BASIS
BEWEGING
KRACHT
GRAVITATIE
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
MOMENT (HAVO)
MODELLEREN (VWO)
ELEKTRICITEIT
WARMTE (HAVO)
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden

Hoofdstuk 6
Modelleren (VWO)

§1     Modelleren

In dit hoofdstuk gaan we de computer gebruiken voor het beschrijven van natuurkundige processen. We doen dit met behulp van natuurkundige modellen. In deze paragraaf introduceren we een programma waarmee dergelijke modellen te maken zijn.

In dit hoofdstuk gaan we leren modelleren. Laten we met een simpel voorbeeld van een model beginnen. Stel een leerling heeft op een bepaald tijdstip 15 euro in zijn spaarpot en krijgt elke week 2 euro zakgeld. Met een model kunnen we dan een grafiek maken waarbij we de hoeveelheid geld in zijn spaarpot uitzetten tegen de tijd. Klik op 'play' om het resultaat te zien:

AFBEELDING BOEK!!!

Links van de grafiek zien we twee kolommen. In de rechter kolom vullen we de zogenaamde startwaarden in. Hier vullen we voor alle relevante grootheden de beginwaarde in. Ook noteren we hier constanten die we nodig hebben. Met de eerste regel zorgen we dat we de tijd starten op tijdstip t = 0. Met de tweede regel bepalen hoe groot een tijdstapje dt is. Met de laatste twee regels bepalen we hoeveel geld er aan het begin in de spaarpot zit en hoeveel zakgeld elke week gegeven wordt.

In de linker kolom noteren we de zogenaamde modelregels. Hier schrijven we een aantal wiskundige operaties op, waarmee het programma kan uitrekenen wat de waarde van de relevante grootheden gaat zijn een tijdstapje dt later. Elk tijdstapje worden al deze regels dus doorlopen. We noemen dit herhaaldelijk doorlopen van de regels een iteratief proces.

Bij dit model lezen we:

In de eerste regel wordt de tijd t een tijdstapje dt vooruit gezet. Het '='-teken dat we in deze modelregels zien heeft niet de gebruikelijke betekenis. Bij modelleren staat het '='-teken voor het woord 'wordt'. In woorden is de eerste modelregel dus:

De tweede modelregel vertelt ons dat de nieuwe waarde in de spaarpot gelijk wordt aan de huidige waarde plus het zakgeld.

Nog een voorbeeld. Een leerling heeft 50 euro en koopt hiervan elke dag een broodje van 3,40 euro. Als hij echter minder dan 20 euro over heeft, dan gaat hij iets zuiniger aan doen en koopt hij een broodje van slechts 1,40 euro. Als zijn geld op is, dan kan hij natuurlijk niks meer uitgeven. Op dit moment willen we dan ook dat de grafiek stopt. Het model ziet er dan als volgt uit:

AFBEELDING BOEK!!!

Bij de modelregels wordt nu gebruik gemaakt van de als-dan-anders-stelling:

Hier staat dat als er meer dan 20 euro in de spaarpot zit, dat de gemaakte kosten per dag dan 3,4 euro zijn. Als er minder dan 20 euro in de spaarpot zit, dan worden de kosten 1,4 euro. In de regel die hierop volgt wordt uitgerekend hoeveel geld de persoon na deze tijdstap nog overhoudt:

Merk op dat de volgorde hier belangrijk is! Eerst moeten de kosten per dag bepaald worden en pas dan kan je uitrekenen hoeveel geld de persoon aan het eind van die dag overhoudt.

Uiteindelijk geven we het stop-commando als het geld op is:

Let op dat we hier gebruik maken van een '<'-teken en niet van het '='-teken. Dit doen we omdat we werken in tijdstapjes dt en de kans klein is dat na een van deze tijdstapjes de persoon precies nul euro over zal hebben. Als gevolg zou bij gebruik van het '='-teken de grafiek gewoon doorlopen onder de horizontale as. Het '<'-teken zorgt ervoor dat het proces stopt zodra er een negatieve waarde bereikt wordt.

