BASIS
BEWEGING
KRACHT
GRAVITATIE
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
videolessen
videolessen
videolessen
videolessen
oefentoets
oefentoets
oefentoets
oefentoets
MOMENT (HAVO)
MODELLEREN (VWO)
ELEKTRICITEIT
SYSTEEMBORD (HAVO)
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
videolessen
videolessen
videolessen
videolessen
oefentoets
oefentoets
oefentoets
oefentoets
WARMTE
...
...
...
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
videolessen
videolessen
videolessen
videolessen
oefentoets
oefentoets
oefentoets
oefentoets

Hoofdstuk 1
Basisvaardigheden

Paragraaf: 1 2 3 4 5 6

§1     Grootheden en eenheden

In dit hoofdstuk ga je de basisvaardigheden leren waarmee je de natuurkunde de rest van het jaar goed kan begrijpen. In deze eerste paragraaf bespreken we het verschil tussen de eigenschappen die we kunnen meten (grootheden) en de maten waarin we deze eigenschappen meten (eenheden). Ook bespreken we een aantal standaardeenheden die we SI-eenheden noemen en introduceren we een aantal formules om het volume van verschillende voorwerpen uit te rekenen.

In de wetenschap beschrijven we de wereld door metingen te verrichten. Alle eigenschappen die we kunnen meten noemen we grootheden. Voorbeelden van grootheden zijn 'lengte', 'oppervlakte', 'volume', 'tijd', 'temperatuur' en 'snelheid'. De maten waarin we deze eigenschappen meten worden eenheden genoemd. Voorbeelden van eenheden zijn 'meter', 'vierkante meter', 'kubieke meter', 'seconden', 'minuten', 'graden Celsius' en 'meter per seconde'.

Een eenheid is gemakkelijk te herkennen doordat we het achter een getal kunnen plaatsen. We zeggen bijvoorbeeld 25 meter, maar niet 25 lengte. Meter is dus een eenheid, maar lengte niet. In het vak natuurkunde is het verplicht om bij het eindantwoord van een berekening altijd de eenheid te noteren.

Het volume geeft aan hoeveel ruimte een voorwerp inneemt. De belangrijkste eenheden voor het volume zijn:

In de bovenstaande afbeelding zien we dat het volume zowel in kubieke meter als in liter kunnen weergeven. 1 L is bijvoorbeeld exact hetzelfde als 1 dm3. Er geldt dus:

$$ 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$$

In BINAS tabel 36 kan je formules vinden voor het volume (V) en de oppervlakte (A) van een aantal veelvoorkomende figuren. Hieronder zien we een aantal voorbeelden hiervan.

De massa geeft aan hoe zwaar een voorwerp is. De belangrijkste eenheden voor de massa zijn:

In het dagelijks leven wordt voor de massa ook wel het woord 'gewicht' gebruikt. Dit is echter onjuist. Later dit jaar zullen we het verschil tussen deze begrippen toelichten.


Een aantal eenheden zijn in het verleden uitgeroepen tot standaardeenheden. We noemen dit ook wel de SI-eenheden (SI is een afkorting van ‘Système international d'unités’, oftewel ‘standaard internationale eenheden’). De meest fundamentele SI-eenheden worden de SI-grondeenheden genoemd. Een aantal hiervan staan hieronder in de tabel:

Grootheid SI-grondeenheid
Afstand meter (m)
Tijd seconde (s)
Massa kilogram (kg)
Temperatuur kelvin (K)

Door de SI-grondeenheden te combineren kunnen we andere SI-eenheden afleiden. Van de SI-grondeenheid meter (m) kunnen we bijvoorbeeld de SI-eenheid vierkante meter (m2) en kubieke meter (m3) maken. Met meter (m) en seconde (s) kunnen we bijvoorbeeld de SI-eenheid meter per seconde (m/s) maken. We noemen dit afgeleide SI-eenheden.

In de natuurkunde zal je regelmatig worden gevraagd om een bepaalde meetwaarde om te rekenen naar SI-eenheden. Hieronder zien we hiervan twee voorbeelden:

         Voorbeelden

 

Vraag:

Reken 500 g om in SI-eenheden.

Antwoord:

De SI-eenheid van de massa is kilogram. Omgerekend wordt dit 0,500 kg.

Vraag:

Reken 20 L om in SI-eenheden.

Antwoord:

De SI-eenheid van het volume is de kubieke meter. We gaan liter dus omschrijven naar kubieke meter. Omgerekend wordt dit 20 L = 20 dm3 = 0,020 m3.

 

         Voorbeeld

 

Vraag:

In de onderstaande afbeelding zien we de koepel van het planetarium in Artis. De koepel heeft een diameter van 18,00 meter. Bereken het volume van de koepel.

Antwoord:

Het dak heeft de vorm van een halve bol. Volgens BINAS is het volume van een bol gegeven door:

$$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi r^3 $$

De straal (r) is gelijk aan 18,00 / 2 = 9,000 m. Als we de formule invullen, dan vinden we:

$$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi \times 9^3 = 3054 \text{ m}^3 $$

Voor een halve bol vinden we 3054 / 2 = 1527 m3.

