BASIS
BEWEGING
KRACHT
ELEKTRICITEIT
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
videolessen
videolessen
videolessen
videolessen
oefentoets
oefentoets
oefentoets
oefentoets
MECHANICA
ENERGIE
MOMENT
MODELLEREN
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
videolessen
videolessen
videolessen
videolessen
oefentoets
oefentoets
oefentoets
oefentoets
Radioactiviteit
...
...
...

Hoofdstuk 7
Moment (HAVO)

Paragraaf: 1 2

§1     Het moment

In deze paragraaf gaan we rekenen met krachten werkende op draaiende voorwerpen. We gebruiken hiervoor het begrip moment. Ook gaan we momentevenwichten bestuderen.

In deze paragraaf gaan we het hebben over het principe van de hefboom. Met een hefboom kan je een kleine kracht omzetten in een grote kracht. In de onderstaande afbeelding wordt dit principe gebruikt bij het openen van verfpotten. Zoals je wellicht uit ervaring weet, gaat het openen van een verfpot veel gemakkelijker met een langere schroevendraaier. In de rechter afbeelding geldt hetzelfde principe. Een moer omdraaien met alleen je hand is lastig, maar als je de lengte van een sleutel gebruikt, dan kost dit weinig kracht.

Een hefboom heeft altijd een draaipunt. Dit is duidelijk te zien bij een wip. In de afbeelding linksonder zien we twee personen met gelijke massa die op gelijke afstanden van het draaipunt zitten. De wip is nu in evenwicht. In de rechter afbeelding gaat de linker persoon iets verder van het draaipunt zitten en als gevolg zal de wip aan deze kant dalen. Hoe verder de persoon van het draaipunt gaat zitten, hoe meer invloed de persoon heeft op de draaiing van de wip. We zeggen in zo'n geval dat de persoon dan een groter moment uitoefent op de wip.

We kunnen het moment als volgt berekenen:

$$ M = F \times r $$

Moment (M)

newtonmeter (Nm)

Kracht (F)

newton (N)

Arm (r)

meter (m)

 

De arm (r) is de afstand van het draaipunt tot de kracht die op het voorwerp werkt. In de volgende paragraaf gaan we nog een iets preciezere definitie van de arm tegenkomen.

Als een voorwerp in evenwicht is, dan is de som van de momenten die het voorwerp linksom pogen te draaien gelijk aan de som van de momenten die het voorwerp rechtsom pogen te draaien. In formuletaal wordt dit:

$$ \Sigma M_{L} = \Sigma M_{R} \;\;\;\; \text{(evenwicht)}$$

Som van momenten linksom (ML)

newtonmeter (Nm)

Som van momenten rechtsom (MR)

newtonmeter (Nm)

 

Een bekend voorbeeld waar momenten een belangrijke rol spelen is de hijskraan. Deze gigantische kranen kunnen zware voorwerpen optillen zonder om te vallen. Dit kan omdat de kraan in evenwicht wordt gehouden door een contragewicht (zie de onderstaande afbeelding). Door de positie van dit contragewicht te verplaatsen, en dus de arm te veranderen, kan de kraan telkens in evenwicht worden gehouden.

         Voorbeeld

 

Vraag:

In de volgende afbeelding tilt een persoon een bank op die op een verhoging ligt. De bank is van poot tot poot 4,0 m lang en heeft een massa van 10 kg. Bereken de spierkracht die de persoon moet uitoefenen om de bank in horizontale positie te houden.

Antwoord:

Het zwaartepunt van de bank bevindt zich in het midden van de bank. Op deze plek tekenen we dan ook de zwaartekracht.

De arm van de zwaartekracht is de afstand van het draaipunt tot de zwaartekracht. Omdat de zwaartekracht in het midden van de bank werkt, is de bijbehorende arm dus 2,0 m lang. De arm van de spierkracht is 4,0 m.

Dan maken we gebruik van het momentenevenwicht:

$$ F_z \times r_z = F_{spier} \times r_{spier} $$ $$ 10 \times 9,81 \times 2 = F_{spier} \times 4 $$

Als we hiermee Fspier uitrekenen, dan vinden we:

$$ F_{spier} = 49 \text{ N} $$

 

         Rekenen met het moment en het momentenevenwicht
  1. Een persoon probeert met een grote ratel een moer vast te draaien (zie de onderstaande afbeelding). In eerste instantie oefent de persoon een kracht uit op punt A. Hiermee komt de moer echter niet los. Daarna oefent de persoon dezelfde kracht uit op punt B. Nu lukt het wel.