Ter afsluiting van deze paragraaf, vind je hieronder een lijstje met wiskundige symbolen die je bij het modelleren kan gebruiken voor een aantal wiskundige operaties:

Vermenigvuldigen

*

Delen

/

Macht

^

Wortel

sqrt

Inverse sinus

asin

         Beheersen van de basisoperaties van modelleren
  1. Beschrijf wat de modelregel 't=t+dt' betekent.
  2. Een persoon heeft 150 euro op de bank en krijgt een jaarlijkse rente van 2,1%. Maak een model waarmee een grafiek gemaakt kan worden waarmee de hoeveelheid geld wordt uitgezet tegen de tijd.
  3. Een bacteriekolonie neemt bij aanwezigheid van genoeg voedsel en ruimte elke dag met 20% toe. Een bepaalde soort bacteriekolonie kan niet boven de 1,0 miljoen bacteriën uitgroeien.
    1. Maak een model waarmee een grafiek gemaakt kan worden waarmee je de groei van deze kolonie tegen de tijd uitzet. Zorg ervoor dat de grafiek stopt als de 1,0 miljoen bacteriën bereikt is.
    2. Leg uit waarom je het '>'-teken moest gebruiken in de als-dan-stelling en niet gewoon het '='-teken.
  4. Met een thermostaat wordt de temperatuur in een woonkamer gemeten. Deze thermostaat bepaalt dan op basis van een ingestelde temperatuur of de verwarming aan- of uitgezet moet worden. Als de bewoner de verwarming aan zet is het 15 graden Celsius. Als de verwarming aan staat, neemt de temperatuur in de kamer 0,4 graden Celsius per uur toe. Als de verwarming uit staat, neemt de temperatuur 0,2 graden Celsius af. De bewoner heeft de temperatuur op 21 graden Celsius ingesteld. Dat wil zeggen dat de thermostaat de verwarming uitzet als deze boven de 21 graden komt. Als de temperatuur dan weer onder de 21 graden komt, dan wordt de verwarming weer aangezet. Maak dit model.
  5. Een radioactieve bron bevat 100 radioactieve deeltjes. Elke dag vervalt 5 procent van deze deeltjes door het uitzenden van straling. Maak een model waarbij je de overgebleven deeltjes uitzet tegen de tijd.
  6. Een radioactieve bron bevat wederom 100 radioactieve deeltjes (n1). Elke dag vervalt 5,0 procent van deze deeltjes door het uitzenden van straling. Elke keer dat een deeltje vervalt, ontstaat er echter ook een ander radioactief deeltje (n2). Deze deeltjes zijn op tijdstip t = 0 nog niet aanwezig. Elke dag vervalt slechts 1,0 procent van deze deeltjes. Maak een model waarbij je de hoeveelheid deeltjes n2 uitzet tegen de tijd.

 

§2     De vrije val

In deze paragraaf bestuderen we een model waarmee we een vrije val kunnen beschrijven.

Hieronder zien we het model van een steen die we met een snelheid van 40 m/s omhoog schieten vanaf hoogte x = 0. We verwaarlozen de wrijvingskrachten en spreken daarom van een vrije val:

AFBEELDING BOEK!!!

Laten we eerst naar de startwaarden kijken:

De hoogte x zetten we aan het begin op 0. De snelheid zetten we aan het begin op 40. De versnelling van een voorwerp dat een vrije val ondergaat is gelijk aan de valversnelling g = -9,81 m/s2. Het minteken geeft hier aan dat de versnelling naar beneden gericht is.

Nu de modelregels. De eerste drie regels zijn:

Met de tweede regel wordt elk tijdstapje de nieuwe snelheid van de steen berekend. Hoe komen we aan deze formule? Voor een vrije val geldt:

$$ g = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$

Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ \Delta v = g \times \Delta t $$

Δv staat voor de toename van de snelheid tijdens het tijdstapje Δt. Om de nieuwe snelheid uit te rekenen hebben we daarom de volgende regel nodig:

In woorden staat hier:

Omdat dv = g*dt, wordt de regel:

Bij de modelregel x = x + v*dt gebeurt iets soortgelijks. Hier maken we gebruik van:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

Dit schrijven we om tot:

$$ \Delta x = v \times \Delta t $$

Δx staat voor de verplaatsing van de steen tijdens het tijdstapje Δt. Om de nieuwe hoogte uit te rekenen hebben we daarom de volgende regel nodig:

In woorden staat hier:

Omdat dx = v*dt, wordt de regel:

In dit model hebben we ook nog een als-dan-stelling toegevoegd:

Deze stelling zorgt ervoor dat de grafiek stopt als de steen de grond raakt. Het voorwerp raakt de grond als x = 0, maar we hebben hier toch gekozen voor de modelregel x < 0. Dit komt omdat het programma rekent in tijdstapjes van grootte dt en het dus mogelijk is dat de grafiek de tijd-as passeert zonder dat x ooit precies nul wordt.