 



         Omrekenen van eenheden en SI-eenheden
  1. (2p) Beschrijf het verschil tussen massa en volume.
  2. (8p) Schrijf de volgende meetwaarden om:
    1. 2,231 L = ... mL
    2. 5600 cm3 = ... L
    3. 66,08 mL = ... dm3
    4. 0,0765 L = ... cm3
    5. 1,54 dm3 = ... mL
    6. 150 mm3 = ... L
    7. 0,23 m3 = ... cL
    8. 0,9 dL = ... cm3
  3. (4p) Schrijf de volgende meetwaarden om:
    1. 0,03kg = ... g
    2. 23 000 g = ... kg
    3. 25 mg = ... g
    4. 0,25 kg = ... mg
  4. (6p) Reken de volgende maten om in SI-eenheden:
    1. 340 cm3
    2. 150 g
    3. 25 L
    4. 400 km2
    5. 24 uur
    6. 2300 ms
  5. (1p) Beschrijf hoe je een hoeveelheid liter omschrijft in SI-eenheden.
         Berekenen en bepalen van het volume
  1. (3p) Een aquarium bevat 60 liter water. De lengte van het aquarium is 50 cm. De breedte is 30 cm. Bereken hoe hoog het water staat.
  2. (3p) Bereken de oppervlakte van de aarde. Zoek hiervoor eerst de straal van de aarde op in BINAS tabel 31.
  3. (3p) Een hoogspanningskabel heeft een diameter van 30 mm. De kabel is 25 km lang. Bereken het volume van de kabel.
  4. Het raam in een verwarmd huis laat per seconde per vierkante meter 200 joule door. Het raam is hieronder weergegeven.

    1. (5p) Ga na hoeveel energie er per jaar verloren gaat door het raam. Laat hiervoor eerst zien dat het oppervlak van het raam gelijk is aan 3,1 m2.
    2. (2p) Het raam is 2,0 cm dik. Bereken het volume van het glas.

 

§2     Formules omschrijven

Processen in de natuurkunde worden vaak beschreven met formules. In deze paragraaf gaan we leren hoe we deze formules kunnen omschrijven in verschillende vormen.

Stel een auto legt een bepaalde afstand af in een bepaalde tijd. De snelheid van de auto kan dan worden berekend met:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
Snelheid (v) meter per seconde (m/s)
Verplaatsing (Δx) meter (m)
Tijdsduur (Δt) seconde (s)

 

Als we de formule willen gebruiken om niet de snelheid, maar juist de verplaatsing of de tijdsduur uit te rekenen, dan moeten we deze formule leren omschrijven. Om dit te doen hebben we een wiskundig trucje nodig. Als in een vergelijking aan de ene kant van de '=' wordt gedeeld door een bepaald getal, dan kan je in plaats daarvan ook de andere kant van de '=' vermenigvuldigen met ditzelfde getal. Hieronder zien we een getallenvoorbeeld waar dit wordt uitgevoerd:

$$ \frac{6}{3} = 2 $$ $$ \downarrow $$ $$ 6 = 2 \times 3 $$

De omgekeerde regel geldt ook. Als we aan de ene kant van de '=' met een waarde vermenigvuldigen, dan kunnen we ook aan de andere kant door deze waarde delen. Dit zien we hieronder:

$$ 6 = 2 \times 3 $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{6}{3} = 2 $$

We kunnen dit trucje gebruiken om formules om te schrijven in elke gewenste vorm. Dit doen we in twee stappen. Eerst zorg je dat je een eventuele breuk in de formule wegwerkt. Daarna schrijf je de formule om met het wiskundige trucje dat hierboven beschreven is. Laten we dit toepassen op de formule voor de snelheid. Stel we willen de formule omschrijven in een formule om de tijd uit te rekenen. We voeren dan de volgende stappen uit:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ \downarrow $$ $$ v \times \Delta t = \Delta x $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta t = \frac{\Delta x}{v} $$

Met het onderstaande programma kan je oefenen met omschrijven. Merk ook op in welke problemen je komt als je niet eerst de breuk wegwerkt.

Hieronder zien we een iets complexer voorbeeld. We herschrijven de formule, zodat we de massa (m) uit kunnen rekenen:

$$ F = \frac{mv^2}{r} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;F \times r = mv^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \frac{F \times r}{v^2} = m $$

Nu doen we hetzelfde voor de snelheid (v):

$$ F = \frac{mv^2}{r} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; F \times r = mv^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\frac{F \times r}{m} = v^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \sqrt{\frac{F \times r}{m}} = v $$

         Omschrijven van formules
  1. Ga naar deze opdracht op de website en haal minimaal 10 punten.
    Schrijf minimaal tien formules om in de juist vorm. Ga door tot je een formule consistent binnen 10 seconden kan omschrijven.

