BASIS
BEWEGING
KRACHT
GRAVITATIE
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
MOMENT (HAVO)
MODELLEREN (VWO)
ELEKTRICITEIT
WARMTE (HAVO)
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden

Hoofdstuk 2
Beweging

§1     De gemiddelde snelheid

In deze paragraaf herhalen we het rekenen met de gemiddelde snelheid.

De gemiddelde snelheid van een voorwerp kunnen we als volgt berekenen:

$$ v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Gemiddelde snelheid (vgem) meter per seconde (m/s)
Verplaatsing (Δx) meter (m)
Tijdsduur (Δt) seconde (s)

 

De x staat voor de positie van een voorwerp. Het Δ-teken staat voor 'de toename van'. Δx staat dus voor de toename van de positie. We noemen dit ook wel de verplaatsing.

Stel dat een voorwerp verplaatst van positie x = 1 meter naar positie x = 5 meter in 8 seconden. Het voorwerp is dan 5 - 1 = 4 meter verplaatst. Om dit antwoord te vinden hebben we de eindpositie (5 meter) min de beginpositie (1 meter) gedaan. In formuletaal wordt dit:

$$ \Delta x = x_{eind} - x_{begin} $$ $$ \Delta x = 5 - 1 = 4 \text{ m} $$

De snelheid wordt in dit geval:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{4}{8} = 0,5 \text{ m/s} $$

Stel dat een voorwerp achteruit beweegt van positie x = 5 meter naar positie x = 1 meter in 2 seconden. De snelheid kunnen we dan als volgt berekenen:

$$ \Delta x = x_{eind} - x_{begin} $$ $$ \Delta x = 1 - 5 = -4 \text{ m} $$ $$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-4}{2} = -2 \text{ m/s} $$

Merk op dat de snelheid hier automatisch negatief wordt als het voorwerp achteruit beweegt.

De SI-eenheid van de snelheid is meter per seconde, maar in het dagelijks leven wordt ook vaak kilometer per uur gebruikt. Het is belangrijk dat we deze eenheden in elkaar om kunnen schrijven. Stel we willen 80 km/h omrekenen naar m/s. We rekenen dan eerst kilometer per uur om naar meter per uur:

$$ 80 \text{ km/h} = 80 000 \text{ m/h} $$

Dan rekenen we meter per uur om naar meter per seconde:

$$ \frac{80 000 \text{ m/h}}{60 \times 60} = 22 \text{ m/s} $$

Stel we willen 22 m/s omrekenen naar km/h. We rekenen dan eerst meter per seconde om naar meter per uur:

$$ 22 \text{ m/s} \times 60 \times 60 = 80 000 \text{ m/h} $$

Daarna rekenen we om naar kilometer per uur:

$$ 80 000 \text{ m/h} = 80 \text{ km/h} $$

We kunnen ook gebruik maken van de volgende regel:

$$ \text{km/h} \;\; : \;\; 3,6 \;\; \rightarrow \;\; \text{m/s} $$ $$ \text{m/s} \;\; \times \;\; 3,6 \;\; \rightarrow \;\; \text{km/h} $$

         Stappenplan: Rekenen met snelheid

 

Vraag:

Een leerling is aan het hardlopen. Zijn doel is om binnen drie minuten 1,0 kilometer te rennen. De leerling rent 3,0 minuten lang met een snelheid van 18 km/h. Bereken of de leerling zijn doel bereikt heeft.

Stap 1:

Schrijf de gegevens uit de vraag op en reken ze zoveel mogelijk om in dezelfde eenheden. In dit voorbeeld kiezen we voor meter en seconde:

$$ \Delta t = 3,0 \text{ min} = 3,0 \times 60 = 180 \text{ s} $$ $$ v = 18 \text{ km/h} = 18/3,6 = 5,0 \text{ m/s} $$

Stap 2:

Schrijf de formule op en geef aan welke gegevens je weet en welk gegeven je wilt weten:

Stap 3:

Schrijf de formule nu om in de juiste vorm. Doe dit systematisch. Ga niet gokken!

$$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = v \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \Delta x = v \times \Delta t $$

Stap 4:

Vul de formule in:

$$ \Delta x = v \times \Delta t $$ $$ \Delta x = 5,0 \times 180 = 9,0 \times 10^2 \text{ m} = 0,90 \text{ km}$$

Stap 5:

Schrijf de conclusie op. Leg uit hoe je aan deze conclusie komt. Denk ook aan de eenheid achter het antwoord:

0,90 km is minder dan 1,0 km, dus de leerling heeft zijn doel niet bereikt.

