BASIS
BEWEGING
KRACHT
GRAVITATIE
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
MOMENT (HAVO)
MODELLEREN (VWO)
ELEKTRICITEIT
WARMTE (HAVO)
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden

Hoofdstuk 4
Gravitatie

§1     De valversnelling

In dit hoofdstuk gaan we de zwaartekracht bestuderen. In de eerste helft van het hoofdstuk kijken we naar de valbeweging op aarde. Daarna gaan we zien hoe de zwaartekracht er ook voor zorgt dat objecten in een baan om een hemellichaam kunnen belanden. We beginnen deze paragraaf met het beschrijven van de valbeweging van voorwerpen met en zonder wrijvingskracht.

Als een voorwerp ongehinderd valt, dan spreken we van een vrije val. Bij een vrije val werkt dus alleen de zwaartekracht op het voorwerp. Alle andere krachten zijn dan afwezig of verwaarloosbaar klein. Voor een vrije val geldt dus:

$$ F_{res} = F_z $$

Als we deze vergelijking uitwerken met de formules Fres = ma en Fz = mg, dan vinden we:

$$ ma=mg $$

Door aan beide kanten de massa weg te strepen vinden we dan:

$$ a = g $$

Een voorwerp dat een vrije val ondergaat heeft dus altijd een versnelling gelijk aan de valversnelling (g), ongeacht de massa van dit voorwerp. In afwezigheid van luchtwrijving zou een veer dus even snel moeten vallen als een hamer. Dit experiment is getest op de maan en dit blijkt inderdaad het geval te zijn (zie de onderstaande video). (zie het filmpje op de website).

Het (v,t)-diagram van een vrije val is hieronder afgebeeld. Als we het diagram nauwkeurig aflezen, dan vinden we inderdaad de valversnelling (g):

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a = \frac{49,05}{5,00} = 9,81 \text{ m/s}^2 $$

In het volgende (v,t)-diagram zien we een val waarbij de luchtwrijvingskracht niet te verwaarlozen is. Zoals je kunt zien wordt de versnelling steeds kleiner. Ook uit dit diagram kunnen we echter de valversnelling vinden. Dit doen we door op t = 0 s de raaklijn te nemen. Op dit punt is de snelheid van het voorwerp namelijk nog nul en is er dus ook geen luchtwrijvingskracht. Als gevolg hebben we op dit moment te maken met een vrije val en geldt dus ook a = g.




         Beschrijven van valbewegingen met en zonder wrijvingskracht met (x,t)- en (v,t)-diagrammen
  1. Schets een (x,t)- en een (v,t)-diagram van een vallende steen zonder luchtwrijvingskracht.
  2. Schets een (x,t)- en een (v,t)-diagram van een vallende steen met luchtwrijvingskracht.
         Bepalen van de valversnelling met behulp van een (v,t)-diagram met en zonder wrijvingskracht
  1. In het onderstaande (x,t)- en (v,t)-diagram wordt een valbeweging beschreven.

    1. Leg uit hoe je aan beide diagrammen kunt zien dat de wrijvingskracht niet te verwaarlozen is.
    2. Bepaal de snelheid van het voorwerp op t = 0 s.
    3. Bepaal de versnelling van het voorwerp op t = 0 s.
  2. De maan heeft geen atmosfeer. Teken een (v,t)-diagram van de val van een steen op de maan.
  3. In het onderstaande (v,t)-diagram is een parachutesprong weergegeven.

    1. Op punt B opent de persoon zijn parachute en als gevolg wordt er een grote luchtwrijvingskracht omhoog uitgeoefend op de persoon. Vul de onderstaande zinnen aan en licht je keuzes toe:
      De luchtwrijvingskracht is op dit moment groter / kleiner dan de zwaartekracht.
      Als gevolg beweegt op dit moment persoon omhoog / omlaag.
    2. De luchtwrijvingskracht werkende op de springer op punt A (parachute dicht) is gelijk aan de luchtwrijvingskracht in punt C (parachute open). Leg uit dat dit het geval is.
    3. Leg uit hoe het kan dat de wrijvingskracht gelijk is in punt A en C, terwijl in punt C de parachute wel volledig open is.
    4. Bepaal met behulp van de grafiek de valversnelling g.

    5. (bron: examen VWO 2002-1)
  4. (VWO) Een persoon maakt twee parachutesprongen van verschillende hoogten. Beide sprongen zijn in het onderstaande diagram weergegeven. In beide gevallen ging de parachute open op een hoogte van 700 m.

    1. Na het openen van de parachute lopen de grafieken even steil. Verklaar waarom dit gebeurt.
    2. We bestuderen nu de sprong van de parachutespringer die van een hoogte van 5000 meter gesprongen is. Leg uit of de wrijvingskracht op deze springer op een hoogte van 1500 meter groter, kleiner of gelijk is aan de wrijvingskracht op 500 meter.
  5. Het onderstaande (v,t)-diagram beschrijft een sprong van een volleybalspeler.

    Ga na of de wrijvingskracht die de springer ondervindt tussen t = 0,1 en t = 0,4 s verwaarloosbaar is.
    (bron: examen VWO 2015-1)
  6. In de onderstaande afbeelding zien we een zogenaamde bungeetrampoline. Een persoon kan hier met behulp van twee elastische koorden en een trampoline erg hoog springen. Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een persoon in het apparaat.

    Ga na of de persoon op het hoogste punt nog steeds een kracht van de elastische koorden ondervindt of dat deze op dat moment niet gespannen zijn. Je mag ervan uitgaan dat de wrijvingskrachten verwaarloosbaar zijn.
    (bron: examen VWO 2011-1)

 

§2     Gewichtloosheid (VWO)

In deze paragraaf gaan we het concept vrije val gebruiken om gewichtloosheid te begrijpen.

