Hoofdstuk 1
Basisvaardigheden

INSTRUCTIE:
Formules omschrijven

INSTRUCTIE:
Formules omschrijven II

Zorg dat je formules kan omschrijven

Ga naar deze opdracht op de website en haal minimaal 10 punten. Schrijf minimaal tien formules om in de juist vorm. Ga door tot je een formule consistent binnen 10 seconden kan omschrijven. (2p) Beschrijf de stappen die nodig zijn om een formule om te schrijven in een andere vorm. (1p) De formule voor de snelheid (v) wordt gegeven door: $$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$ Schrijf deze formule om zodat hier de verplaatsing (Δx) mee berekend kan worden. (2p) Een auto rijdt 1200 meter met een snelheid van 25 m/s. Bereken met de bovenstaande formule hoe lang de auto hierover doet. Schrijf hiervoor eerst de formule om in de juiste vorm. (2p) De formule voor de weerstand (R) van een stroomdraad wordt gegeven door: $$R= \frac{U}{I}$$ Geef de formule voor de spanning (U) en geef de formule voor de stroomsterkte (I). (3p) De formule voor de kracht (F) waarmee een voorwerp in een cirkelbaan gehouden kan worden is gelijk aan: $$ F = \frac{mv^2}{r} $$ Geef de formule voor de massa (m), de formule voor baanstraal (r) en de formule voor de snelheid (v). (2p) De formule voor de snelheid (v) van een voorwerp dat in een cirkelbaan beweegt is: $$ v = \frac{2\pi r}{T} $$ Geef de formule voor de omlooptijd (T) en de formule voor baanstraal (r). (2p) De formule voor de gravitatiekracht (Fg) is: $$ F_g = \frac{GMm}{r^2} $$ Geef de formule voor de massa (M) en de formule voor de afstand (r).

§3     Dichtheid

In deze paragraaf introduceren we het belangrijke begrip dichtheid. Met deze grootheid kunnen we de massa van verschillende stoffen eerlijk met elkaar vergelijken. We maken hierbij gebruik van het omschrijven van formules zoals in de vorige paragraaf besproken is.

Niet alle stoffen zijn even zwaar. Een kubieke centimeter goud is bijvoorbeeld zwaarder dan een kubieke centimeter aluminium. We beschrijven dit verschil met het begrip dichtheid.

Een kubieke centimeter goud heeft bijvoorbeeld altijd een massa van 19,3 gram. We zeggen daarom dat de dichtheid van goud gelijk is aan 19,3 g/cm³. Aluminium heeft altijd een dichtheid van 2,7 g/cm³. Aluminium heeft dus een kleinere dichtheid dan goud. Als we in het dagelijks leven zeggen dat goud "zwaarder" is dan aluminium, dan bedoelen we eigenlijk dat de dichtheid van goud groter is dan van aluminium.

We kunnen de dichtheid van een stof als volgt berekenen:

$$\rho = \frac{m}{V}$$ massa (m) kilogram (kg) volume (V) kubieke meter (m3) dichtheid (ρ, spreek dit uit als "rho") kilogram per kubieke meter (kg/m3)

In SI-eenheden wordt de dichtheid gegeven in kg/m³, maar er wordt ook regelmatig gebruik gemaakt van g/cm³. In dat geval wordt de massa gegeven in gram en het volume in kubieke centimeter.

De dichtheden van een heel aantal stoffen kan je opzoeken in BINAS. De eenheid boven de tabel is hier 10³ kgm^-3. De tienmacht vertelt ons dat we de waarde uit de tabel nog met 10³ moeten vermenigvuldigen. kgm^-3 is een andere schrijfwijze van kg/m³.

Stappenplan dichtheid

Vraag: Bereken de massa van 1,2 dm3 ijzer. Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en zoek de dichtheid op: V = 1,2 dm3 ρ = 7870 kg/m3  m = ? Stap 2: Schrijf de gegevens om in SI-eenheden: V = 0,0012 m3 Stap 3: Schrijf de formule ρ = m/V om in de juiste vorm. Doe dit met de techniek uit de vorige paragraaf (er zijn elk jaar leerlingen die de formule omschrijven door te "gokken". Doe dit niet! Leer in plaats daarvan de techniek uit de vorige paragraaf aan. Hier heb je de rest van het jaar profijt van). In dit geval willen we de massa berekenen. De formule wordt in dat geval: $$ \rho = \frac{m}{V} \;\;\; \rightarrow \;\;\; m = \rho \times V $$ Stap 4: Vul de formule in en reken het antwoord uit. Denk eraan de eenheid achter het antwoord te schrijven. 0,0012 × 7870 = 9,4 kg

In het onderstaande filmpje wordt de massa van een ijzeren voorwerp berekend met behulp van de formule voor de dichtheid. Daarna gaan we de massa bepalen met een weegschaal. In beide gevallen vinden we hetzelfde antwoord. Kortom, de formule voor de dichtheid WERKT.

