Hoofdstuk 1
Basisvaardigheden

INSTRUCTIE:
Formules omschrijven

INSTRUCTIE:
Formules omschrijven II

Leerdoelen:

Zorg dat je formules kan omschrijven. Weet dat delen door "x" aan de ene kant van de vergelijking kan worden vervangen door vermenigvuldigen met "x" aan de andere kant van de vergelijking. En zorg dat een kwadraat aan de ene kant van de vergelijking kan worden vervangen door een wortel aan de andere kant van de vergelijking.

Opdrachten

Ga naar deze opdracht op de website en haal minimaal 10 punten. Schrijf minimaal tien formules om in de juist vorm. Ga door tot je een formule consistent binnen 10 seconden kan omschrijven. (2p) Beschrijf de stappen die nodig zijn om een formule om te schrijven in een andere vorm. (1p) De formule voor de snelheid (v) wordt gegeven door: $$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$ Schrijf deze formule om zodat hier de verplaatsing (Δx) mee berekend kan worden. (2p) Een auto rijdt 1200 meter met een snelheid van 25 m/s. Bereken met de bovenstaande formule hoe lang de auto hierover doet. Schrijf hiervoor eerst de formule om in de juiste vorm. (2p) De formule voor de weerstand (R) van een stroomdraad wordt gegeven door: $$R= \frac{U}{I}$$ Geef de formule voor de spanning (U) en geef de formule voor de stroomsterkte (I). (3p) De formule voor de kracht (F) waarmee een voorwerp in een cirkelbaan gehouden kan worden is gelijk aan: $$ F = \frac{mv^2}{r} $$ Geef de formule voor de massa (m), de formule voor baanstraal (r) en de formule voor de snelheid (v). (2p) De formule voor de snelheid (v) van een voorwerp dat in een cirkelbaan beweegt is: $$ v = \frac{2\pi r}{T} $$ Geef de formule voor de omlooptijd (T) en de formule voor baanstraal (r). (2p) De formule voor de gravitatiekracht (Fg) is: $$ F_g = \frac{GMm}{r^2} $$ Geef de formule voor de massa (M) en de formule voor de afstand (r).

§3     Dichtheid

In deze paragraaf introduceren we het belangrijke begrip dichtheid. Met deze grootheid kunnen we de massa van verschillende stoffen eerlijk met elkaar vergelijken. We maken hierbij gebruik van het omschrijven van formules zoals in de vorige paragraaf besproken is.

Niet alle stoffen zijn even zwaar. Een kubieke centimeter ijzer is bijvoorbeeld zwaarder dan een kubieke centimeter piepschuim en een kubieke centimeter goud is zwaarder dan een kubieke centimeter hout. We beschrijven deze verschillen met het begrip dichtheid.

Een kubieke centimeter goud heeft bijvoorbeeld altijd een massa van 19,3 gram. We zeggen daarom dat de dichtheid van goud gelijk is aan 19,3 gram per kubieke centimeter, afgekort als 19,3 g/cm³. Aluminium heeft altijd een dichtheid van 2,7 g/cm³. Aluminium heeft dus een kleinere dichtheid dan goud. Als we in het dagelijks leven zeggen dat goud "zwaarder" is dan aluminium, dan bedoelen we eigenlijk dat de dichtheid van goud groter is dan van aluminium.

We kunnen de dichtheid van een stof als volgt berekenen:

$$\rho = \frac{m}{V}$$ massa (m) kilogram (kg) volume (V) kubieke meter (m3) dichtheid (ρ, spreek dit uit als "rho") kilogram per kubieke meter (kg/m3)

In SI-eenheden wordt de dichtheid gegeven in kg/m³, maar er wordt ook regelmatig gebruik gemaakt van g/cm³. In dat geval wordt de massa gegeven in gram en het volume in kubieke centimeter.

De dichtheden van een heel aantal stoffen kan je opzoeken in BINAS. De eenheid boven de tabel is hier 10³ kgm^-3. De tienmacht vertelt ons dat we de waarde uit de tabel nog met 10³ moeten vermenigvuldigen. kgm^-3 is een andere schrijfwijze van kg/m³.

