x negatief wordt. Omdat dit model in redelijk grote tijdstapjes werkt, zien we dat de grafiek als gevolg een stukje boven de horizontale as stopt. We kunnen deze afstand verminderen door de tijdstapjes kleiner te maken. Kijk bijvoorbeeld eens wat het effect is als we dt gelijkstellen aan 0,01.

AFBEELDING BOEK!!!

         Modelleren van de vrije val
  1. Een steen valt van een hoogte van 5000 meter vanuit stilstand naar beneden.
    1. Maak een model van deze beweging. Zorg dat het model rekent in tijdstapjes dt = 10 en zorg dat het model stopt als de steen de grond raakt.
    2. De grafiek is nu niet erg nauwkeurig. Verklaar hoe dit komt.
    3. Kies nu dt = 0,05. Bepaal hiermee op welk tijdstip de steen de grond raakt.
    4. Leg uit waarom we 'x < 0' gebruiken om ervoor te zorgen dat het programma stopt als het voorwerp de grond raakt en niet 'x = 0'.
  2. Een leerling gooit nu een steen omhoog met een snelheid van 15 m/s vanaf hoogte x = 0.
    1. Maak het model en zorg dat de grafiek stopt als het voorwerp de grond raakt.
    2. We maken nu een kleine aanpassing. De persoon gooit het voorwerp vanaf x = 0 m op een verhoging van 5 meter hoog. Je wilt nu dat het model stopt als de steen op deze verhoging terecht komt.
  3. Maak één model waarin je het vallen van een steen op de maan vergelijkt met het vallen van een steen op aarde. We verwaarlozen de wrijvingskracht. Zorg dat de stenen stil komen te liggen op het moment dat ze op de grond terecht komen.