Een voorwerp in vrije val is gewichtsloos. Om dit principe te begrijpen is het eerst noodzakelijk om de gewichtkracht (Fg) te begrijpen. De gewichtkracht wordt ook wel het gewicht genoemd. In het dagelijks leven wordt gewicht vaak uitgedrukt in kilogram, maar dit is onjuist. Gewicht is een kracht en wordt dus uitgedrukt in newton.

Het gewicht is de kracht die een voorwerp uitoefent op zijn ondersteuning of ophangpunt. In de linker onderstaande afbeelding zien we een blok dat op de grond ligt. De aarde trekt het blok naar beneden (dit is de zwaartekracht). Als gevolg duwt het blok tegen de grond aan (dit is het gewicht). In de rechter afbeelding zien we een soortgelijk voorbeeld. De aarde trekt het blok naar beneden (dit is de zwaartekracht). Als gevolg trekt het blok aan het touw (dit is het gewicht).

In de linker onderstaande afbeelding ligt een blok met een massa van 100 kg op de grond. De zwaartekracht die op dit blok werkt is Fz = mg = 100 × 9,81 = 981 N. Omdat de zwaartekracht ervoor zorgt dat het blok tegen de grond wordt getrokken, is het gewicht hier ook gelijk aan 981 N.

In de middelste afbeelding ondergaat het blok een vrije val. De massa van het blok is nog steeds 100 kg en de zwaartekracht is volgens de formule Fz = mg ook nog steeds 100 × 9,81 = 981 N. Het blok duwt nu echter niet tegen een ondergrond en als gevolg is de gewichtkracht nul. Het voorwerp wordt in deze omstandigheid daarom ook wel gewichtloos genoemd.

We kunnen beter begrijpen waarom we hier het woord gewichtloos gebruiken als we hetzelfde blok laten vallen in een vallende afgesloten ruimte (zie de rechter afbeelding). Zowel het blok als deze ruimte zal versnellen met valversnelling g en het blok zal daarom ook niet tegen de ondergrond van de kamer duwen. Als gevolg lijkt het blok te zweven in de kamer alsof er helemaal geen zwaartekracht is. Dit noemen we gewichtloosheid. In het onderstaande filmpje kan je dit effect zien.In het filmpje op de website kan je dit effect zien.

Een voorwerp is zelfs gewichtloos als het omhoog gegooid wordt. De omhooggaande beweging is dus ook onderdeel van de vrije val. Ook hier ervaart het voorwerp dus gewichtloosheid.

Het verschil tussen zwaartekracht en gewicht is ook duidelijk te ervaren in een lift. Hieronder zien we links een lift die omhoog versnelt. Er werkt in dit geval dus een resulterende kracht omhoog. Deze kracht wordt geleverd door een extra grote normaalkracht. Het is deze kracht die ervoor zorgt dat we ons iets ‘zwaarder’ voelen als een lift omhoog versnelt. In de tweede afbeelding versnelt een lift naar beneden en werkt er dus ook een resulterende kracht naar beneden. Als gevolg wordt de normaalkracht nu kleiner dan normaal. Het is dit effect dat ervoor zorgt dat we ons iets ‘lichter’ voelen als een lift naar beneden versnelt.

         Rekenen met gewicht en gewichtloosheid
  1. In Bremen staat een zogenaamde valtoren waarin voorwerpen over een afstand van 110 meter kunnen vallen in een vacuüm ruimte. Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een voorwerp op het moment dat de toren nog gevuld was met lucht. Op tijdstip t = 5,1 s heeft het voorwerp de 110 meter afgelegd.

    1. De lucht wordt uit de toren gepompt. Teken in het bovenstaande diagram hoe de grafiek er nu uit ziet. Laat de grafiek eindigen op het tijdstip dat de 110 meter is afgelegd.
    2. In plaats van het voorwerp van bovenaf te laten vallen, kan het voorwerp ook van onderaan omhoog worden afgeschoten. Dit wordt gedaan met een soort katapult. In het onderstaande (h,t)-diagram is de beweging van het voorwerp te zien vanaf het moment dat het loskwam van de katapult. Gedurende welke momenten is het voorwerp gewichtloos?

    3. De katapult heeft er 0,40 seconde over gedaan om het voorwerp vanuit stilstand op snelheid te brengen. Bereken de gemiddelde kracht die de katapult op het voorwerp heeft uitgeoefend. Het voorwerp heeft een massa van 1,5 kg.
      (bron: examen VWO 2008-2)
  2. Hieronder is links een lift weergegeven die omhoog versnelt en rechts een lift die omlaag versnelt. Geef in beide gevallen aan of je je lichter of zwaarder voelt dan normaalgesproken het geval is. Leg dit telkens uit door de krachten werkende op de persoon te schetsen.

  3. Hieronder is het (a,t)-diagram van de beweging van een persoon met een massa van 75 kg in een lift weergegeven.

    1. Geef aan op welke momenten de lift stilstaat, constant beweegt, versnelt of vertraagt. Je mag ervan uitgaan dat de lift op tijdstip t = 0 s stilstond.
    2. Bereken voor elk deel van de grafiek de resulterende kracht werkende op de persoon.
    3. De persoon stond tijdens de beweging op een weegschaal. Geef voor elk moment aan welke waarde de weegschaal aangeeft.

 

§3     Cirkelbewegingen

In dit hoofdstuk gaan we de theorie uit het hoofdstuk 'beweging' en 'kracht' uitbreiden, zodat we hier ook cirkelbewegingen mee kunnen beschrijven. Dit stelt ons in staat om bijvoorbeeld de beweging van de aarde om de zon te kunnen begrijpen. In deze paragraaf bestuderen we het 'beweging'-deel van de cirkelbeweging. In de volgende paragraaf kijken we naar de kracht die hiervoor nodig is.