 

Als een voorwerp geleidelijk versnelt of vertraagt, dan spreken we van een eenparige versnelling. In dit geval kunnen we de gemiddelde snelheid ook als volgt uitrekenen:

$$ v_{gem} = \frac{v_{b}+v_{e}}{2} \;\;\;\; \text{(eenparig)} $$
Beginsnelheid (vb) meter per seconde (m/s)
Eindsnelheid (ve) meter per seconde (m/s)
Gemiddelde snelheid (vgem) meter per seconde (m/s)

 

Stel dat een auto bijvoorbeeld eenparig versnelt van 10 m/s naar 30 m/s, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan:

$$ \frac{10+30}{2} = 20 \text{ m/s} $$

Let erop dat je als volgt haakjes gebruikt in je rekenmachine:

$$ (10 + 30 )/2 = 20 \;\;\;\;\;\;\; \text{ rekenmachine} $$

         Voorbeeld

 

Opdracht:

Een auto versnelt gedurende 10 seconden van 20 naar 30 m/s. De versnelling is eenparig. Hoeveel meter heeft de auto afgelegd?

Antwoord:

Eerst berekenen we de gemiddelde snelheid:…

$$v_{gem} = \frac{v_{\text{begin}}+v_{\text{eind}}}{2} $$ $$v_{gem} = \frac{20 + 30}{2} = 25 \text{ m/s}$$

Met de gemiddelde snelheid kunnen we de afstand uitrekenen:

$$\Delta x = v_{gem} \times \Delta t $$ $$\Delta x = 25 \times 10 = 2,5 \times 10^2 \text{ m}$$

De auto heeft tijdens de versnelling dus 2,5 × 102 m afgelegd.

 

         Rekenen met de formule voor de snelheid
  1. Een auto rijdt in 30 s een afstand van 600 m. Bereken de snelheid van de auto.
  2. Een werper bij honkbal werpt de bal met een snelheid van 160 km/h naar de slagman. Deze staat op een afstand van 18,45 m. Bereken na hoeveel seconden de bal bij de slagman is.
  3. Een leerling is aan het hardlopen. Zijn doel is om binnen 50 seconden 200 meter te rennen. De leerling rent met een snelheid van 16 km/h. Bereken of de leerling zijn doel bereikt heeft.
  4. Een Boeing vliegt binnen 55 minuten van Amsterdam naar Londen. De afstand tussen de vliegvelden is 358 kilometer. Bereken de gemiddelde snelheid van het vliegtuig.
  5. Een automobilist rijdt met een snelheid van 100 km/h van Amsterdam naar Utrecht. De afstand tussen deze plaatsen is 34 km. De automobilist verlaat Amsterdam om 16:52 uur en wil om 17:12 uur in Utrecht aankomen. Bereken of de automobilist op tijd aankomt.
  6. Een etappe in de Tour de France heeft een afstand van 175 km. De geschatte aankomsttijd bij een snelheid van 44 km/h is 15:50 uur. Bereken de starttijd.
  7. De aarde draait elke 365 dagen een keer om de zon heen. De snelheid van de aarde is 30 km/s. Bereken hoeveel meter de aarde in een jaar aflegt.
  8. Twee leerlingen gaan een stuk fietsen. Ze vertrekken tegelijkertijd vanaf hetzelfde punt. De eerste leerling fietst met een snelheid van 3 m/s en de tweede met een snelheid van 7,5 m/s. Na 49 seconden loopt de ketting van de tweede leerling vast. Bereken hoeveel seconden de eerste leerling vanaf dit moment nog moet fietsen totdat hij de tweede leerling inhaalt.
         Rekenen met de gemiddelde snelheid
  1. Een auto versnelt eenparig in 12 seconden van 10 m/s naar 35 m/s. Bereken de afstand die de auto tijdens de beweging heeft afgelegd.
  2. Een auto trekt met een eenparige versnelling vanuit stilstand op tot 40 m/s en legt een afstand van 950 meter af. Bereken hoe lang de auto over de versnelling heeft gedaan.
  3. Een automobilist die met een snelheid van 80 km/h rijdt, trapt op zijn rem totdat hij eenparig tot stilstand is gekomen. Het remmen duurt 4 seconden. Bereken de remweg van de bestuurder.
  4. Een parachutespringer valt met een snelheid van 200 km/h. Dan trekt de springer zijn parachute open. Na 0,70 s is zijn snelheid eenparig afgenomen tot 40 km/h. Bereken hoeveel meter de parachutist in de tussentijd heeft afgelegd.
  5. Een auto trekt binnen 4,0 s op met een eenparige versnelling tot een snelheid van 70 km/h. Bereken welke afstand de auto heeft afgelegd tijdens het optrekken.
  6. Een persoon laat een bal vanuit stilstand vallen van een gebouw met een hoogte van 100 m. De bal versnelt hierdoor eenparig tot een snelheid van 44 m/s. Bereken de valtijd van de bal.
  7. Een persoon laat een bal vanuit stilstand vallen van een gebouw met een hoogte van 100 m. Het duurt 4,5 seconde voordat de bal beneden aankomt.
    1. Bereken de gemiddelde snelheid van de bal.
    2. Bereken de eindsnelheid van de bal.
  8. Een bestuurder van een brommer probeert een tractor in te halen. Hij versnelt hiervoor eenparig gedurende 4 seconden en legt in deze tijd 100 meter af. Zijn beginsnelheid was 10 m/s. Bereken de snelheid van de brommer na de versnelling.
  9. Een automobilist versnelt eenparig over een afstand van 1500 meter en behaalt een eindsnelheid van 40 m/s. De versnelling heeft 50 seconden geduurd. Bereken de beginsnelheid van de auto.