  2. (2p) Beschrijf de stappen die nodig zijn om een formule om te schrijven in een andere vorm.
  3. (2p) De formule voor de zwaartekracht (Fz) wordt gegeven door: $$F_z = mg$$ Geef de formule voor de massa (m) en geef de formule voor valversnelling (g).
  4. (3p) De formule voor de kracht (F) waarmee een voorwerp in een cirkelbaan gehouden kan worden is gelijk aan: $$ F = \frac{mv^2}{r} $$ Geef de formule voor de massa (m), de formule voor baanstraal (r) en de formule voor de snelheid (v).
  5. (2p) De formule voor de snelheid (v) van een voorwerp dat in een cirkelbaan beweegt is: $$ v = \frac{2\pi r}{T} $$ Geef de formule voor de omlooptijd (T) en de formule voor baanstraal (r).
  6. (4p) De relatie tussen de omlooptijd van een planeet (T) en de afstand tot de zon (r) wordt gegeven door: $$ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} $$ Geef de formule voor de omlooptijd (T), de formule voor baanstraal (r) en de formule voor de massa (M).
  7. (2p) De formule voor het volume (V) van een bol is: $$ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $$ Geef de formule voor de straal (r).
  8. (3p) De formule voor de gravitatiekracht (Fg) is: $$ F_g = \frac{GMm}{r^2} $$ Geef de formule voor de gravitatieconstante (G), de formule voor massa (M) en de formule voor de afstand (r).
  9. (2p) De trillingstijd (T) van een blokje dat trilt aan een veer wordt gegeven door deze formule: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$ Geef de formule voor de massa (m) en voor de veerconstante (C).

 

§3     Dichtheid

In deze paragraaf herhalen we het concept dichtheid. We maken hierbij gebruik van het omschrijven van formules zoals in de vorige paragraaf besproken is.

Niet alle stoffen zijn even zwaar. Een kubieke centimeter goud is bijvoorbeeld zwaarder dan een kubieke centimeter aluminium. We beschrijven dit verschil met de zogenaamde dichtheid.

Een kubieke centimeter goud heeft bijvoorbeeld altijd een massa van 19,3 gram. We zeggen daarom dat de dichtheid van goud gelijk is aan 19,3 g/cm3. Aluminium heeft bijvoorbeeld altijd een dichtheid van 2,7 g/cm3. Aluminium heeft dus een kleinere dichtheid dan goud. Als we in het dagelijks leven zeggen dat goud 'zwaarder' is dan aluminium, dan bedoelen we eigenlijk dat de dichtheid van goud groter is dan van aluminium.

We kunnen de dichtheid van een stof als volgt berekenen:

$$\rho = \frac{m}{V}$$
massa (m) kilogram (kg)
volume (V) kubieke meter (m3)
dichtheid (ρ, spreek dit uit als 'rho') kilogram per kubieke meter (kg/m3)

 

In SI-eenheden wordt de dichtheid gegeven in kg/m3, maar er wordt ook regelmatig gebruik gemaakt van g/cm3. In dat geval wordt de massa gegeven in gram en het volume in kubieke centimeter.

De dichtheden van een heel aantal stoffen kan je opzoeken in BINAS. De eenheid boven de tabel is hier 103 kgm-3. De tienmacht vertelt ons dat we de waarde uit de tabel nog met 103 moeten vermenigvuldigen. kgm-3 is een andere schrijfwijze van kg/m3.

         Stappenplan dichtheid

 

Vraag:

Bereken de massa van 1,2 dm3 ijzer.

Stap 1:

Schrijf de gegevens uit de vraag op en zoek de dichtheid op:

V = 1,2 dm3

ρ = 7870 kg/m3

 m = ?

Stap 2:

Schrijf de gegevens om in SI-eenheden:

V = 0,0012 m3

Stap 3:

Schrijf de formule ρ=m/V om in de juiste vorm. Doe dit volgens de techniek uit de vorige paragraaf. Ga niet gokken! In dit geval willen we de massa berekenen:

$$ m = \rho \times V $$

Stap 4:

Vul de formule in en reken het antwoord uit. Denk eraan de eenheid achter het antwoord te schrijven.

0,0012 × 7870 = 9,4 kg

 

         Voorbeeld

 

Vraag:

In BINAS kan je de dichtheid van Jupiter vinden. Deze dichtheid is uitgerekend met behulp van de straal en de massa van Jupiter. Voer deze berekening uit en laat zien dat je (ongeveer) dezelfde waarde vindt als in BINAS vermeld staat.

Antwoord:

De planeet Jupiter heeft de vorm van een bol. Volgens BINAS is het volume van een bol gegeven door:

$$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi r^3 $$

In BINAS vinden we dat de straal van Jupiter gelijk is aan 69,91 × 106 m. Het volume wordt hiermee:

$$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi \times (69,91 \times 10^6)^3 = 1,431 \times 10^{24} \text{ m}^3 $$

Let bij deze berekening op de haakjes.

De massa van Jupiter is volgens BINAS gelijk aan 1900 × 1024 kg. Hiermee kunnen we de dichtheid uitrekenen:

$$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{1900 \times 10^{24}}{1,431 \times 10^{24}} = 1328 \text{ kg/m}^3 $$

In BINAS zien we 1330 kg/m3 staan voor de dichtheid. Dit ligt erg dicht bij de waarde die wij gevonden hebben.

 

 

Met de dichtheid kunnen we o.a. voorspellen of een voorwerp zal drijven of zinken. Als een voorwerp een grotere dichtheid heeft dan de omringende vloeistof, dan zal het voorwerp zinken. Als het een lagere dichtheid heeft, dan blijft het drijven.