DEMO:
Dichtheid

Voorbeeld

Vraag: In BINAS kan je de dichtheid van Jupiter vinden. Deze dichtheid is uitgerekend met behulp van de straal en de massa van Jupiter. Voer deze berekening uit en laat zien dat je (ongeveer) dezelfde waarde vindt als in BINAS vermeld staat. (Afbeelding: Hubble; PD) Antwoord: De planeet Jupiter heeft de vorm van een bol. Volgens BINAS is het volume van een bol gegeven door: $$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi r^3 $$ In BINAS vinden we dat de straal van Jupiter gelijk is aan 69,91 × 106 m. Het volume wordt hiermee: $$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi \times (69,91 \times 10^6)^3 = 1,431 \times 10^{24} \text{ m}^3 $$ Let bij deze berekening op de haakjes. De massa van Jupiter is volgens BINAS gelijk aan 1900 × 1024 kg. Hiermee kunnen we de dichtheid uitrekenen: $$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{1900 \times 10^{24}}{1,431 \times 10^{24}} = 1328 \text{ kg/m}^3 $$ In BINAS zien we 1330 kg/m3 staan voor de dichtheid. Dit ligt erg dicht bij de waarde die wij gevonden hebben.

INSTRUCTIE:
Dichtheid

Zorg dat je kan redeneren met het begrip dichtheid

(3p) Beschrijf het verschil tussen massa, volume en dichtheid. (4p) Stel je wil de dichtheid van een voorwerp bepalen. Leg uit hoe dit kan doen. Vertel hierbij welke metingen je moet verrichten, welke berekeningen je moet uitvoeren en welke eenheid je achter het antwoord moet zetten. (1p) Leg uit waar je op moet letten bij het aflezen van de dichtheid uit BINAS. (2p) Een koperen voorwerp heeft hetzelfde volume als een ijzeren voorwerp. Welk voorwerp heeft de grootste massa? (2p) Een koperen voorwerp heeft dezelfde massa als een ijzeren voorwerp. Welk voorwerp heeft het grootste volume?

Zorg dat je kan rekenen met ρ = m/V

(4p) Een plank heeft een massa van 1,0 kg. De plank is 2,0 cm dik, 10 cm breed en 80 cm lang. Bereken de dichtheid van de plank in kilogram per kubieke meter. (5p) Een persoon wil bepalen van welk type hout een groot schaakstuk gemaakt is. Hij gebruikt hiervoor o.a. de onderdompelmethode (zie de onderstaande afbeelding). De massa van het schaakstuk is 340 g. Bepaal van welke type hout het schaakstuk gemaakt is. (4p) Bereken de massa van 10 dm3 tin. (4p) Bereken het volume van 20 gram aluminium. (4p) Een lege kamer heeft een lengte van 8,0 m, een breedte van 5,0 meter en een hoogte van 2,5 meter. Bereken de massa van de lucht in de kamer. (5p) In BINAS kan je de dichtheid van de aarde vinden. Deze dichtheid is uitgerekend met behulp van de straal en de massa van de aarde. Voer deze berekening uit en laat zien dat je dezelfde waarde voor de dichtheid van de aarde vindt als in BINAS vermeld staat. (5p) Een koperen stroomdraad heeft een diameter van 2,0 mm en een lengte van 40,0 m. Bereken de massa van de draad.

§4     Drijven of zinken

In deze paragraaf gaan we met de dichtheid uitrekenen of voorwerpen drijven of zinken.

Met de dichtheid kunnen we o.a. voorspellen of een voorwerp zal drijven of zinken. Als een voorwerp een grotere dichtheid heeft dan de omringende vloeistof, dan zal het voorwerp zinken. Als het een lagere dichtheid heeft, dan blijft het drijven.

Piepschuim heeft bijvoorbeeld een lagere dichtheid dan water en blijft dus drijven. Dit geldt zelfs als je een gigantisch stuk piepschuim van duizenden kilogram in het water zou leggen. Het omgekeerde is waar voor een stukje metaal. Metaal heeft een grotere dichtheid en als gevolg daarvan zal zelfs het lichtste stukje metaal zinken.

Voorbeeld

Vraag: Straalvinnige vissen hebben in hun lichaam een zogenaamde zwemblaas zitten die gevuld kan worden met gas. De blaas stelt de vis in staat om op te stijgen en te zinken in het water zonder zijn vinnen te bewegen. Leg met behulp van het begrip dichtheid uit hoe dit werkt. Antwoord: Als de vis zijn blaas groter maakt, dan neemt het volume van de vis toe. De massa blijft echter hetzelfde. Volgens de formule ρ = m/V zorgt dit voor een afname van de dichtheid. Als de dichtheid van de vis onder de dichtheid van water komt, dan zal de vis opstijgen. Als de vis zijn blaas kleiner maakt, dan neemt het volume van de vis af. De massa blijft echter hetzelfde. Volgens de formule ρ = m/V zorgt dit voor een toename van de dichtheid. Als de dichtheid van de vis hoger wordt dan de dichtheid van water, dan zal de vis zinken. In het onderstaande filmpje wordt een soortgelijk fenomeen gedemonstreerd. Door in een fles te knijpen wordt het volume van een object in de fles verkleind en hierdoor zinkt het voorwerp: DEMO: Zinken en drijven

Hieronder zien we een gigantisch containerschip met een grote massa. Hoe kan het dat dit schip blijft drijven?