Stappenplan dichtheid

Vraag: Een leerling vindt een muntstuk met een volume van 1,554 cm3 en een massa van 30 gram. Laat met een berekening zien waar het muntstuk van gemaakt is. Antwoord: Stap 1: Gegevens (G) Schrijf de gegevens uit de vraag op: m = 30 g V = 1,554 cm3 ρ = ... kg/m3 Stap 2: Omschrijven (O) Schrijf de gegevens zo nodig om naar kilogram en kubieke meter: m = 30 / 1000 = 0,030 kg V = 1,554 / 1000 / 1000 = 0,000001554 m3 Stap 3: Formule (F) Kies de formule in de juiste vorm. In dit geval willen we de dichtheid (ρ) uitrekenen. De formule is in dat geval: $$ \rho = \frac{m}{V} $$ $$ \rho = \frac{0,030}{0,000001554} = 19300 \text{ kg/m}^3 $$ Stap 4: Eenheid (E) Check of de eenheid achter het antwoord staat. In dit geval kg/m3 Stap 5: Conclusie (C) Zoek met de tabel op welke stof bij deze dichtheid hoort. Bij 19300 kg/m3 hoort de stof goud (ga dit zelf na!).

Stappenplan dichtheid

Vraag: Bereken de massa van 1,2 dm3 ijzer. Stap 1: Gegevens (G) Schrijf de gegevens uit de vraag op en zoek de dichtheid op: V = 1,2 dm3 ρ = 7870 kg/m3  m = ... kg Stap 2: Omschrijven (O) Schrijf de gegevens om in SI-eenheden: V = 0,0012 m3 Stap 3: Formule (F) Schrijf de formule ρ = m/V om in de juiste vorm. Doe dit met de techniek uit de vorige paragraaf (er zijn elk jaar leerlingen die de formule omschrijven door te "gokken". Doe dit niet! Leer in plaats daarvan de techniek uit de vorige paragraaf aan. Hier heb je de rest van het jaar profijt van). In dit geval willen we de massa berekenen. De formule wordt in dat geval: $$ \rho = \frac{m}{V} \;\;\; \rightarrow \;\;\; m = \rho \times V $$ Vul de formule in: 0,0012 × 7870 = 9,4 kg Stap 4: Eenheid (E) Check of de eenheid achter het antwoord staat. In dit geval kg.

EXPERIMENT

In het rechter filmpje wordt de massa van een ijzeren voorwerp berekend met behulp van de formule voor de dichtheid. Daarna gaan we de massa bepalen met een weegschaal. In beide gevallen vinden we hetzelfde antwoord. Kortom, de formule voor de dichtheid WERKT. EXPERIMENT: Dichtheid

Voorbeeld

Vraag: In BINAS kan je de dichtheid van Jupiter vinden. Deze dichtheid is uitgerekend met behulp van de straal en de massa van Jupiter. Voer deze berekening uit en laat zien dat je (ongeveer) dezelfde waarde vindt als in BINAS vermeld staat. (Afbeelding: Hubble; PD) Antwoord: De planeet Jupiter heeft de vorm van een bol. Volgens BINAS is het volume van een bol gegeven door: $$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi r^3 $$ In BINAS vinden we dat de straal van Jupiter gelijk is aan 69,91 × 106 m. Het volume wordt hiermee: $$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi \times (69,91 \times 10^6)^3 = 1,431 \times 10^{24} \text{ m}^3 $$ Let bij deze berekening op de haakjes. De massa van Jupiter is volgens BINAS gelijk aan 1900 × 1024 kg. Hiermee kunnen we de dichtheid uitrekenen: $$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{1900 \times 10^{24}}{1,431 \times 10^{24}} = 1328 \text{ kg/m}^3 $$ In BINAS zien we 1330 kg/m3 staan voor de dichtheid. Dit ligt erg dicht bij de waarde die wij gevonden hebben.

INSTRUCTIE:
Dichtheid

Leerdoelen:

Zorg dat je kan rekenen met de formule "ρ = m/V". Zorg dat je de formule voor de dichtheid kan omschrijven in de drie vormen. Zorg dat je met het begrip dichtheid kan redeneren. Weet o.a. dat materialen van dezelfde stof altijd dezelfde dichtheid hebben. Zorg dat je de dichtheid van verschillende stoffen kan vinden in BINAS. Zorg dat je de massa en de straal van planeten correct kan aflezen uit BINAS. Kies voor de straal van de planeet niet de "baanstraal", maar "straal (equator)".