In hoofdstuk beweging en kracht hebben we rechtlijnige bewegingen bestudeerd. In dit hoofdstuk gaan we dit uitbreiden door voorwerpen te bestuderen die een bocht maken. Denk bijvoorbeeld aan een auto die de bocht door gaat of de beweging van de aarde om de zon. Om bochten goed te begrijpen bestuderen we eerst de cirkelbeweging. Hieronder zien we bijvoorbeeld een massa m, die een cirkelbeweging maakt om het middelpunt M. De afstand tussen m en M blijft gedurende de beweging constant. We noemen deze afstand de baanstraal (r).

Zoals altijd vinden we de snelheid van deze massa door de afgelegde afstand te delen door de tijdsduur. De afgelegde weg van één omwenteling is gelijk aan de omtrek van de cirkel (2πr). De tijd die nodig is voor een omwenteling noemen we de omlooptijd (T). De snelheid van massa m wordt dus gegeven door:

$$ v_{baan} = \frac{2\pi r_{baan}}{T} $$

Baansnelheid (vbaan)

meter per seconde (m/s)

Baanstraal (rbaan)

meter (m)

Omlooptijd (T)

seconde (s)

 

In tabel 31 van BINAS kan je een hele hoop gegevens vinden over de banen van verschillende planeten en manen. Let er bij de opdrachten goed op of je de straal van de planeet nodig hebt (de afstand van het middelpunt van de planeet tot het oppervlak) of de baanstraal van de planeet (de afstand van het midden van de planeet tot het midden van de zon).

Een ander bekend voorbeeld van een object dat in een cirkelbaan draait is een satelliet. Satellieten worden bijvoorbeeld gebruikt om tv-kanalen te ontvangen met een satellietschotel. Om er voor te zorgen dat de satellietschotel telkens naar de satelliet blijft wijzen, is het nodig dat de satelliet precies meedraait met de aarde. Deze satellieten hebben dus een omlooptijd van 24 uur. Satellieten met deze omlooptijd worden geostationaire satellieten genoemd.

Naast de omlooptijd, gaan we in deze paragraaf ook rekenen met het toerental, hetgeen vaak gemeten wordt in rpm (dit staat voor revolutions per minute of in het Nederlands 'omwentelingen per minuut'). Stel dat een wasmachine een toerental heeft van 1500 rpm, dan kunnen we met behulp van een verhoudingstabel gemakkelijk de omlooptijd T in seconden vinden:

1500 omwentelingen

1 omwenteling

60 seconden

... seconden

We vinden dan T = 1 × 60 / 1500 = 0,04000 s.

         Rekenen met de baansnelheid
  1. Een steen wordt rondgeslingerd aan een touw. De touw heeft een lengte van 2,0 meter. De steen maakt elke 0,50 seconden een rondje. Bereken de snelheid van de steen.
  2. Een elektron in een waterstofatoom beweegt met een gigantische snelheid van 2,1877 × 106 m/s om de atoomkern. Het elektron bevindt zich op een afstand van 5,29177211 × 10-11 m van de atoomkern. Hoe lang duurt één omwenteling?
  3. Bereken de snelheid waarmee de aarde om de zon draait. Gebruik hier BINAS tabel 31.
  4. Bereken de snelheid van een persoon op de evenaar ten gevolge van de draaiing van de aarde om zijn eigen as.
  5. Leg uit welke afstand uit BINAS je hebt moeten gebruiken in vraag 4 en welke in vraag 5.
  6. Het internationale ruimtestation bevindt zich op 400 km boven het aardoppervlak en heeft een snelheid van 7,9 km/s.
    1. Bereken de omlooptijd van het station.
    2. Waar moest je in de vorige vraag op letten bij het rekenen met de hoogte boven het aardoppervlak.
    3. Bereken hoeveel rondjes het ruimtestation per dag om de aarde maakt.
  7. Geostationaire satellieten bevinden zich op 35786 km boven het aardoppervlak en maken een baan boven de evenaar. Een dergelijke satelliet heeft de eigenschap dat het met de aarde meedraait en zo dus altijd boven hetzelfde plekje op aarde staat. Bereken de snelheid van deze satellieten.
  8. (VWO) Amsterdam bevindt zich op 52° noorderbreedte. Bereken de snelheid die een persoon in Amsterdam heeft ten gevolge van de draaiing van de aarde.
  9. In de volgende afbeelding zien we de rotatiekromme van een melkwegstelsel. Deze grafiek vertelt ons de snelheid van sterren in het melkwegstelsels op verschillende afstanden van het middelpunt van het stelsel. Deze afstanden worden gemeten in kiloparsec (kpc).

    1. Leg uit waar de verticale lijnen door de meetpunten voor staan.
    2. Leg uit waar de grafiek (de doorgetrokken lijn) voor staat.
    3. Bereken de omlooptijd van de gemiddelde ster op een afstand van 12,0 kpc.
         Rekenen met het toerental
  1. Een wasmachine heeft een toerental van 1500 rpm. De diameter van de wasmachine is 50 cm. Bereken de snelheid waarmee de wasmachine ronddraait.
  2. Een spiraalboor heeft een diameter van 8 mm. Bij het boren door staal draait de boor met een snelheid van 35 m/min.
    1. Bereken het toerental van de boor.
    2. Zal bij het boren in hout het toerental groter of kleiner worden? En hoe zit dit met de omlooptijd? Licht je antwoord toe.
  3. Een elektron in een waterstofatoom beweegt met een gigantische snelheid van 2,1877 × 106 m/s om de atoomkern. Het elektron bevindt zich op een afstand van 5,29177211 × 10-11 m van de atoomkern. Bereken hoeveel omwentelingen het elektron per minuut maakt.