         Voorbeeld

 

Vraag:

Straalvinnige vissen hebben in hun lichaam een zogenaamde zwemblaas zitten die gevuld kan worden met gas. De blaas stelt de vis in staat om op te stijgen en te zinken in het water zonder zijn vinnen te bewegen. Leg met behulp van het begrip dichtheid uit hoe dit werkt.

Antwoord:

Als de vis zijn blaas groter maakt, dan neemt het volume van de vis toe. De massa blijft echter hetzelfde. Volgens de formule ρ = m/V zorgt dit voor een afname van de dichtheid. Als de dichtheid van de vis onder de dichtheid van water komt, dan zal de vis opstijgen.

Als de vis zijn blaas kleiner maakt, dan neemt het volume van de vis af. De massa blijft echter hetzelfde. Volgens de formule ρ = m/V zorgt dit voor een toename van de dichtheid. Als de dichtheid van de vis hoger wordt dan de dichtheid van water, dan zal de vis zinken.

 

         Reken met dichtheid
  1. (1p) De dichtheid van aluminium is 2,7 g/cm3. Leg uit wat dit betekent.
  2. (1p) Leg uit waar je op moet letten bij het aflezen van de dichtheid uit BINAS.
  3. (4p) Een plank heeft een massa van 1,0 kg. De plank is 2,0 cm dik, 10 cm breed en 80 cm lang. Bereken de dichtheid van de plank in kilogram per kubieke meter.
  4. (5p) Een persoon wil bepalen van welk type hout een groot schaakstuk gemaakt is. Hij gebruikt hiervoor o.a. de onderdompelmethode (zie de onderstaande afbeelding). De massa van het schaakstuk is 340 g. Bepaal van welke type hout het schaakstuk gemaakt is.

  5. (4p) Bereken de massa van 10 dm3 tin.
  6. (4p) Bereken het volume van 20 gram aluminium.
  7. (4p) Een lege kamer heeft een lengte van 8,0 m, een breedte van 5,0 meter en een hoogte van 2,5 meter. Bereken de massa van de lucht in de kamer.
  8. (5p) In BINAS kan je de dichtheid van de aarde vinden. Deze dichtheid is uitgerekend met behulp van de straal en de massa van de aarde. Voer deze berekening uit en laat zien dat je dezelfde waarde voor de dichtheid van de aarde vindt als in BINAS vermeld staat.
  9. (5p) Een koperen stroomdraad heeft een diameter van 2,0 mm en een lengte van 40,0 m. Bereken de massa van de draad.
  10. Een scubadiver gebruikt een buoyancy control device (BCD) om in het water te zinken of drijven. Om te zinken laat de duiker lucht uit de BCD stromen.
    1. (3p) Leg uit dat dit ervoor kan zorgen dat de duiker zinkt.
    2. (3p) Om weer boven water te komen laat de duiker wat lucht van de zuurstoffles in de BCD stromen. Leg uit waarom dit werkt.
    3. (1p) De BCD kan ook gebruikt worden om net te blijven zweven op dezelfde plek onder water. Leg uit hoe dit werkt.

 

§4     Significante cijfers

In deze paragraaf gaan we bestuderen hoe we in de natuurkunde afronden. Dit doen we met behulp van significante cijfers.

In de natuurkunde werken we met metingen en metingen zijn vaak onnauwkeurig. Het ligt daarom voor de hand dat we cijfers in de natuurkunde afronden op basis van de nauwkeurigheid van de meting. Hoe nauwkeuriger de meting is, op hoe meer getallen we de meetwaarde afronden.

Neem bijvoorbeeld het potlood in de volgende afbeelding. De meeste mensen zullen waarschijnlijk zeggen dat dit potlood een lengte van 11 cm heeft. We kunnen de lengte van het potlood echter nauwkeurig genoeg aflezen, dat we zeker weten dat het eerste getal achter de komma een nul moet zijn. We zeggen daarom dat de lengte van dit potlood 11,0 cm is. We zien hier dus dat bij natuurkunde de nullen achter de komma van belang zijn!

De cijfers die we van een meetwaarde mogen noteren noemen we significante cijfers. De meetwaarde 11,0 cm bestaat dus uit drie significante cijfers.

Belangrijk is om te weten dat nullen aan de linkerkant van een meetwaarde niet meetellen als significante cijfers. De meetwaarde 0,0040 meter heeft dus slechts twee significante cijfers.

Maar wat nu als we een rekensommetje doen met verschillende meetwaarden? Op hoeveel cijfers moeten we het antwoord van dit sommetje dan afronden? De regel is dat we bij vermenigvuldigen en delen het antwoord schrijven in evenveel significante cijfers als de meetwaarde met het minst aantal significante cijfers. Laten we een voorbeeld bespreken. Stel een auto rijdt 200,0 meter in 20,6 seconden. Als we de snelheid op onze rekenmachine berekenen, dan vinden we:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{200,0}{20,6} = 9,708737864 \text{ m/s}$$

200,0 heeft vier significante cijfers en 20,6 heeft er drie. Drie is het minst, dus we willen het antwoord ook op drie cijfers afronden:

$$ v = \frac{200,0}{20,6} = 9,71 \text{ m/s}$$

Nog een voorbeeld. Stel een ruimteschip vliegt 3000 meter in 2,0 seconden. De snelheid wordt dan:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{3000}{2,0} = 1500 \text{ m/s} $$