 

§2     Versnelling

In deze paragraaf herhalen we het rekenen met de versnelling.

De versnelling of vertraging (a) van een voorwerp kunnen we als volgt uitrekenen:

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$

Toename van snelheid (Δv)

meter per seconde (m/s)

Tijdsduur (Δt)

seconde (s)

Versnelling / vertraging (a)

meter per seconde per seconde (m/s2)

 

De eenheid van de versnelling is m/s2. Wat betekent dit? Stel dat de snelheid van een voorwerp elke seconde 1 meter per seconde toeneemt. We zeggen dan dat de snelheid 1 meter per seconde per seconde toeneemt. De eenheid van de versnelling is dus m/s/s en dit korten we ook wel af tot m/s2.

Δv staat voor de toename van de snelheid. Hier geldt:

$$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$

Stel dat de snelheid van een voorwerp oploopt van 1,0 m/s tot 4,0 m/s in 6,0 seconden. We berekenen de versnelling dan als volgt:

$$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$ $$ \Delta v = 4,0 - 1,0 = 3,0 \text{ m/s} $$ $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a = \frac{3,0}{6,0} = 0,50 \text{ m/s}^2 $$

We hebben het in dit hoofdstuk gehad over de toename van de snelheid (Δv) en de gemiddelde snelheid (vgem). Bij het beantwoorden van vragen is het belangrijk deze begrippen goed uit elkaar te houden. In het bovenstaande voorbeeld is de toename van de snelheid gelijk aan 4,0 - 1,0 = 3,0 m/s. De gemiddelde snelheid is (1,0 + 4,0)/2 = 2,5 m/s.

Ook vertraging kunnen we met deze formule beschrijven. Stel dat een auto gedurende 4,0 seconden vertraagt van 40 m/s naar 12 m/s. De vertraging wordt dan:

$$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$ $$\Delta v = 12 - 40 = -28 \text{ m/s}$$ $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a = \frac{-28}{4,0} = -7,0 \text{ m/s}^2$$

Een versnelling van -7,0 m/s2 is dus gelijk aan een vertraging van 7,0 m/s2. Let er op dat dit niet hoeft te betekenen dat het voorwerp achteruit beweegt! Een remmende auto vertraagt bijvoorbeeld, maar gaat wel vooruit.

         Stappenplan: Rekenen met versnelling

     

    Opdracht:

    Een auto versnelt eenparig van 36 km/h naar 90 km/h en legt tijdens deze versnelling 105 meter af. Bereken de versnelling van de auto.