 

§4     De middelpuntzoekende kracht

In deze paragraaf bestuderen we de kracht die nodig is om een object in een cirkelbaan te houden. We noemen dit de middelpuntzoekende kracht.

In de vorige paragraaf hebben we geleerd over cirkelbewegingen, maar hoe krijgen we een voorwerp in een cirkelbaan? Dit doen we door een kracht uit te oefenen loodrecht op de bewegingsrichting van het voorwerp. We zien dit gebeuren in de onderstaande linker afbeelding. Rechts is een voorwerp afgebeeld dat in een cirkelbaan beweegt. Merk op dat de kracht wederom loodrecht op de bewegingsrichting staat en dat de kracht hierdoor naar het middelpunt van de cirkelbaan wijst. We noemen een dergelijke kracht daarom ook wel een middelpuntzoekende kracht (Fmpz).

AFBEELDING

We kunnen deze beweging als volgt begrijpen. Volgens de eerste wet van Newton bewegen ongehinderde voorwerpen met een constante snelheid en in een rechte lijn. We noemen dit ook wel een eenparige beweging. Een voorwerp dat een cirkelbeweging maakt, zou dus 'het liefst' op elk moment rechtdoor willen bewegen. De middelpuntzoekende kracht trekt het voorwerp echter elk moment terug richting het middelpunt van de cirkel. Op deze manier blijft het voorwerp in zijn cirkelbaan.

In de extra paragraaf aan het eind van dit hoofdstuk zullen we bewijzen dat voor het maken van een cirkelbeweging de grootte van deze kracht altijd gelijk moet zijn aan:

$$ F_{mpz} = \frac{mv_{baan}^2}{r_{baan}} \;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{Gebruik altijd SI-eenheden}$$

Middelpuntzoekende kracht (Fmpz)

newton (N)

Massa (m)

kilogram (kg)

Baansnelheid (vbaan)

meter per seconde (m/s)

Baanstraal (rbaan)

meter (m)

 

Het is belangrijk om te realiseren dat de middelpuntzoekende kracht niet een 'nieuwe soort kracht' is. Het is de kracht die nodig is om een voorwerp in zijn baan te houden en dit kan in principe door elke kracht gedaan worden. Als we een steen horizontaal rondslingeren aan een touw, dan is het bijvoorbeeld de spankracht in het touw die er voor zorgt dat de steen in zijn baan blijft. We zeggen in dat geval de middelpuntzoekende kracht geleverd wordt door de spierkracht. Een ander voorbeeld is het draaien van de aarde om de zon (zie de afbeelding linksonder). Ook hier werkt een middelpuntzoekende kracht. In dit geval wordt deze kracht geleverd door de gravitatiekracht.

Er werkt ook een middelpuntzoekende kracht als een auto een bocht maakt. In dit geval wordt de middelpuntzoekende kracht geleverd door de wrijvingskracht tussen de wielen en de weg. Deze extra wrijvingskracht wordt veroorzaakt doordat de bestuurder de voorwielen van de auto draait. De auto 'wil' rechtdoor, maar de wrijvingskracht forceert de auto in een cirkelbeweging. In de rechter afbeelding kan je zien dat auto's zo ontworpen zijn dat de wrijvingskracht op elk wiel naar hetzelfde middelpunt wijst.

Als inzittende van een auto lijkt het alsof je bij het maken van een bocht naar de buitenbocht wordt geduwd. Dit is echter een illusie! Wat er gebeurt, is dat de inzittenden in een rechte lijn willen voortbewegen, terwijl de auto de bocht om gaat. Het is dus niet zo dat je naar de buitenbocht wordt geduwd, maar juist dat de auto je de bocht in trekt!

Hetzelfde geldt voor het horizontaal rondslingeren van een steen aan een touw. Het lijkt alsof de steen een kracht naar buiten uitoefent, maar in werkelijkheid probeert de steen alleen maar rechtdoor te bewegen en is het jouw spierkracht die de steen in de cirkelbaan houdt. Als op een bepaald moment de middelpuntzoekende kracht zou wegvallen, dan zou het voorwerp (volgens de eerste wet van Newton) wegschieten in een rechte lijn in de richting die het op dat moment heeft. Het voorwerp schiet dan dus weg langs een raaklijn van de cirkelbaan (zie de onderstaande linker afbeelding).

Als een vliegtuig een bocht wil maken, dan moet het vliegtuig zorgen voor een kracht loodrecht op de bewegingsrichting. Dit doet een vliegtuig door te kantelen (zie de onderstaande linker afbeeldingen). Op de vleugels werkt namelijk een liftkracht die altijd loodrecht op de vleugels werkt. Door te kantelen krijgt deze liftkracht een component in de horizontale richting. Deze horizontale component staat loodrecht op de bewegingsrichting van het vliegtuig en zal dus fungeren als een middelpuntzoekende kracht.

Om het gemakkelijker te maken voor auto's om de bocht door te komen wordt een soortgelijk effect gebruikt. Het wegdek wordt een beetje gekanteld, zodat de normaalkracht van de weg een horizontale component krijgt en kan fungeren als middelpuntzoekende kracht. Zonder deze normaalkracht zou alleen de wrijvingskracht de middelpuntzoekende kracht kunnen leveren en als deze kracht niet voldoende is, dan vliegt de auto uit de bocht.