    1. (1p) Leg uit waarom de persoon de moer wel los krijgt in punt B, terwijl hij op beide punten dezelfde kracht uitoefent.
    2. (2p) De kracht die de persoon op punt B uitoefent is 100 N. Bepaal met behulp van de afbeelding hoeveel kracht de persoon op punt A moet uitoefenen om hetzelfde moment op de ratel uit te oefenen.
  2. Hieronder is drie keer hetzelfde glas weergegeven. Het zwaartepunt van het glas (dit is het punt waar de zwaartekracht aangrijpt) is in de afbeelding weergegeven met de letter Z. Ga in elk van de gevallen na of het glas zal omvallen.

  3. Maak het stencil op de volgende bladzijde. Ga ervan uit dat alle armen horizontaal lopen.
    Maak het eerste blad van het Stencil Momenten. Ga ervan uit dat alle armen horizontaal lopen.
  4. Een meisje met een massa van 45 kg staat op het uiteinde van een duikplank. De duikplank kan draaien om as A en ligt op steunpunt B. De afstand tussen as A en steunpunt B is 1,6 m. De afstand tussen as A het meisje is 4,8 m.

    1. (4p) Bereken de grootte van de kracht die door het steunpunt B op de plank wordt uitgeoefend als het meisje in C op de duikplank staat. Je mag de massa van de duikplank verwaarlozen.
    2. (2p) Op punt A werkt ook een kracht. Leg uit waarom het niet nodig was rekening te houden met deze kracht in opdracht a.

 

§2     De arm

In deze paragraaf gaan we het begrip arm iets nauwkeuriger definiëren. We kunnen hiermee met complexere momentevenwichten rekenen.

Nu is het tijd voor de iets nauwkeurigere definitie van de arm. Hieronder zien we links een kracht en het bijbehorende draaipunt. Om de arm te vinden tekenen we de lijn van de kracht eerst door in beide richtingen (zie de middelste afbeelding). We noemen dit de werklijn van de kracht. De arm voldoet dan aan de volgende twee eisen:

We hebben deze definitie hieronder toegepast. We zien hier een uithangbord dat omhoog gehouden wordt met een touw. De arm van de spankracht in het touw loopt hier van het draaipunt tot de werklijn van de spankracht en staat ook loodrecht op de werklijn. Deze arm voldoet dus aan de bovenstaande definitie.

         Voorbeeld

 

Vraag:

Een persoon tilt aan één zijde een bank op met een massa van 15 kg (zie de onderstaande afbeelding). In de afbeelding is ook de spierkracht weergegeven die de persoon uitoefent. Bepaal de grootte van deze kracht. De afbeelding is op schaal weergegeven.

Antwoord:

Het zwaartepunt van de bank bevindt zich in het midden van de bank. Op deze plek tekenen we dan ook de zwaartekracht. In de rechter afbeelding zien we de arm van de zwaartekracht en de arm van de spierkracht getekend. Merk op dat in beide gevallen de arm loopt van het draaipunt tot de werklijn van de kracht en dat de arm loodrecht op deze werklijn staat.

Dan maken we gebruik van het momentenevenwicht:

$$ F_z \times r_z = F_{spier} \times r_{spier} $$

Omdat de afbeelding op schaal is afgebeeld, mogen we meten in de tekening. De arm van de spierkracht is 3,9 cm en de arm voor de zwaartekracht is 1,55 cm.

$$ F_{spier} \times 3,9 = 15 \times 9,81 \times 1,55 $$

Als we hiermee Fspier uitrekenen, dan vinden we:

$$ F_{spier} = 58 \text{ N} $$

 

         Rekenen met het moment en het momentenevenwicht
  1. (2p) Beschrijf hoe je de arm van een kracht kan vinden.
  2. Maak het stencil op de volgende bladzijde.
    Maak het tweede blad van het Stencil Momenten.
  3. (4p) Een uithangbord is aan een stok opgehangen. De zwaartekracht werkend op het bord is 40 N. De zwaartekracht werkende op de stok mag je verwaarlozen. De stok wordt op zijn plek gehouden met behulp van een touw. Bereken de spankracht in het touw.

  4. (4p) Bij een turnoefening duwt een persoon tegen een steunbalk (zie de onderstaande afbeelding). De balk oefent dan alleen een horizontaal gerichte kracht uit op de persoon. De massa van de persoon is 75 kg. Bepaal aan de hand van de afbeelding de grootte van de horizontale kracht van de steunbalk op de persoon.