3000 heeft vier significante cijfers en 2,0 heeft er twee. Het antwoord willen we dus ook maar in twee cijfers noteren. Maar hoe noteren we het getal 1500 in slechts twee cijfers? Dit doen we met behulp van machten van tien. We schrijven:

$$ v = \frac{3000}{2,0} = 1,5 \times 10^3 \text{ m/s} $$

Machten van tien werken als volgt. 15 × 103 is gelijk aan 1500. Als we een waarde vermenigvuldigen met 103, dan schuift de komma dus drie plaatsen op naar rechts. Het getal 15 × 10-2 is gelijk aan 0,15. Als we een waarde vermenigvuldigen met 10-2, dan schuift de komma dus twee plaatsen op naar links.

Voor optellen en aftrekken bestaat een andere regel. We kijken na naar het aantal cijfers achter de komma van de gebruikte meetwaarden. We schrijven het antwoord op in evenveel cijfers achter de komma als de meetwaarde met het minst aantal cijfers achter de komma. Stel dat we bijvoorbeeld 15,3 meter optellen bij 0,32 meter, dan vinden we:

$$ 15,3 + 0,32 = 15,6 \text{ m} $$

Omdat 15,3 slechts één cijfer achter de komma heeft, schrijven we het antwoord ook maar met één cijfer achter de komma.

Let er wel op dat je de waarden eerst omschrijft naar dezelfde eenheid en met dezelfde tienmacht. Dus als je 3,0 × 103 meter wilt optellen bij 3,0 meter, dan vinden we:

$$ 3,0 \times 10^3 \text{ m} \times 0,0030 \times 10^3 \text{ m} = 3,0 \times 10^3 \text{ m} $$

In de praktijk is het niet nodig om bij elke rekenstap het antwoord in het juiste aantal significante cijfers te schrijven. Bij het eindantwoord is dit echter wel verplicht! Als je het eindantwoord gevonden hebt, kijk dan terug in de vraag naar alle meetwaarden die je gebruikt hebt en kijk welke waarde het minst aantal significante cijfers heeft. Schrijf je antwoord dan ook in dit aantal significante cijfers op.

Naast machten van tien is het soms ook mogelijk om voorvoegsels te gebruiken. In de onderstaande tabel staan de bekendste voorvoegsels:

G

giga

109

M

mega

106

k

kilo

103

h

hecto

102

da

deca

101

d

deci

10-1

c

centi

10-2

m

milli

10-3

μ

micro

10-6

n

nano

10-9

Met voorvoegsels kunnen we een meetwaarde als 3,45 × 10-6 m bijvoorbeeld ook schrijven als 3,45 μm.

Er zijn ook getallen in de natuurkunde die wel precies zijn. Neem bijvoorbeeld het aantal leerlingen in een klaslokaal, het aantal ramen in een gebouw, het aantal zijden van een vierkant enzovoorts. We noemen deze precieze getallen telwaarden. Omdat deze waarden precies zijn, hebben ze dus een oneindige hoeveelheid significante cijfers. Als gevolg is het bij berekeningen nooit nodig om naar de significante cijfers van telwaarden te kijken.

In sommige gevallen is het alleen nodig om een grove schatting te maken van een meetwaarde. In dat geval maken we gebruik van de orde van grootte. Bij de orde van grootte ronden we een meetwaarde af op nul significante cijfers. 2,0 × 103 wordt dan bijvoorbeeld 103. 7 × 102 wordt 103. In dit geval hebben we de '7' omhoog afgerond. 50 × 102 wordt 104. Door de '5' omhoog af te ronden vinden we 100 × 102 en dit is gelijk aan 104.