Hieronder zien we hetzelfde model, maar nu met andere startwaarden. In dit geval valt de steen vanuit stilstand van een hoogte van 100 m. Je kan hier goed zien dat het model stopt voordat de waarde van x negatief wordt. Omdat dit model in redelijk grote tijdstapjes werkt, zien we dat de grafiek als gevolg een stukje boven de horizontale as stopt. We kunnen deze afstand verminderen door de tijdstapjes kleiner te maken. Kijk bijvoorbeeld eens wat het effect is als we dt gelijkstellen aan 0,01.

AFBEELDING BOEK!!!

         Modelleren van de vrije val
  1. Leid de modelregels 'x = x + vdt' en 'v = v + adt' af. Licht de denkstappen zo nodig ook in woorden toe.
  2. Een steen valt van een hoogte van 5000 meter vanuit stilstand naar beneden.
    1. Maak een model van deze beweging. Zorg dat het model rekent in tijdstapjes dt = 10 en zorg dat het model stopt als de steen de grond raakt.
    2. De grafiek is nu niet erg nauwkeurig. Verklaar hoe dit komt.
    3. Kies nu dt = 0,05. Bepaal hiermee op welk tijdstip de steen de grond raakt.
    4. Leg uit waarom we 'x < 0' gebruiken om ervoor te zorgen dat het programma stopt als het voorwerp de grond raakt en niet 'x = 0'.
  3. Een leerling gooit nu een steen omhoog met een snelheid van 15 m/s vanaf hoogte x = 0.
    1. Maak het model en zorg dat de grafiek stopt als het voorwerp de grond raakt.
    2. We maken nu een kleine aanpassing. De persoon gooit het voorwerp vanaf x = 0 m op een verhoging van 5 meter hoog. Je wilt nu dat het model stopt als de steen op deze verhoging terecht komt.
  4. Maak één model waarin je het vallen van een steen op de maan vergelijkt met het vallen van een steen op aarde. We verwaarlozen de wrijvingskracht. Zorg dat de stenen stil komen te liggen op het moment dat ze op de grond terecht komen.

 

§3     De val met wrijving

In deze paragraaf voegen we de luchtwrijvingskracht toe aan het model.

In deze paragraaf voegen we wrijvingskracht toe aan ons model van een vallend voorwerp. In het onderstaande model laten we een steen vallen vanuit stilstand van een hoogte van 100 m. De steen heeft een massa van 1 kg, een frontaal oppervlak van 0,5 m2 en een wrijvingscoëfficiënt van 0,1. De dichtheid van de lucht maken we 1 kg/m3. Merk op dat de snelheid in de grafiek eerst toeneemt, maar uiteindelijk constant wordt. Dit is natuurlijk precies wat we verwachten bij een val met luchtwrijvingskracht.

AFBEELDING

Laten we de modelregels stap voor stap doornemen. In de tweede en de derde regel wordt de zwaartekracht en de wrijvingskracht gedefinieerd. Deze formules kunnen we vinden in het hoofdstuk 'kracht'. Bij modelleren maken we krachten die naar boven of naar rechts werken positief en krachten die naar beneden of naar links werken negatief. Omdat de zwaartekracht naar beneden werkt, moet deze dus negatief zijn. Hier wordt al automatisch aan voldaan, omdat we de valversnelling g negatief hebben gemaakt. De wrijvingskracht werkt in dit geval omhoog en moet dus positief zijn.

Met de individuele krachten kunnen we dan de resulterende kracht vinden. Omdat we al rekening gehouden hebben met de richting van de krachten, kunnen we hier de individuele krachten gewoon bij elkaar optellen:

Nu we de resulterende kracht hebben kunnen we de tweede wet van Newton gebruiken om de versnelling van de steen te berekenen:

Met de versnelling kunnen we dan de nieuwe snelheid vinden en met de nieuwe snelheid kunnen we de nieuwe hoogte vinden op de gebruikelijke manier (zie de vorige paragraaf):

Bij het maken van dit model hebben we de volgende stappen doorlopen:

De volgorde van deze stappen is van groot belang. De individuele krachten kunnen we direct uitrekenen met behulp van de startwaarden. Pas nadat we deze krachten hebben kunnen we de resulterende kracht berekenen. Pas daarna kunnen we met de tweede wet de versnelling berekenen etc.