         Achterhaal welke soort kracht de middelpuntzoekende kracht levert in verschillende situaties
  1. Geef in de volgende situaties aan welke kracht de middelpuntzoekende kracht levert:
    1. Een steen wordt horizontaal rondgeslingerd aan een touw.
    2. De aarde wordt in zijn baan gehouden om de zon.
    3. Een fietser gaat de bocht door.
    4. Kleding wordt rondgedraaid in een wasmachine.
    5. Een elektron wordt in zijn baan gehouden in een atoom.
  2. Leg uit wat er bedoeld wordt met dat de middelpuntzoekende kracht geen 'nieuwe soort kracht' is.
  3. Een auto maakt een bocht naar links en jij zit op een stoel rechtsachter in de auto. Doordat de auto deze bocht maakt, hebt je het gevoel dat je uit de bocht geduwd wordt.
    1. Leg uit wat er werkelijk aan de hand is. Waarom voelt het dan toch zo?
    2. Schets welke kant je op zou vliegen als de auto een scherpe bocht maakt en er geen deuren zaten om je in de baan te houden.
  4. Een fietser rijdt door de regen. Het wiel draait snel genoeg dat druppels van het wiel af schieten. Teken op verschillende plaatsen op het wiel in welke richting de druppels wegschieten.
         Rekenen met de formule voor de middelpuntzoekende kracht
  1. Bereken de gravitatiekracht waarmee de maan in zijn baan om de aarde wordt gehouden. Bereken hiervoor eerst de snelheid van de maan met de formule uit de vorige paragraaf (2πr/T = v).
  2. Bereken de middelpuntzoekende kracht die werkt op een persoon met een massa van 80 kg op de evenaar ten gevolg van de draaiing van de aarde om zijn eigen as.
  3. Het internationaal ruimtestation heeft een massa van 4,2 × 105 kg en ondervindt een zwaartekracht van 3,9 × 106 N. Het ruimtestation bevindt zich in een baan 400 km boven het aardoppervlak. Bereken hoe lang het duurt voordat het ruimtestation een rondje om de aarde gemaakt heeft.
  4. Een proton wordt een magneetveld in geschoten en begint een cirkelbaan te maken. De magnetische kracht werkende op het proton is 8,36 × 10-24 N en de cirkelbaan heeft een straal van 2,00 cm. De omlooptijd van het proton is 12,7 ms. Bereken hiermee de massa van het proton.
  5. Een elektron beweegt binnen 1,52 × 10-16 s om de atoomkern in een waterstofatoom. De snelheid van het elektron is 2,1877 × 106 m/s. Bereken hiermee de elektrische kracht waarmee het elektron wordt aangetrokken tot de atoomkern.
  6. Hieronder zien we een indoorwielrenner. Zoals je kunt zien loopt de wielrenbaan in de bochten schuin.

    1. Leg uit waarom de helling schuin is gemaakt. Leg dit uit met behulp van de krachten die er werken.
    2. De voorste wielrenner heeft een massa van 70 kg. Bepaal aan de hand van de foto de middelpuntzoekende kracht die op deze wielrenner werkt. Maak hiervoor eerst een tekening van de krachten die er werken.
  7. In de film Elysium wordt een ringvormig ruimtestation beschreven. Door de snelle rotatie van het schip kunnen mensen op de binnenwand van het schip lopen alsof er zwaartekracht werkt.
    1. Leg uit hoe men met de draaiing van het schip zwaartekracht kan simuleren.
    2. Geef aan in welk van de onderstaande afbeeldingen de krachten correct zijn weergegeven.

  8. (VWO) Een blokje aan een slinger maakt cirkelbewegingen zoals hieronder is aangegeven. De slinger heeft een lengte L van 20,6 cm en de hoogte h van 20 cm. De massa van het blokje is 200 g en de hoek θ is 12°. De afbeelding is niet op schaal weergegeven.

    1. De snelheid van het blokje hangt niet af van de massa. Laat dit zien. Leid hiervoor eerst af dat: $$ v = \sqrt{gr\tan\alpha} $$
    2. Bereken de snelheid van het blokje.
  9. Als een vliegtuig rechtdoor vliegt, dan is de zwaartekracht die op het vliegtuig werkt in evenwicht met de liftkracht die loodrecht op de vleugels werkt. Als het vliegtuig kantelt, dan zal het vliegtuig een bocht maken en ook een beetje dalen. Leg beide fenomenen uit aan de hand van de krachten die er werken.


    (bron: examen VWO 2017-1)
  10. Hieronder zien we een slinger die heen en weer beweegt. De lengte van het touw is 1,0 m en het blokje heeft een massa van 80 g.

    1. Bij zijn maximale uitwijking is de middelpuntzoekende kracht die op het blokje werkt nul. Leg dit uit.
    2. Op het laagste punt werkt er zowel een spankracht als een zwaartekracht. Leg uit dat de spankracht groter moet zijn dan de zwaartekracht.
    3. De massa gaat met een snelheid van 0,40 m/s door het laagste punt. Bereken de spankracht in het touw.

 

§5     Gewichtloosheid II (VWO)

In deze paragraaf kijken we nogmaals terug naar het begrip gewicht en gewichtloosheid. Deze keer passen we het toe op de cirkelbeweging. We gaan hiermee begrijpen waarom voorwerpen in een baan om de aarde gewichtloosheid ervaren.

De middelpuntzoekende kracht kan ervoor zorgen dat een persoon gewichtloosheid ervaart. Dit kunnen we begrijpen met het volgende voorbeeld. In de onderstaande afbeelding zien we een aantal achtbaankarretjes door de bocht gaan. Als een karretje stil zou staan boven op deze bocht, dan zou een persoon in dit karretje met zijn volledige zwaartekracht tegen zijn stoel drukken. Als het karretje met een behoorlijke snelheid deze bocht maakt, dan is er een middelpuntzoekende kracht nodig om de persoon in zijn baan te houden. Deze kracht wordt geleverd door de zwaartekracht van de persoon. Een deel van de zwaartekracht van de persoon zal nu dus niet gebruikt worden om de persoon tegen de stoel te drukken, maar zal gebruikt worden als middelpuntzoekende kracht. Als gevolg voelt de persoon zich nu lichter.