         Schrijven van meetwaarde in aantal significante cijfers
  1. (6p) Noteer het aantal significante cijfers van de volgende meetwaarden:
    1. 25,0 kg/m3
    2. 35600 m
    3. 12 km/h
    4. 0,350 m/s
    5. 0,000001 m
    6. 1,000001 m
  2. (2p) Beschrijf waar je op moet letten bij het bepalen van het aantal significante cijfers van een meetwaarde.
  3. (6p) Geef het aantal significante cijfers of geef aan dat er sprake is van een telwaarde:
    1. Een baksteen heeft een massa van 1 kg.
    2. De woonkamer heeft 3 grote ramen.
    3. De diameter van een cirkel is gelijk aan 2r.
    4. Er stromen per seconde 900 000 elektronen door de draad.
    5. Er stromen per seconde 900 × 103 elektronen door de draad.
    6. De spanning van het stopcontact is gelijk aan 230V.
  4. (8p) Na een berekening geeft je rekenmachine de volgende waarden aan. Schrijf ze in de aangegeven hoeveelheid significante cijfers:
    1. Schrijf 2500 in twee significante cijfers.
    2. Schrijf 0,0150 in twee significante cijfers
    3. Schrijf 150 in één significant cijfer.
    4. Schrijf 3400,8 in drie significante cijfers.
    5. Schrijf 1 500 000 in vier significante cijfers.
    6. Schrijf 0,00500000 in één significant cijfer.
    7. Schrijf 150 × 103 in twee significante cijfers.
    8. Schrijf 1800 × 10-5 in twee significante cijfers.
         Rekenen met significante cijfers
  1. (2p) Beschrijf hoe je het aantal significante cijfers bepaalt bij een berekening.
  2. Bereken de volgende opdrachten in het juiste aantal significante cijfers:
    1. (2p) Een sprinter rent 400,0 m en doet hier 55 seconden over. Bereken de snelheid van de sprinter.
    2. (2p) Een kamer heeft een lengte van 25,50 m en een breedte van 14 m. Bereken de oppervlakte van de kamer.
    3. (3p) Een cirkel heeft een diameter van 15,2 cm. Bereken de omtrek van de cirkel.
    4. (2p) Een kamer heeft een lengte van 5 m en een breedte van 3,51 m. Bereken de oppervlakte van de kamer.
  3. (5p) Een leerling denkt dat de massa van al de lucht in de kamer waarin hij staat zwaarder is dan hijzelf. De kamer heeft een lengte van 10 m, een breedte van 8 m en een hoogte van 2,5 m. Heeft de leerling gelijk of niet?
  4. (4p) Een kamer in een groot huis bevat 3 grote ramen met een lengte van 2,8 meter en een hoogte van 1,8 m. Het nadeel van ramen is dat er veel warmte door verloren gaat. Warmte wordt gemeten in joule en door elke vierkante meter glas blijkt gemiddeld 24 joule per seconde te stromen. Bereken hoeveel warmte er per dag aan warmte wegstroomt uit de kamer.
  5. (4p) Een aquarium heeft een lengte van 60 cm en een breedte van 30 cm. De hoogte van het aquarium is 50 cm. Het aquarium wordt gevuld met water totdat het water op 30 cm hoogte uitkomt. Een kraan wordt aangezet en levert 300 mL per seconde. Bereken hoelang het duurt voordat het water in het aquarium de gewenste hoogte heeft bereikt.

 

§5     Eenheden afleiden

In deze paragraaf gaan we leren de eenheid van onbekende grootheden te achterhalen. We noemen dit een eenheids-beschouwing, of ook wel een eenheidsbepaling.

Om systematisch met eenheden te werken is een wiskundige notatie bedacht. Neem bijvoorbeeld de zin, "de eenheid van de massa is kilogram". Dit kunnen we wiskundig opschrijven als:

$$ [m] = kg $$

De vierkante haakjes betekenen dus "de eenheid van". We kunnen deze schrijfwijze gebruiken om eenheden van onbekende grootheden te achterhalen. We noemen dit ook wel een eenheidsbeschouwing.

Stel bijvoorbeeld dat we de eenheid van de dichtheid willen weten, dan schrijven we:

$$ [\rho] = \frac{[m]}{[V]} = \frac{kg}{m^3}= \text{ kg/m}^3$$

De eenheid van de dichtheid is dus kg/m3.

Laten we nog een paar voorbeelden bespreken. Hieronder zien we de formule voor de versnelling (a). De versnelling is te berekenen door de toename van de snelheid (Δv) te delen door de tijdsduur (Δt):

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$

Stel we willen de eenheid van de versnelling weten, dan doen we:

$$ [a] = \frac{[\Delta v]}{[\Delta t]} = \frac{m/s}{s} = m/s^2 $$

De eenheid van de versnelling is dus m/s2.

De formule voor de kracht (F) wordt gegeven door:

$$ F = ma $$

De eenheid van de kracht is:

$$ [F] = [m][a] = kg \; m/s^2 $$

De eenheid van de kracht is in SI-grondeenheden dus gelijk aan kgm/s2. Meestal wordt dit afgekort tot newton.

Nog een laatste voorbeeld. Hieronder zien we de formule voor de luchtwrijvingskracht:

$$ F_{w,lucht} = \frac{1}{2} k v^2 $$

De k in de formule is een constante en v is de snelheid. Stel we willen de eenheid van deze constante k weten, dan schrijven we de formule eerst om:

$$ k = \frac{2F_{w,lucht}}{v^2} $$

De eenheid van k is:

$$ [k] = \frac{[2][F_{w,lucht}]}{[v^2]} = \frac{N}{m^2/s^2} = \frac{kg m/s^2}{m^2/s^2} = \frac{kg}{m}$$

Merk op dat het cijfer "2" geen eenheid heeft. In de laatste stap hebben we waarden boven en onder de deelstreep tegen elkaar weggestreept. De eenheid van k is dus kg/m.