(Afbeelding: Robert Schwemmer; CC BY-SA 2.0)

We gaan dit begrijpen met behulp van een simpel voorbeeld. Stel we hebben een stalen plaat van 7800 kg met een lengte van 10,0 meter, een breedte van 5,0 meter en een dikte van 2,0 centimeter. Het volume van de plaat is in dat geval 10,0 × 5,0 × 0,020 = 1,0 m³. De dichtheid wordt dan:

Deze dichtheid is veel groter dan de dichtheid van water (998 kg/m³) en als gevolg daarvan zal de plaat dus zinken.

Nu bouwen we een dun muurtje aan de randen van de stalen plaat. We maken het muurtje 16,0 cm hoog en zorgen dat het muurtje zo dun is dat het zo goed als niets weegt (zie de onderstaande afbeelding).

Het totale volume van onze boot is nu 5,0 × 10,0 × 0,160 = 8,0 m³. De dichtheid wordt in dit geval:

Dit is kleiner dan de dichtheid van water (998 kg/m³) en als gevolg daarvan zal de boot dus drijven! Een klein muurtje van 16 cm is dus al genoeg om een stalen plaat van 7800 kg te laten drijven! Met behulp van dit principe worden ook containerschepen ontworpen.

Ditzelfde fenomeen zien we in het onderstaande filmpje gedemonsteerd met een simpel experiment:

DEMO:
Zinken en drijven

INSTRUCTIE:
Drijven en zinken

INSTRUCTIE:
Dichtheid van een boot

Zorg dat je kan rekenen en redeneren met drijven en zinken

In een experiment in de klas wordt de dichtheid van een leerling bepaald. Eerst wordt met een weegschaal de massa van de leerling bepaald. De leerling blijkt 45 kg te wegen. Dan wordt er een bak met water de klas in gereden. De bak heeft een lengte van 1,0 m en een breedte van 60 cm. Het water komt 40 cm hoog. De leerling stapt nu in de bak water en gaat helemaal kopje onder. Als de leerling heeft uitgeademd wordt de nieuwe hoogte van het water gemeten. Dit blijkt 47,3 cm te zijn. (5p) Bereken de dichtheid van de leerling. (1p) Ga ook na of de leerling drijft of zinkt. (1p) Leg uit of je het antwoord bij vraag b verwacht had. Een scubadiver gebruikt een buoyancy control device (BCD) om in het water te zinken of drijven. Om te zinken laat de duiker lucht uit de BCD stromen. (3p) Leg uit dat dit ervoor kan zorgen dat de duiker zinkt. (3p) Om weer boven water te komen laat de duiker wat lucht van de zuurstoffles in de BCD stromen. Leg uit waarom dit werkt. (1p) De BCD kan ook gebruikt worden om net te blijven zweven op dezelfde plek onder water. Leg uit hoe dit werkt. (3p) Een duikboot zinkt en stijgt in water door water in en uit een aantal kamers te pompen. Leg uit waarom de duikboot gaat stijgen als water uit deze kamers wordt gepompt. (5p) Een boot van staal wordt in het water gelegd. De boot heeft een massa van 15000 kg. De boot heeft de vorm van een balk. De lengte is 5,0 m, de breedte 3,0 m en de hoogte 90 cm. Bereken of deze boot zinkt of drijft. Een ijzeren plaat heeft een lengte van 5,0 m, een breedte van 2,5 m en een dikte van 5 centimeter. Om de plaat wordt een muurtje gemaakt met een verwaarloosbare massa. (5p) Laat met een berekening zien dat de ijzeren plaat een massa heeft van 4,9 × 103 kg. (4p, VWO) Bereken hoe hoog het muurtje moet zijn wil de boot net blijven drijven. In de onderstaande grafiek kunnen we de luchtdichtheid aflezen bij verschillende hoogten in de atmosfeer. Een persoon gebruikt dit diagram om een schatting te maken hoe hoog hij kan reizen met zijn hete luchtballon. Een hete luchtballon is een grote ballon waarbij de lucht aan de binnenkant verwarmd wordt met een grote vlam. (2p) Leg uit waarom een hete luchtballon bij het verwarmen gaat opstijgen. (3p) De luchtballon heeft een volume (met lucht) van 500 m3 en een massa van 450 kg. Bereken hoe hoog de ballonvaarder maximaal met deze ballon kan komen. (5p, VWO) Een duikboot heeft een volume van 1900 m3. In een duikboot zitten een aantal kamers waar water in en uit gepompt kan worden. Als deze kamers leeg zijn, dan heeft de duikboot een massa van 1 400 000 kg. Bereken hoeveel liter water er minimaal in deze kamers moet worden gepompt om de duikboot te laten zinken.