Opdrachten

(3p) Beschrijf het verschil tussen massa, volume en dichtheid. (1p) Zoek in de tabel de dichtheid op van vloeibaar water en ijs. Welk van deze twee stoffen heeft de grootste dichtheid? (1p) Koper, ijzer, lood, aluminium, kwik en zilver zijn allemaal metalen. Welk van deze metalen heeft de grootste dichtheid en welk van deze metalen heeft de kleinste dichtheid. (1p) Een leerling denkt dat de dichtheid van lucht nul is. Een andere leerling denkt dat lucht wel degelijk een dichtheid heeft, ook al is deze dichtheid klein. Ga met behulp van de tabel na wie er gelijk heeft. (1p) De dichtheid van aluminium is 2,7 g/cm3. Leg uit wat dit betekent. Hieronder zie je drie blokjes die uit hetzelfde stuk hout zijn gesneden. (1p) Welke blokjes hebben dezelfde massa? Leg je antwoord uit. (1p) Welke blokjes hebben hetzelfde volume? Leg je antwoord uit. (1p) Welke blokjes hebben dezelfde dichtheid? Leg je antwoord uit. (3p) Een leerling wil de dichtheid van een klein voorwerp bepalen. Ze bepaalt eerst de massa met een _________ en het volume met een _________. Daarna berekent de leerling de dichtheid met de formule _________. (1p) Leg uit waar je op moet letten bij het aflezen van de dichtheid uit BINAS. (2p) Een koperen voorwerp heeft hetzelfde volume als een ijzeren voorwerp. Welk voorwerp heeft de grootste massa? (2p) Een koperen voorwerp heeft dezelfde massa als een ijzeren voorwerp. Welk voorwerp heeft het grootste volume? (3p) Een voorwerp heeft een massa van 200 gram en een volume van 76,9 cm3. Van welke stof is dit voorwerp gemaakt? (3p) Een leerling vindt een munt met een volume van 1,45 cm3 en een massa van 15,0 g. Laat met een berekening zien of de munt van zuiver zilver gemaakt is. (5p) Een vat bevat 60 dm3 van een onbekende vloeistof. De massa van de vloeistof is 48 kg. Bereken dichtheid en noteer welke vloeistof er in dit vat zit. (4p) Een plank heeft een massa van 1,0 kg. De plank is 2,0 cm dik, 10 cm breed en 80 cm lang. Bereken de dichtheid van de plank in kilogram per kubieke meter. (5p) Een persoon wil bepalen van welk type hout een groot schaakstuk gemaakt is. Hij gebruikt hiervoor o.a. de onderdompelmethode (zie de onderstaande afbeelding). De massa van het schaakstuk is 340 g. Bepaal van welke type hout het schaakstuk gemaakt is. (4p) Bereken de massa van 10 dm3 tin. (4p) Bereken het volume van 20 gram aluminium. (4p) Een lege kamer heeft een lengte van 8,0 m, een breedte van 5,0 meter en een hoogte van 2,5 meter. Bereken de massa van de lucht in de kamer. (5p) In BINAS kan je de dichtheid van de aarde vinden. Deze dichtheid is uitgerekend met behulp van de straal en de massa van de aarde. Voer deze berekening uit en laat zien dat je dezelfde waarde voor de dichtheid van de aarde vindt als in BINAS vermeld staat. (5p) Een koperen stroomdraad heeft een diameter van 2,0 mm en een lengte van 40,0 m. Bereken de massa van de draad.

§4     Drijven of zinken

In deze paragraaf gaan we met de dichtheid uitrekenen of voorwerpen drijven of zinken.

Met de dichtheid kunnen we o.a. voorspellen of een voorwerp zal drijven of zinken. Als een voorwerp een grotere dichtheid heeft dan de omringende vloeistof, dan zal het voorwerp zinken. Als het een lagere dichtheid heeft, dan blijft het drijven.

Piepschuim heeft bijvoorbeeld een lagere dichtheid dan water en blijft dus drijven. Dit geldt zelfs als je een gigantisch stuk piepschuim van duizenden kilogram in het water zou leggen. Het omgekeerde is waar voor een stukje metaal. Metaal heeft een grotere dichtheid en als gevolg daarvan zal zelfs het lichtste stukje metaal zinken.