         Achterhalen van eenheden met behulp van formules
  1. (1p) De eenheid van kracht is de newton. Geef de eenheid van kracht in SI-grondeenheden. Gebruik hiervoor de formule F = ma.
  2. (2p) De zwaartekracht kan worden berekend met de formule Fz = mg. Laat zien dat de eenheid van de constante g geschreven kan worden als N/kg en als m/s2.
  3. (2p) De kracht werkend op draaiende voorwerpen wordt gegeven door: $$ F = \frac{mv^2}{r} $$ F staat voor de kracht, m voor de massa, v voor de snelheid en r voor de baanstraal van de cirkelbeweging. Laat zien dat je met deze formule wederom vindt dat N = kgm/s2.
  4. De elektrische weerstand van een ijzeren draad is te berekenen met de volgende formule: $$ R = \rho \frac{l}{A} $$ De l staat hier voor de lengte van de draad, A staat voor de oppervlakte van de doorsnede van de draad. De letter ρ is hier niet de dichtheid maar de zogenaamde soortelijke weerstand. Voor ijzer heeft de soortelijke weerstand een waarde van 105 × 10-9 Ωm. R is de weerstand gemeten in Ω.
    1. (1p) Laat met de formule zien dat de soortelijke weerstand inderdaad wordt gegeven in 'Ohm keer meter'.
    2. (2p) Een draad heeft een lengte van 20,0 m en een doorsnede van 7,07 mm2. Bereken de weerstand van de draad.
  5. (3p) De luchtwrijvingskracht die werkzaam is op een voorwerp is te berekenen met de volgende formule: $$ F_w = \frac{1}{2}c_wA\rho v^2 $$ A is hier het frontaal oppervlak van het voorwerp, ρ is de dichtheid van de lucht en v is de snelheid. cw is een constante die afhangt van o.a. de vorm van het voorwerp. Laat zien dat deze constante geen eenheid heeft.
  6. (2p) In de 18de eeuw mat de wetenschapper Cavendish de zwaartekracht tussen twee zware loden bollen. De zwaartekracht kan worden berekend met deze formule: $$ F_z = \frac{Gm_1m_2}{r^2} $$ G is de zogenaamde gravitatieconstante en r is de afstand tussen de middelpunten van de twee bollen. m1 is de massa van de ene bol en m2 de massa van de andere bol. Vind met behulp van de formule de eenheid van G in SI-grondeenheden.
  7. (2p) De warmte (Q) in joule die nodig is voor een bepaalde temperatuurstijging (ΔT) van een bepaald voorwerp wordt gegeven door: $$ Q = cm\Delta T $$ Laat zien dat de eenheid van de constante c geschreven kan worden als Jkg-1K-1 en door m2s-2K-1.
  8. (2p) De formule voor de trillingstijd van een blokje aan een veer wordt gegeven door: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$ Laat zien dat de eenheid van C gelijk is aan N/m.

 

§6     Coördinatentransformaties (VWO)

In deze paragraaf gaan we leren hoe we een formule kunnen opstellen bij verschillende soorten grafieken.

Van een grafiek kunnen we een formule maken. Als een grafiek recht is en door de oorsprong gaat, dan spreken we van een recht evenredig verband. De bijbehorende formule heeft de volgende vorm:

$$y = ax$$

De constante a is hier gelijk aan de helling van de grafiek. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd. De helling wordt gegeven door:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

In het onderstaande voorbeeld vinden we dat de constante a gelijk is aan:

$$ a = \frac{3,5}{6,0} = 0,58 $$

In de onderstaande linker grafiek zien we een kwadratisch verband. De formule hiervoor is:

$$ y = ax^2 $$

We zouden de constante "a" nu kunnen bepalen door een punt op de grafiek te pakken en de bijhorende x- en y-coördinaat in te vullen in de formule. Dit is echter niet de meest nauwkeurige manier om "a" te bepalen. Beter is om van de grafiek een eerst een rechte lijn maken. Dit doen we met behulp van een coördinatentransformatie. In dit voorbeeld doen we dit door als variabele voor de x-as niet de "x" te nemen, maar de "x2". In dat geval krijgt de formule namelijk wederom een formule van de vorm "variabele 1 = constante × variabele 2" en verwachten we dus een rechte lijn. In de onderstaande tabel hebben we x2 uitgerekend voor een aantal waarden. In de rechter grafiek zien we dat deze meetwaarden inderdaad een rechte lijn opleveren.

x

x2

y

0,00

0,00

0,00

1,00

1,00

0,25

2,00

4,00

1,00

3,00

9,00

2,25

Als we de helling heel nauwkeurig met een computer laten uitrekenen, dan vinden we:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1,50}{6,00} = 0,250 $$

We hebben het antwoord hier in drie significante cijfers genoteerd, terwijl de meetwaarden maar in twee significante cijfers gegeven zijn. Dit komt omdat de trendlijn gemaakt is op basis van alle meetpunten en hierdoor worden meetfouten uitgemiddeld. Bij genoeg meetpunten, maakt dit de meting genoeg nauwkeurig voor een extra significant cijfer.

Als je deze grafiek zonder computer afleest, dan mag je slechts twee significante cijfers noteren, omdat je de grafiek maar op twee cijfers nauwkeurig kan aflezen.

In de onderstaande afbeelding zie je nog een aantal andere verbanden die vaak voorkomen. Het is van belang dat je deze verbanden uit je hoofd kent.

         Voorbeeld

 

Vraag:

Een leerling bestudeert de relatie tussen de lengte en de slingertijd van een slinger. De resultaten staan in de onderstaande grafiek.

De formule voor de slinger is:

$$ T = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \sqrt{L} $$

Bepaal met behulp van een coördinatentransformatie de waarde van g.