    Stap 1:

    Schrijf de gegevens uit de vraag op en reken ze zoveel mogelijk om in dezelfde eenheden:

    $$ \Delta x = 105 \text{ m} $$ $$ v_b = 36 \text{ km/h} = \frac{36}{3,6} = 10 \text{ m/s} $$ $$ v_e = 90 \text{ km/h} = \frac{90}{3,6} = 25 \text{ m/s} $$

    Stap 2:

    Bereken zo mogelijk vgem en Δv:

    $$ v_{gem} = \frac{v_b + v_e}{2} = \frac{10 +25}{2} = 17,5 \text{ m/s}$$ $$ \Delta v = v_e-v_b = 25 - 10 = 15 \text{ m/s} $$

    Stap 3:

    Schrijf de formules op en geef aan welke gegevens je weet en welk gegeven je wilt weten:

    Stap 4:

    Bedenk welke formule je wilt gebruiken:

    In dit voorbeeld willen we de versnelling berekenen met de rechter formule, maar we hebben nog niet alle gegevens om dit te kunnen doen. We beginnen daarom met de linker formule.

    Stap 5:

    Schrijf de formule zo nodig om en vul hem in:

    $$ \Delta t = \frac{\Delta x}{v_{gem}} $$ $$ \Delta t = \frac{105}{17,5} = 6,0 \text{ s} $$

    Stap 6:

    Gebruik nu de andere formule:

    $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a= \frac{15}{6,0} = 2,5 \text{ m/s}^2 $$

    Stap 7:

    Schrijf de conclusie op en denk aan de eenheid:

    De versnelling van de auto is 2,5 m/s2

         Rekenen en redeneren met de eenheid van versnelling
  1. Leg duidelijk uit waarom de eenheid van de versnelling m/s/s (oftewel m/s2) is.
         Rekenen met de formules voor snelheid en versnelling

 

Level 1:

  1. Een auto versnelt gelijkmatig vanuit stilstand tot een snelheid van 30 m/s. Tijdens deze versnelling legt de auto 90 m af. Bereken de versnelling van deze auto.
  2. Een auto versnelt gelijkmatig van 20 km/h tot een snelheid van 100 km/h. De auto heeft gedurende deze periode een versnelling van 5 m/s2. Bereken de afstand die de auto heeft afgelegd.
  3. Een auto rijdt met een snelheid van 90 km/h over een weg. Omdat er een file vormt, trapt de automobilist op zijn rem en komt de auto binnen 100 meter tot stilstand. Bereken de vertraging van de auto tijdens het remmen.
  4. Een F-18 wil door de geluidsbarrière heen en versnelt daarom gelijkmatig van 1000 km/h naar 1500 km/h. Gedurende deze versnelling heeft het vliegtuig een versnelling van 21,5 m/s2. Bereken hoeveel meter de F-18 tijdens deze versnelling heeft afgelegd.
  5. Een auto versnelt met een versnelling van 2,5 m/s2. Tijdens deze versnelling was de gemiddelde snelheid van de auto 75 km/h. De auto legt gedurende de versnelling 400 m af. Bereken de toename van de snelheid.
  6. Een maffiabaas plaatst om zijn kantoorruimte een dikke muur gemaakt van schuimplastic om zichzelf te beschermen. De eigenaar test de muur door er op te schieten. Een kogel wordt met een snelheid van 210 m/s loodrecht in de muur geschoten. De kogel dringt 83 cm in het schuimplastic door voordat het tot stilstand komt. Bereken de vertraging van de kogel in het schuimplastic.
  7. Een vliegtuig landt met 80 m/s op de startbaan en remt in 20 s eenparig af tot stilstand. Bereken hoeveel meter het vliegtuig aflegt voordat het tot stilstand komt.
  8. Beschrijf het verschil tussen de gemiddelde snelheid en de toename van de snelheid bij een eenparige versnelling.

Level 2:

  1. Een raceauto trekt vanuit een onbekende beginsnelheid op naar een snelheid van 83,3 m/s. Het optrekken duurt 3,4 s en de versnelling is 6,6 m/s2. Bereken de beginsnelheid.
  2. Een auto rijdt met een constante snelheid op een rechte weg. Plotseling steekt een hert de weg over. De automobilist maakt een noodstop en komt 4,3 s later en 45 meter verderop tot stilstand. Bereken met welke snelheid (in km/h) hij oorspronkelijk reed.
  3. Een vliegtuig wacht op de startbaan om te vertrekken. Na goedkeuring door de verkeerstoren trekt het vliegtuig vanuit stilstand eenparig versneld op. Na 35 s komt het vliegtuig los van de startbaan. Het vliegtuig heeft dan 1200 m op de startbaan gereden. Bereken met welke snelheid het vliegtuig loskomt van de grond.
  4. Een maffiabaas plaatst een wand van schuimplastic om zijn kantoor om zich te beschermen. De muur is 120 cm dik. De eigenaar test de muur door er op te schieten. Een kogel wordt loodrecht in de muur geschoten met een onbekende beginsnelheid. De kogel komt er aan de andere kant weer uit met een snelheid van 120 m/s. De gemiddelde snelheid van de kogel in de muur is 182 m/s. Bereken de vertraging van de kogel in het schuimplastic.
  5. Een parachutespringer opent zijn parachute waardoor zijn snelheid 160 km/h afneemt. Zijn vertraging tijdens de sprong was gelijk aan 22 m/s2. Tijdens deze vertraging heeft de springer 50 m afgelegd. Bereken de snelheid op het moment dat de parachutespringer zijn parachute opende.