Als de kar nog sneller gaat bewegen, dan komt er een moment dat de zwaartekracht gelijk wordt aan de middelpuntzoekende kracht. De volledige zwaartekracht wordt nu dus gebruikt als middelpuntzoekende kracht en er is dus geen kracht meer over waarmee de persoon tegen de stoel drukt. Als gevolg ervaart de persoon nu gewichtloosheid.

Hetzelfde effect vindt plaats in een satelliet in zijn baan om de aarde. We krijgen een satelliet in een baan om de aarde door het een snelheid mee te geven, waarbij de middelpuntzoekende kracht gelijk wordt aan de zwaartekracht. Als gevolg is de satelliet gewichtloos en valt hierdoor niet meer terug naar de aarde. De satelliet bevindt zich nu in een baan om de aarde.

         Reken met de middelpuntzoekende kracht en gewichtloosheid
  1. Een persoon in een achtbaankarretje gaat over de kop.

    1. De persoon gaat net snel genoeg dat de persoon op het hoogste punt even gewichtloos is. Is de middelpuntzoekende kracht nu groter dan, kleiner dan of gelijk aan de zwaartekracht? Is er nu een normaalkracht aanwezig? Zo ja, geef dan ook de richting van de normaalkracht.
    2. De persoon gaat nu sneller de looping door dan in vraag a. Is de middelpuntzoekende kracht nu groter dan, kleiner dan of gelijk aan de zwaartekracht? Is er nu een normaalkracht aanwezig? Zo ja, geef dan ook de richting van de normaalkracht.
  2. Leg uit in welke omstandigheden men gewichtloosheid ervaart bij het maken van een cirkelbeweging. 
  3. Een persoon van 70 kg gaat met zijn vliegtuig over de kop. Zijn cirkelvormige baan heeft een straal van 20 meter. Hij gaat snel genoeg dat zijn stoel een normaalkracht op hem uitoefent van 200 N op het hoogste punte van de cirkelbaan. Bereken de snelheid waarmee het vliegtuig gaat.

  4. Het is ook mogelijk om als mens door een kleine looping te rennen. De looping in de onderstaande afbeelding heeft een diameter van 2,8m.

    Bereken de minimale snelheid die de persoon moet hebben om door de looping te rennen zonder te vallen. Laat hiervoor eerst zien dat: $$ v_{min} = \sqrt{gr} $$
  5. Een persoon van 80 kg bevindt zich op de evenaar.
    1. Laat met een berekening zien dat de middelpuntzoekende kracht die op de persoon werkt gelijk is aan 2,7 N.
    2. Hoe groot is de normaalkracht die de grond op de persoon uitoefent in dat geval?
    3. Hoe snel zou de aarde moeten draaien om de persoon gewichtloos te maken?
  6. In de onderstaande afbeelding zien we een dubbelplanetoïde, bestaand uit twee brokstukken die om elkaar heen draaien. De grote wordt α genoemd en de kleine β.

    In de onderstaande tabel staan een aantal gegevens van α:

    Massa

    2,6 × 1012 kg

    Diameter

    1,5 km

    Gravitatieversnelling op evenaar

    4,3 × 10-4 m/s2

    Rotatietijd om eigen as

    2,5 h

    1. α draait zo snel dat losliggende stenen op de planetoïde lichter aanvoelen dat je met alleen de zwaartekracht zou verwachten. Leg uit hoe de draaiing van de planetoïde hiervoor zorgt.
    2. Bereken hoeveel procent een losliggende steen op α lichter aanvoelt dan je met de zwaartekracht alleen zou verwachten.
    3. Als de planetoïde nog sneller zou bewegen, dan zouden losliggende stenen zweven op het oppervlak van de planetoïde. Bij welke omlooptijd gebeurt dit?
      (bron: examen VWO 2014-pilot)

 

§6     De algemene gravitatiekracht

In deze paragraaf gaan we begrijpen hoe objecten in een baan om een hemellichaam terecht kunnen komen. We zullen ook de benodigde formules opstellen om deze baan te beschrijven.

Voor Newtons ontdekkingen, dachten wetenschappers dat de natuurwetten op aarde anders waren dan de natuurwetten in de ruimte. In de ruimte zien we objecten namelijk vaak in cirkelbanen bewegen, terwijl dit op aarde slechts zelden gebeurt. Newton liet echter zien dat met dezelfde formule zowel het vallen van voorwerpen op aarde als de planeetbanen verklaard konden worden. Newton's redenering was als volgt. Stel dat we een gigantisch kanon op aarde zouden bouwen (zie de onderstaande afbeelding en de animatie op de website)(zie de onderstaande animatie). En stel dat we dan een kogel zo snel af schieten dat de valbeweging van de kanonskogel dezelfde bocht maakt als de kromming van de aarde. In dat geval zou de kogel altijd vallen, maar nooit dichter bij de aarde komen. De kogel zal dan in een baan om de aarde bewegen, zoals ook de maan dat doet. Newton liet hiermee zien dat hij met de zwaartekracht de baan van de maan kon verklaren!