Hieronder is het model uitgebreid om ook het omhoog gooien van een voorwerp te kunnen beschrijven. Hier is het resultaat:

AFBEELDING

We hebben hier de volgende modelregels toegevoegd:

Om deze regels te begrijpen moeten we nadenken over de richting van de wrijvingskracht tijdens de beweging. De luchtwrijvingskracht wijst altijd tegen de bewegingsrichting in. Als het voorwerp omhoog gaat, dan is de snelheid dus positief en als gevolg is de wrijvingskracht negatief (naar beneden). Als het voorwerp omlaag gaat, dan is de snelheid negatief en als gevolg is de wrijvingskracht positief (omhoog).


         Modelleren van een valbeweging met luchtwrijvingskracht
  1. Een parachutespringer met een massa van 70 kg springt vanuit stilstand van een hoogte van 2000 m. Op 800 meter hoogte wordt de parachute geopend. Zijn frontaal oppervlak neemt dan toe van 0,75 naar 4,8 m2 en zijn wrijvingscoëfficiënt neemt toe van 0,8 naar 0,9. Maak een model van deze sprong.
  2. Een paar jaar geleden lukte het Felix Baumgartner om sneller te vallen dan de geluidsnelheid. Hij deed dit door te springen van een hoogte van 37 km. De massa van Baumgartner en zijn bepakking was 120 kg. Hij opende zijn parachute op een hoogte van 1500 m. Zijn frontaal oppervlak nam hierdoor toe van 0,75 naar 4,8 m2 en zijn wrijvingscoëfficiënt nam toe van 0,5 naar 0,6. De dichtheid van de lucht hangt als volgt af van de hoogte: $$ \rho_{lucht} = 1,293 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{h}{5500}} $$
    1. Maak een model van deze sprong.
    2. Ga na dat de maximumsnelheid inderdaad groter is dan de geluidsnelheid.
  3. Een voorwerp met een massa van 1 kg wordt met 100 m/s vanaf de grond omhoog geschoten. het frontaal oppervlak van het voorwerp is 0,1 m2 en de wrijvingscoëfficiënt is gelijk aan 0,5. De dichtheid van de lucht is 1 kg/m3. Maak een model van deze beweging.
  4. Maak een model van de beweging van een zware stuiterbal met een massa van 1 kg die met een snelheid van 40 m/s vanaf de grond omhoog wordt geschoten. Zorg dat de stuiterbal een aantal keer tegen de grond stuitert. Tijdens de stuiter blijft slechts 80% van de snelheid behouden. Gebruik een luchtdichtheid van 1 kg/m3, een frontaal oppervlak van 0,5 m2 en een wrijvingscoëfficiënt van 0,2.
  5. Een sprong bestaat uit een afzet en een beweging los van de grond. Drie momenten van een sprong staan hieronder weergegeven:

    In positie A is de springer maximaal door zijn knieën gezakt. Dit noemen we het begin van de sprong. In positie B komt de springer los van de grond. In positie C bevindt de springer zich in het hoogste punt. De grootte van de afzetkracht is: $$ F_{afzet} = C(y_B - y) $$ Hierin is C een constante, y de hoogte van het zwaartepunt boven de grond en yB de hoogte van het zwaartepunt op het moment dat de springer loskomt van de grond. Maak het volgende model af zodat de afzetkracht voor alle waarden van y correct wordt beschreven en het model op het hoogste punt stopt.


    (bron: examen VWO 2015-1)
  6. In april 2004 werd de Sojoez gelanceerd met de Nederlandse astronaut André Kuipers aan boord. De Sojoez bestaat uit een drietrapsraket en een personencapsule. De eerste trap wordt afgestoten na 120 seconde. Onderstaand computermodel simuleert de verticale beweging van de Sojoez gedurende deze eerste periode. Alle grootheden in het model zijn uitgedrukt in standaardeenheden.

    Beredeneer aan de hand van de modelregels of de versnelling van de Sojoez volgens dit model gedurende de eerste 120 s toeneemt, afneemt of gelijk blijft.
    (bron: examen VWO 2006-2)
  7. In het Tikibad in Wassenaar staat de attractie X-stream. In de onderstaande figuur zijn de voornaamste onderdelen aangegeven:

    Van de beweging is een sterk vereenvoudigd model gemaakt (zie de afbeelding linksonder). In dit model is de baan verdeeld in drie gedeelten (zie de afbeelding rechtsonder).