Antwoord:

Aan de vorm van de grafiek zien we dat we te maken hebben met een wortelverband. We hebben dus te maken met een formule van de vorm:

$$ T = a \sqrt{L} $$

We kunnen de waarde van "a" nauwkeurig bepalen met behulp van een coördinatentransformatie. Op de x-as schrijven we nu niet L, maar √L:

Als we de helling nauwkeurig laten aflezen met een computer, dan vinden we:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6,00}{2,99} = 2,01 $$

De formule wordt dus:

$$ T = 2,01 \sqrt{L} $$

Als we deze formule omschrijven, dan kunnen we de valversnelling g uitrekenen:

$$ g= \left( \frac{2\pi}{2,01} \right)^2 = 9,77 \text{ m/s}^2 $$

Dit komt overeen met de verwachtte waarde voor de valversnelling (9,81 m/s2).

 

         Bepalen van constanten met behulp van een coördinatentransformatie
  1. (2p) Een persoon doet onderzoek naar de relatie tussen de uitwijking van een veer en de veerkracht. Van zijn metingen maakt hij de volgende grafiek:

    Bepaal met behulp van de grafiek de grootte van de veerconstante (C) van de veer.
  2. In het onderstaande diagram zijn een aantal meetpunten te zien waarbij gekeken wordt naar de relatie tussen de frequentie (f) en de energie (E) van fotonen (lichtdeeltjes):

    1. (2p) De meetwaarden suggereren een recht evenredig verband. Leg uit hoe je dit kan zien.
    2. (2p) De formule die bij deze grafiek hoort is: $$ E=hf $$ Bepaal met behulp van de grafiek de constante h.
  3. (8p) Een persoon doet onderzoek naar de luchtwrijvingskracht. Hij gebruikt hiervoor een voorwerp met een frontaal oppervlak van 0,050 m2. Zijn metingen staan opgeschreven in de volgende tabel:

    Snelheid (m/s)

    Wrijvingskracht (N)

    1,0

    0,030

    2,0

    0,103

    3,0

    0,232

    4,0

    0,413

    5,0

    0,645

    6,0

    0,929

    7,0

    1,264

    8,0

    1,651

    De luchtwrijvingskracht wordt gegeven door: $$ F = \frac{1}{2}c_w\rho Av^2 $$ ρ is hier de dichtheid van de lucht, A het frontale oppervlak het voorwerp, v de snelheid van het voorwerp en cw een constante die o.a. afhangt van de vorm van het voorwerp. Bepaal met behulp van een coördinaattransformatie de waarde van de constante cw.
  4. (6p) In de onderstaande tabel zie je meetresultaten van een experiment waarbij gekeken is naar de trillingstijd van een blokje aan een veer. Telkens zijn blokjes met een verschillende massa gebruikt.

    Massa (g)

    Trillingstijd (s)

    10

    0,063

    20

    0,089

    30

    0,109

    40

    0,126

    50

    0,140

    60

    0,154

    De bijbehorende formule is: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$ Bepaal met behulp van een coördinatentransformatie de waarde van de constante C.
  5. In de 17de eeuw vond Kepler het volgende verband tussen de omlooptijd van een planeet (T) en de afstand van de planeet tot de zon (r): $$ r^3 = aT^2 $$
    1. (3p) Maak met behulp van BINAS een lineaire grafiek van dit verband. Gebruik hiervoor de omlooptijd en de afstand r van Mercurius, Venus, Aarde en Mars.
    2. (4p) Newton bewees later dat de formule geschreven kon worden als: $$ \frac{r^3}{T^2}= \frac{GM}{4\pi^2} $$ G is hier de gravitatieconstante (zie BINAS 7) en M staat voor de massa van de zon. Bepaal met behulp van de grafiek de massa van de zon.
  6. Als je blaast langs de opening van flessen is een toon te horen. Voor sommige soorten flessen wordt de frequentie van het geluid gegeven door: $$ f = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{Vl}} $$ Een leerling wil de geluidsnelheid bepalen met behulp van zo'n fles. De leerling gebruikt een fles met een opening met oppervlak A = 2,54 × 10-4 men een halslengte l = 0,070 m. De leerling vult de fles met water, zodat het volume lucht V in de fles aangepast kan worden. De frequentie van het geluid bij verschillende volumes is hieronder weergegeven in zowel een tabel als een grafiek:

    V (10-6 m3)

    f (102 Hz)

    94

    3,3

    172

    2,4

    298

    1,9

    448

    1,6

    630

    1,3

    1. (1p) Leg uit wat de eenheid langs de horizontale as moet zijn.
    2. (2p) Leg met behulp van de formule uit dat de grafiek een rechte lijn is die door de oorsprong gaat.
    3. (2p) Bereken de geluidssnelheid met behulp van de gegeven functie.
    4. (1p) Zoals je kunt zien zijn de gemeten frequenties in de tabel in 2 significante cijfers genoteerd, maar de helling van de grafiek staat in 3 significante cijfers genoteerd. Geef de reden voor dit extra significante cijfer.
      (Bron: examen VWO 2016-2)

BINAS:  
2 Voorvoegsels
3-5 Grootheden en eenheden
8-12 Dichtheid
31 Eigenschappen planeten
36 Volumes en oppervlaktes
35 Formules