Voorbeeld

Vraag: Een blikje cola heeft een massa van 384 gram en een volume van 380 cm3. Een blikje cola light heeft een massa van 370 gram en hetzelfde volume. Ga met een berekening na of de blikjes drijven of zinken. Antwoord: Voor het blikje cola geldt: m = 384 / 1000 = 0,384 kg V = 380 / 1000 / 1000 = 0,000380 m3 De dichtheid berekenen we als volgt: $$ \rho = \frac{m}{V}$$ $$ \rho = \frac{0,384}{0,000380} = 1011 \text{ kg/m}^3 $$ Voor het blikje cola-light geldt: m = 370 g = 0,370 kg V = 380 / 1000 / 1000 = 0,000380 m3 De dichtheid berekenen we als volgt: $$ \rho = \frac{m}{V}$$ $$ \rho = \frac{0,370}{0,000380} = 974 \text{ kg/m}^3 $$ In de dichtheidstabel zien we dat de dichtheid van water gelijk is aan 998 kg/m3. Het blikje cola heeft een grotere dichtheid en zal dus zinken. Het blikje cola-light heeft een lagere dichtheid en zal dus drijven.

Voorbeeld

Vraag: Straalvinnige vissen hebben in hun lichaam een zogenaamde zwemblaas zitten die gevuld kan worden met gas. De blaas stelt de vis in staat om op te stijgen en te zinken in het water zonder zijn vinnen te bewegen. Leg met behulp van het begrip dichtheid uit hoe dit werkt. Antwoord: Als de vis zijn blaas groter maakt, dan neemt het volume van de vis toe. De massa blijft echter hetzelfde. Volgens de formule ρ = m/V zorgt dit voor een afname van de dichtheid. Als de dichtheid van de vis onder de dichtheid van water komt, dan zal de vis opstijgen. Als de vis zijn blaas kleiner maakt, dan neemt het volume van de vis af. De massa blijft echter hetzelfde. Volgens de formule ρ = m/V zorgt dit voor een toename van de dichtheid. Als de dichtheid van de vis hoger wordt dan de dichtheid van water, dan zal de vis zinken.

EXPERIMENT

In het rechter filmpje wordt een soortgelijk fenomeen gedemonstreerd. Door in een fles te knijpen wordt het volume van een object in de fles verkleind en hierdoor zinkt het voorwerp: DEMO-VIDEO: Zinken en drijven

Hieronder zien we een gigantisch containerschip met een grote massa. Hoe kan het dat dit schip blijft drijven?

(Afbeelding: Robert Schwemmer; CC BY-SA 2.0)

We gaan dit begrijpen met behulp van een simpel voorbeeld. Stel we hebben een stalen plaat van 7800 kg met een lengte van 10,0 meter, een breedte van 5,0 meter en een dikte van 2,0 centimeter. Het volume van de plaat is in dat geval 10,0 × 5,0 × 0,020 = 1,0 m³. De dichtheid wordt dan:

Deze dichtheid is veel groter dan de dichtheid van water (998 kg/m³) en als gevolg daarvan zal de plaat dus zinken.

Nu bouwen we een dun muurtje aan de randen van de stalen plaat. We maken het muurtje 16,0 cm hoog en zorgen dat het muurtje zo dun is dat het zo goed als niets weegt (zie de onderstaande afbeelding).

Het totale volume van onze boot is nu 5,0 × 10,0 × 0,160 = 8,0 m³. De dichtheid wordt in dit geval:

Dit is kleiner dan de dichtheid van water (998 kg/m³) en als gevolg daarvan zal de boot dus drijven! Een klein muurtje van 16 cm is dus al genoeg om een stalen plaat van 7800 kg te laten drijven! Met behulp van dit principe worden ook containerschepen ontworpen.

Demonstratievideo

Ditzelfde fenomeen zien we in het rechter filmpje gedemonsteerd met een simpel experiment: DEMO-VIDEO: De boot

INSTRUCTIE:
Drijven en zinken

INSTRUCTIE:
Dichtheid van een boot

Leerdoelen:

Zorg dat je kan beredeneren of voorwerpen drijven of zinken aan de hand van de dichtheid. Zorg dat je kan beredeneren hoe de dichtheid verandert als het volume of de massa van een voorwerp verandert. Als de massa toeneemt (en het volume gelijk blijft), dan neemt volgens de formule "ρ = m/V" de dichtheid toe. Als het volume toeneemt (en de massa gelijk blijft), dan neemt de dichtheid af.