 

§3     Het (x,t)-diagram

In deze paragraaf herhalen we het gebruik van (x,t)-diagrammen.

Een (x,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de positie (x). Hieronder is een aantal bewegingen beschreven met behulp dit type diagram. Links zien we een grafiek die horizontaal loopt. De positie x verandert hier niet in de tijd. Het voorwerp staat hier dus stil. In de tweede afbeelding zien we een voorwerp dat zich geleidelijk verplaatst. Elke seconde wordt er evenveel meter afgelegd. We spreken hier van een constante snelheid of een eenparige beweging.

HIER IMAGES BOOK !!!

In de onderstaande linker afbeelding zien we een grafiek die steeds steiler gaat lopen. We zien dat in de eerste drie seconden slechts 0,5 meter wordt afgelegd en dat in de laatste drie seconden wel 4,5 m wordt afgelegd. Hoe steiler de lijn dus loopt, hoe sneller het voorwerp verplaatst. We hebben hier dus te maken met een versnelling. Rechts zien we een grafiek die steeds minder steil gaat lopen. Hier hebben we dus te maken met een vertraging.

HIER IMAGES BOOK !!!

Met behulp van een (x,t)-diagram kunnen we ook de gemiddelde snelheid uitrekenen. In het onderstaande diagram is de verplaatsing Δx gelijk aan 4,0 meter. De tijdsduur Δt van de beweging is 6,0 seconden. De snelheid is dus gelijk aan:

$$ v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v_{gem} = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}$$

         Herkennen en schetsen van bewegingen in een (x,t)-diagram
  1. Ga naar deze opdracht op de website en speel het programma uit.
    Behaal 15 punten:

  2. Noteer waar je op moet letten bij het aflezen van een (x,t)-diagram. Hoe herken je stilstand, constante snelheid, versnelling en vertraging?
  3. Beschrijf de beweging van de voorwerpen in de volgende (x,t)-diagrammen.

  4. Schets de volgende (x,t)-diagrammen:
    1. Mario rent een tijdje met constante snelheid vooruit. Daarna gaat hij versnellen.
    2. Mario staat eerst stil, maar dan gaat hij steeds sneller rennen. Als hij zijn gewenste snelheid bereikt heeft rent hij met constante snelheid verder.
    3. Mario rent even met constante snelheid. Dan gaat hij steeds langzamer rennen tot hij stil staat. Hij blijft dan even uitrusten, maar daarna gaat hij weer versnellen.
    4. Mario gooit zijn pet recht omhoog de lucht in. Uiteindelijk valt de pet op de grond.
    5. Mario laat zijn pet uit zijn hand vallen. Uiteindelijk valt de pet op de grond.
         Bepalen van de snelheid met behulp van een (x,t)-diagram
  1. Bereken de snelheid van de voorwerpen die in de volgende (x,t)-diagrammen beschreven zijn.

  2. Hieronder zien we het (x,t)-diagram die de beweging van een parachutespringer beschrijft. De x staat hier voor de hoogte van de springer.