AFBEELDING

Newton begreep ook dat alle voorwerpen in het universum elkaar aantrekken doormiddel van de gravitatiekracht. De gravitatiekracht is een ander woord voor de zwaartekracht, maar meestal gebruiken we het woord 'zwaartekracht' voor het beschrijven van vallende voorwerpen op aarde en het woord 'gravitatiekracht' voor het beschrijven van de beweging van hemellichamen. In de extra paragraaf van dit hoofdstukIn de extra paragraaf op de website zullen we bewijzen dat deze kracht gegeven wordt door:

$$ F_g = \frac{GMm}{r^2}$$

Gravitatiekracht (Fg)

newton (N)

Gravitatieconstante (G)

6,67 × 10-11 Nm2kg-2

Grootste massa (M)

kilogram (kg)

Kleinste massa (M)

kilogram (kg)

Afstand tussen de massamiddelpunten (r)

meter (m)

 

Als we deze formule gelijkstellen aan de al bekende formule Fz=mg, dan vinden we:

$$ mg = \frac{GMm}{r^2} $$

Als we de massa m aan beide kanten wegstrepen, dan vinden we dat de valversnelling g te berekenen is met:

$$ g = \frac{MG}{r^2} $$

Valversnelling (g)

meter per seconde per seconde (m/s2)

Grootste massa (M)

kilogram (kg)

Gravitatieconstante (G)

6,67 × 10-11 Nm2kg-2

Afstand tussen de massamiddelpunten (r)

meter (m)

 

Met deze formule kunnen we de massa van de aarde bepalen. We schrijven de formule eerst als volgt om:

$$ M = \frac{gr^2}{G} $$

We vinden:

$$ \frac{9,81 \times (6,371\times 10^6)^2}{6,67 \times 10^{-11}} = 5,98 \times 10^{24} \text{ kg} $$

De massa van de aarde is dus 5,98 × 1024 kg.

Omgekeerd kan de formule nu ook worden gebruikt om g uit te rekenen op een willekeurige afstand van de aarde. Op het aardoppervlak vinden we natuurlijk de vertrouwde waarde 9,81 m/s2:

$$ g = \frac{GM}{r^2} $$ $$ \frac{5,98 \times 10^{24} \times 6,67 \times 10^{-11}}{(6,371\times 10^6)^2} =9,81 \text{ m/s}^2$$

Als een object een cirkelbaan maakt om bijvoorbeeld de aarde, dan weten we dat er een middelpuntzoekende kracht werkt die geleverd wordt door de gravitatiekracht. In dit geval geldt dus:

$$ F_{mpz} = F_g $$ $$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} $$

We kunnen hier aan beide kanten een m en een r wegstrepen en daarna kunnen we de formule herschrijven tot:

$$ v_{baan} = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$

Baansnelheid (vbaan)

meter per seconde (m/s)

Gravitatieconstante (G)

6,67 × 10-11 Nm2kg-2

Grootste massa (M)

kilogram (kg)

Baanstraal (r)

meter (m)

 

         VWO

 

Als we de bovenstaande formule combineren met vbaan=2πr/T, dan  vinden we:

$$ \left( \frac{2\pi r}{T} \right)^2 = \frac{GM}{r}$$

Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ \frac{ r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2} $$

Omlooptijd (T)

seconde (s)

Gravitatieconstante (G)

6,67 × 10-11 Nm2kg-2

Grootste massa (M)

kilogram (kg)

Baanstraal (r)

meter (m)

 

Deze formule wordt de derde wet van Kepler genoemd.

Laten we de derde wet van Kepler eens toepassen op het bewegen van de aarde om de zon. Met deze formule kunnen we de massa van de zon uitrekenen! Het enige dat we nodig hebben is de afstand van de aarde tot de zon (149,6 × 109 m) en de omlooptijd van de aarde (365 dagen):

$$ M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$$ $$ \frac{4\pi^2 (149,6 \times 10^9)^3}{6,67 \times 10^{-11} \times (365 \times 24 \times 60 \times 60)^2} = 1,99 \times 10^{30} \text{ kg}$$

We kunnen deze formule ook gebruiken om de omlooptijden van satellieten om de aarde uit te rekenen. Het internationale ruimtestation (ISS) bevindt zich bijvoorbeeld 300 km boven het aardoppervlak. De afstand r van het centrum van de aarde tot de satelliet is dus:

$$ r = 6,37 \times 10^6 + 300 \times 10^3 = 6,67 \times 10^6 \text{ m} $$

Nu kunnen we de omlooptijd uitrekenen:

$$ T = \sqrt{\frac{4\pi^2}{GM_{aarde}} r^3} $$ $$ \sqrt{\frac{4\pi^2}{6,67 \times 10^{-11} \times 5,97 \times 10^{24} } (6,67 \times 10^6)^3} = 5,42 \times 10^3 \text{ s} $$

Dit is slechts anderhalf uur!

 

 

         Rekenen met de algemene gravitatiewet
  1. Laat met behulp van de formule van de gravitatiekracht zien dat de eenheid van G geschreven kan worden als Nm2kg-2 en als m3kg-1s-2.
  2. Cavendish bepaalde de constante G door de kracht te meten tussen een loden bol met een massa van 0,73 kg een andere loden bol met een massa van 158 kg. De bollen werden op een afstand van 230 mm van elkaar opgehangen. De kracht die Cavendish mat was gelijk aan 1,5 × 10-7 N. Bereken hiermee de constante G.
  3. Bereken de gravitatiekracht werkende op een persoon van 80 kg in het internationaal ruimtestation (400 km boven het aardoppervlak).
  4. Hieronder zien we de baan van de satelliet WMAP. De satelliet heeft een massa van 840 kg en bevindt zich op 1,5 miljoen kilometer afstand van de aarde. De baan van WMAP is zo gemaakt dat deze precies meedraait met de aarde. De zon, de aarde en WMAP blijven dus op één lijn liggen.