Opdrachten

(1p) Zoek de dichtheid van ijzer en water op. (1p) Leg uit hoe je aan de hand van de dichtheid kan zien dat een schroef van ijzer zinkt in water. (1p) Ga na of vurenhout drijft of zinkt in water. (1p) In de onderstaande afbeelding zien we een Engelse munt (een pound) die voor het grootste deel gemaakt is van koper. De munt blijft drijven op het vloeibare metaal kwik. Wat zegt dit over de dichtheden van koper en kwik? Ga na of je antwoord klopt met behulp van het tabellenboek. (Afbeelding: Alby; CC BY-SA 3.0) (2p) Je gooit een ijsblokje eerst in een glas water en dan in een glas pure alcohol. Ga voor beide gevallen na of het ijsblokje blijft drijven. Leg uit hoe je op je antwoord komt. Een voorwerp heeft een volume van 350 mL en een massa van 340 gram. (4p) Bereken of dit voorwerp wel of niet drijft in water. (2p) Bereken of dit voorwerp wel of niet drijft in zonnebloemolie (0,92 g/cm3). (4p) Een plank heeft een massa van 10 kg. De plank is 2 cm dik, 10 cm breed en 80 cm lang. Bereken of de plank blijft drijven. In een experiment in de klas wordt de dichtheid van een leerling bepaald. Eerst wordt met een weegschaal de massa van de leerling bepaald. De leerling blijkt 45 kg te wegen. Dan wordt er een bak met water de klas in gereden. De bak heeft een lengte van 1,0 m en een breedte van 60 cm. Het water komt 40 cm hoog. De leerling stapt nu in de bak water en gaat helemaal kopje onder. Als de leerling heeft uitgeademd wordt de nieuwe hoogte van het water gemeten. Dit blijkt 47,3 cm te zijn. (5p) Bereken de dichtheid van de leerling. (1p) Ga ook na of de leerling drijft of zinkt. (1p) Leg uit of je het antwoord bij vraag b verwacht had. Een scubadiver gebruikt een buoyancy control device (BCD) om in het water te zinken of drijven. Om te zinken laat de duiker lucht uit de BCD stromen. (3p) Leg uit dat dit ervoor kan zorgen dat de duiker zinkt. (3p) Om weer boven water te komen laat de duiker wat lucht van de zuurstoffles in de BCD stromen. Leg uit waarom dit werkt. (1p) De BCD kan ook gebruikt worden om net te blijven zweven op dezelfde plek onder water. Leg uit hoe dit werkt. (3p) Een duikboot zinkt en stijgt in water door water in en uit een aantal kamers te pompen. Leg uit waarom de duikboot gaat stijgen als water uit deze kamers wordt gepompt. (5p) Een boot van staal wordt in het water gelegd. De boot heeft een massa van 15000 kg. De boot heeft de vorm van een balk. De lengte is 5,0 m, de breedte 3,0 m en de hoogte 90 cm. Bereken of deze boot zinkt of drijft. Een ijzeren plaat heeft een lengte van 5,0 m, een breedte van 2,5 m en een dikte van 5 centimeter. Om de plaat wordt een muurtje gemaakt met een verwaarloosbare massa. (5p) Laat met een berekening zien dat de ijzeren plaat een massa heeft van 4,9 × 103 kg. (4p, VWO) Bereken hoe hoog het muurtje moet zijn wil de boot net blijven drijven. In de onderstaande grafiek kunnen we de luchtdichtheid aflezen bij verschillende hoogten in de atmosfeer. Een persoon gebruikt dit diagram om een schatting te maken hoe hoog hij kan reizen met zijn hete luchtballon. Een hete luchtballon is een grote ballon waarbij de lucht aan de binnenkant verwarmd wordt met een grote vlam. (2p) Leg uit waarom een heteluchtballon bij het verwarmen gaat opstijgen. (3p) De luchtballon heeft een volume (met lucht) van 500 m3 en een massa van 450 kg. Bereken hoe hoog de ballonvaarder maximaal met deze ballon kan komen. (5p, VWO) Een duikboot heeft een volume van 1900 m3. In een duikboot zitten een aantal kamers waar water in en uit gepompt kan worden. Als deze kamers leeg zijn, dan heeft de duikboot een massa van 1 400 000 kg. Bereken hoeveel liter water er minimaal in deze kamers moet worden gepompt om de duikboot te laten zinken.