    1. Bepaal op welke hoogte de parachute werd geopend. Leg uit hoe je op dit antwoord bent gekomen.
    2. Bepaal de beginsnelheid van de springer. Leg uit hoe je op dit antwoord bent gekomen.
    3. Bepaal de maximale snelheid die de springer bereikt.
  3. Twee personen lopen elkaar tegemoet. Op tijdstip t = 0 zijn ze 60 m van elkaar verwijderd. Persoon A loopt met een snelheid van 2 m/s en persoon B rent met een snelheid van 4,5 m/s. Vind uit op welke plek ze elkaar ontmoeten. Teken hiervoor eerst het bijbehorende (x,t)-diagram.
  4. Een schildpad en een haas proberen elkaar te verslaan in een sprint. Omdat de haas veel vertrouwen heeft in zijn snelheid, geeft hij de schildpad 100 meter voorsprong. De haas heeft een snelheid van 5 m/s. De haas haalt de schildpad in na 25 seconden. Bereken de snelheid van de schildpad. Teken hiervoor eerst het bijbehorende (x,t)-diagram.
  5. Hieronder zien we twee bewegingen weergegeven in een (x,t)-diagram. Bepaal in beide gevallen de gemiddelde snelheid. Vergelijk daarna de antwoorden. Verklaar wat je ziet.

 

§4     Het (v,t)-diagram

In deze paragraaf bespreken we de zogenaamde (v,t)-diagrammen. Ook hiermee kunnen we beweging beschrijven.

Een (v,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de snelheid (v). Hieronder is een aantal voorbeelden afgebeeld. Links zien we een grafiek waarbij de snelheid de gehele beweging gelijk is aan 0 m/s. De auto staat in dit geval dus stil. In de tweede afbeelding zien we een auto waarbij de snelheid de gehele tijd 2,0 m/s blijft. Hier hebben we dus te maken met een constante snelheid.

HIER IMAGES BOOK !!!

Linksonder zien we een diagram waarbij de snelheid toeneemt. Er is hier dus sprake van een versnelling. Rechts neemt de snelheid juist af. Hier hebben we dus te maken met een vertraging. Let erop dat een vertraging niet betekent dat het voorwerp achteruit gaat. In dit geval gaat het voorwerp vooruit, maar steeds langzamer!

HIER IMAGES BOOK !!!

In een eerdere paragraaf hebben we gezien dat voorwerpen die achteruit gaan een negatieve snelheid hebben. In (v,t)-diagrammen betekent dit dat we gebruik moeten maken van de negatieve as. Hieronder zien we een voorbeeld. We zien hier een voorwerp dat eerst vooruit vertraagt en daarna achteruit versnelt.

Met een (v,t)-diagram kunnen we ook de versnelling bepalen. In het onderstaande diagram is de toename van de snelheid Δv gelijk aan 4,0 m/s. De tijdsduur Δt van de beweging is 6,0 seconden. De gemiddelde versnelling is dus:

$$ a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a_{gem} = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}^2$$

De gemiddelde snelheid is ook te bepalen met behulp van een (v,t)-diagram. Stel dat we bijvoorbeeld de gemiddelde snelheid willen weten van de onderstaande beweging van tijdstip t = 1,0 s tot t = 5,0 s. We trekken hiervoor een horizontale lijn, waarbij oppervlaktes boven de grafiek maar onder de lijn (A) gelijk zijn aan oppervlaktes onder de grafiek maar boven de lijn (B). Deze lijn geeft dan de gemiddelde snelheid aan. In dit geval is de gemiddelde snelheid 3,7 m/s.

         Redeneren met en schetsen van (v,t)-diagrammen
  1. Ga naar deze opdracht op de website en speel het programma uit.
    Behaal ook hier 15 punten. Let op! Nu zitten (x,t)- en (v,t)-diagrammen door elkaar!

  2. Noteer waar je op moet letten bij het aflezen van een (v,t)-diagram. Hoe herken je stilstand, constante snelheid, versnelling en vertraging. Noteer ook hoe je weergeeft dat een voorwerp achteruit beweegt.
  3. Beschrijf de beweging in de volgende diagrammen. Geef telkens aan of het voorwerp versnelt of vertraagt. Geef ook aan of het voorwerp vooruit of achteruit beweegt.

  4. Schets de volgende (v,t)-diagrammen:
    1. Mario gaat eerst met constante snelheid vooruit. Dan staat hij stil.
    2. Mario begint langzaam te rennen met een constante snelheid. Na een tijdje versnelt hij.
    3. Mario begint erg snel te rennen, maar zijn snelheid neemt telkens een beetje af. Op een gegeven moment heeft hij een snelheid bereikt waarbij hij goed kan blijven rennen. Vanaf dat moment blijft hij met een constante snelheid rennen.
  5. Schets bij de volgende (x,t)-diagrammen het bijbehorende (v,t)-diagram:

  6. Schets bij de volgende (v,t)-diagrammen het bijbehorende (x,t)-diagram:

  7. In het onderstaande (v,t)-diagram wordt de beweging van een omhooggeschoten kogel beschreven.

    1. Beschrijf de beweging tussen tijdstip t = 0 en t = 3 s.
    2. Beschrijf de beweging tussen tijdstip t = 3 en t = 6 s.
  8. In het onderstaande diagram is de beweging van een raket beschreven die eerst opstijgt en daarna weer land.