    1. Laat zien dat de middelpuntzoekende kracht die werkt op WMAP gelijk moet zijn aan 5,0 N om hem in deze baan te houden.
    2. Deze kracht wordt geleverd door de zwaartekracht van de aarde en de zon tezamen. Ga na welke van de twee gravitatiekrachten hieraan de grootste bijdrage levert.
      (bron: examen VWO 2015-pilot)
         Rekenen met de formules voor de baansnelheid en de valversnelling (en de wet van Kepler voor VWO)
  1. (VWO) Leid de wet van Kepler af.
  2. In deze opdracht bestuderen we twee manieren waarop de massa van de maan gemeten is.
    1. In 1966 lukte het de Russen voor het eerst om het ruimtevaartuig Luna 10 in een baan om de maan te krijgen. Luna 10 bevond zich 682 km boven het maanoppervlak en de omlooptijd was 178 minuten. Gebruik deze data om de massa van de maan uit te rekenen. Kijk daarna in BINAS of je de juist waarde gevonden hebt.
    2. In 1969 lukte het de Amerikanen om op de maan te landen. Ze vonden dat op het oppervlak van de maan de valversnelling gelijk was aan 1,62 m/s2. Gebruik ook deze waarde om de massa van de maan te vinden.
  3. Wat is de omlooptijd van geostationaire satellieten?
  4. (VWO) Bereken op welke hoogte boven het aardoppervlak geostationaire satellieten geplaatst moeten worden.
  5. De maan Oberon van Uranus heeft een omlooptijd van 13,5 dagen. De afstand van Uranus tot zijn maan is 5,826 × 105 km. Bereken hiermee de massa van Uranus. Kijk daarna wederom in BINAS om te kijken of je de juiste waarde gevonden hebt.
  6. In de koude oorlog wilden de Amerikanen zo veel mogelijk te weten komen over de satellieten van de Russen. De snelheid van de satellieten en de hoogte van de satellieten boven het aardoppervlak kon men snel achterhalen. Het vinden van de massa van de satellieten bleek echter niet mogelijk. Laat aan de hand van een berekening zien dat de massa geen invloed heeft op de beweging van de satelliet en dus ook niet te meten is.
  7. (VWO) Een satelliet die door de buitenste lagen van de atmosfeer rondcirkelt, ondervindt een kleine wrijvingskracht. Als hij geen aandrijfmotor heeft, zal hij daardoor in een steeds lagere baan rond de aarde gaan cirkelen en uiteindelijk op de aarde neerstorten (zie de onderstaande grafiek).

    Op een bepaald moment bevindt de satelliet zich op een hoogte van 400 km boven de aarde. Bepaal op dit moment het hoogteverlies per omwenteling om de aarde. Bereken hiervoor eerst hoe lang een omwenteling op deze hoogte duurt.
    (bron: examen VWO 2011-2)
  8. (VWO) De ringen van Saturnus bestaan uit vele kleine ijs- en rotsblokken die in een baan om Saturnus bewegen.

    1. Laat met een formule zien dat de deeltjes in de ring dicht bij Saturnus de deeltjes verder weg telkens inhalen.
    2. Normaalgesproken zouden de ijs- en rotsblokjes door de zwaartekracht samentrekken en een maan vormen, maar dit wordt door de sterke gravitatiekracht van Saturnus onmogelijk gemaakt. Hieronder zien we een rotsblok in de ring. Omdat het rotsblok in een cirkel om Saturnus draait, weten we dat de gravitatiekracht die in het massamiddelpunt van het rotsblok werkt gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht.

      Op positie L en N in de afbeelding is de gravitatiekracht echter niet gelijk aan de middelpuntzoekende kracht. Leg hiermee uit dat Saturnus de steen uit elkaar zal trekken.
    3. In verticale richting wordt de steen juist in elkaar gedrukt. Laat met behulp van een tekening van krachten zien waarom dit gebeurt.
      (bron: examen VWO 2012-pilot)
  9. (VWO) De valversnelling is niet overal op aarde precies gelijk. Dit komt o.a. door de aanwezigheid van bergen. Om deze variaties te meten zijn twee satellieten, GRACE A en GRACE B, gelanceerd. De twee satellieten draaien achter elkaar aan om de aarde op een hoogte van 485 km met een onderlinge afstand van normaal gesproken 220 km. Kleine afwijkingen in de zwaartekracht beïnvloeden de onderlinge afstand tussen de satellieten.
    1. Laat met een berekening zien dat de satellieten per etmaal 15 rondjes maken om de aarde.
    2. Hieronder zien we GRACE A en B over een gebergte bewegen. Leg uit dat de berg ervoor zorgt dat de afstand tussen A en B eerst iets groter wordt en daarna weer de oorspronkelijke waarde aanneemt.

    3. Op een gegeven moment bewegen de twee GRACE satellieten over de Himalaya. De Himalaya wordt in de afbeelding aangegeven als een massa MH. In de getekende positie ondervinden beide satellieten elk een (zeer kleine) extra versnelling aH door de gravitatiekracht van MH.

      Voor de grootte van de onderlinge (relatieve) versnelling in de x-richting tussen de twee satellieten geldt: $$a_{rel,x} = GM_1\frac{d}{r^3}$$ Toon dit aan.
    4. In de onderstaande afbeelding is de onderlinge versnelling uitgezet tegen de tijd voor de beweging over de Himalaya: Bepaal met dit figuur de massa van de Himalaya.


      (bron: examen VWO 2013-pilot)

BINAS:  
5 Astronomische eenheid en lichtjaar
7 Gravitatieconstante
31 Gegevens over planeten en manen
32B Gegevens over sterren
32C Gegevens over de zon