    De s in dit model staat voor de afgelegde weg langs de baan. De toevoegingen AB, BC en AC geven aan tussen welke punten de persoon zich bevindt. De waarde van k hangt af van hoeveel water er over het oppervlak van de glijbaan stroomt.
    1. Leg uit of een grotere waarde van k betekent dat er meer of minder water langs het oppervlak van de buis stroomt.
    2. De persoon dient op het horizontale stuk (het buisdeel CD) op tijd tot stilstand te komen. Dit kan door er voor te zorgen dat in buisdeel CD een diepe laag water staat. De persoon remt dan door dit water. De remkracht kan vergroot worden door het water dieper te maken. Neem aan dat de extra remkracht evenredig is met het kwadraat van de snelheid. Neem voor de evenredigheidsconstante de waarde 17. Pas het model aan zodat de persoon in deel CD tot stilstand komt.
    3. Zorg ook dat het model stopt als de beweging afgelopen is.
      (bron: examen VWO 2017-2)

 

§4     De gravitatiekracht modelleren

In deze paragraaf gaan we een model maken van objecten in een baan om een hemellichaam.

Het onderstaande model beschrijft de beweging van een planeet om een ster. We gebruiken hiervoor een x,y-diagram, waarbij we de ster op positie (0,0) plaatsen. De beginpositie van de planeet noemen we (x,y). De afstand van de ster tot de planeet noemen we 'r'. We kunnen r berekenen met de stelling van Pythagoras:

$$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$

De formule voor de gravitatiekracht is geïntroduceerd in het hoofdstuk 'gravitatie'. Deze kracht wordt gegeven door:

$$ F_g = \frac{GMm}{r^2} $$

Voor dit model willen we deze kracht opdelen in een x- en een y-component:

$$ F_{g,x} = -F_g \cos\alpha $$ $$ F_{g,y} = -F_g \sin\alpha $$

De mintekens zijn toegevoegd omdat de componenten naar links en naar beneden wijzen (die de onderstaande afbeelding).

In de bovenstaande afbeelding kunnen we ook zien dat sin(α) = y/r en cos(α) = x/r. We kunnen hiermee de bovenstaande formules herschrijven tot:

$$ F_{g,x} = -F_g \frac{x}{r} $$ $$ F_{g,y} = -F_g \frac{y}{r} $$

Met de tweede wet van Newton kunnen we nu voor beide componenten de versnelling uitrekenen:

$$ a_x = \frac{F_{g,x}}{m} $$ $$ a_y = \frac{F_{g,y}}{m} $$

Met deze componenten van de versnelling kunnen we de nieuwe snelheid en positie van de planeet uitrekenen. Het volledige model staat hieronder gegeven:

AFBEELDING

Zoals je in het model kan zien maakt de planeet een ellipsbaan om de ster. De planeten in ons zonnestelsel bewegen ook in ellipsbanen om de zon. In het hoofdstuk 'gravitatie' hebben we telkens aangenomen dat deze beweging bij benadering gelijk is aan een cirkelbaan.

         Modelleren met de gravitatiekracht
  1. Maak een model van een komeet in zijn baan om de zon. Kies voor het gemak G = 1, M = 1, m = 1 en gebruik kleine afstanden en snelheden. Laat zien dat je de komeet zowel in een ellipsbaan als in een hyperboolbaan kan bewegen.
  2. (EXTRA) In het vorige model hebben we aangenomen dat de massa van de zon veel groter is dan die van de komeet en dat de zon daardoor stil staat. In het universum komt het echter ook vaak voor dat twee objecten met vergelijkbare massa om elkaar heen bewegen. Een voorbeeld hiervan is een dubbelster. Maak een model van een dubbelster.
  3. Om meer te weten te komen over de zon lanceren wetenschappers onderzoeksraketten die zo dicht mogelijk bij de zon komen. Rond 1950 gingen de eerste onderzoeksraketten (ongeveer) in een rechte lijn naar de zon zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding:

    Met een rekenkundig model kan men uitzoeken hoe lang zo'n rechtstreekse reis duurt.

    1. De startwaarde van de snelheid v in dit model is niet gelijk aan nul. Leg uit waarom deze startwaarde in deze situatie niet gelijk aan nul kan zijn.
    2. Geef de waarde van RA.
    3. Vul de modelregels voor Fzon en Fres aan.
    4. Vul de stopvoorwaarde aan.
      (bron: examen VWO 2013-pilot)