    1. Leg uit op welk tijdstip de raket zijn hoogste punt bereikt.
    2. Leg uit of de raket de eerste 5 seconden versnelt of vertraagt.
    3. Leg uit of de raket tussen t = 15 s en t = 25 seconde versnelt of vertraagt.
         Bepalen van de versnelling en de gemiddelde snelheid in een (v,t)-diagram
  1. Bereken de versnelling van de volgende beweging:

  2. Het volgende diagram bestaat uit drie delen. Bereken voor elk deel de versnelling.

  3. Bepaal de gemiddelde snelheid van de volgende bewegingen:

  4. In de onderstaande afbeelding zien we het (v,t)-diagram van een zwemslag. Zoals je ziet zitten er twee pieken in de snelheid. De eerste komt van de beweging van de armen en de tweede van de beweging van de benen.

    1. Bereken de gemiddelde snelheid van de zwemmer tijdens de eerste 0,5 seconden.
    2. Bereken hoeveel afstand de zwemmer in deze tijd heeft afgelegd.
      (bron: examen VWO 2011-2)

 

§5     De raaklijn

In deze paragraaf herhalen we hoe we in (x,t)-diagrammen de snelheid op een bepaald tijdstip kunnen bepalen. We doen dit met de zogenaamde raaklijn.

In het onderstaande (x,t)-diagram is de snelheid niet constant. Als we de snelheid op bijvoorbeeld tijdstip A willen bepalen, dan kunnen we dit doen door een klein driehoekje te tekenen en hiermee de snelheid te berekenen (zie de linker afbeelding). Dit is echter lastig meten en levert daardoor een zeer onnauwkeurig antwoord op. We kunnen dit probleem oplossen door het kleine lijnstukje in beide richtingen zoveel mogelijk te verlengen (zie de rechter afbeelding). De verlengde lijn noemen we een raaklijn. Omdat de raaklijn net zo steil loopt als het oorspronkelijke lijntje vinden we hier dezelfde snelheid.

De snelheid op tijdstip A is in dit geval gelijk aan:

$$ v = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s} $$

Er geldt dat hoe steiler de raaklijn loopt, hoe groter de snelheid is.

We kunnen iets soortgelijks doen in een (v,t)-diagram. In dit type diagram is de raaklijn gelijk aan de versnelling op een specifiek tijdstip. De versnelling op tijdstip A in de onderstaande afbeelding is gelijk aan:

$$ a = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}^2 $$

Er geldt dat hoe steiler de raaklijn loopt, hoe groter de versnelling is.

         Bepalen van de snelheid op een tijdstip met een raaklijn
  1. Beschrijf hoe je de snelheid kan bepalen op een specifiek moment met behulp van een (x,t)-diagram.
  2. Bepaal de snelheid op tijdstip t = 2,0 s:

  3. Bepaal de snelheid op tijdstip t = 5,0 s.

  4. Bepaal de beginsnelheid, de eindsnelheid en de snelheid op tijdstip t = 3,0 s.

  5. Een persoon geeft een duw tegen een bal. Hieronder wordt de beweging van deze bal beschreven. Bepaal de beginsnelheid van de bal.

  6. Bepaal de maximale snelheid in het volgende diagram:

  7. Bepaal de versnelling op tijdstip t = 20 s:

  8. Hieronder is de beweging van een optrekkende auto beschreven. Bepaal de maximale versnelling en de maximale snelheid tijdens de beweging.

  9. Bepaal de versnelling op tijdstip t = 1,0 s en t = 4,0 s.

  10. Hieronder is het (v,t)-diagram weergegeven van de beweging van een jojo. Op tijdstip t = 0 is het koord volledig om de jojo gewikkeld en laat de persoon de jojo los.

    1. Leg uit op welk moment de jojo op zijn laagste punt is.
    2. Op het laagste punt ondergaat de jojo een plotselinge versnelling waarbij de jojo van richting verandert. Bepaal de versnelling waarmee dit gebeurt.
  11. In het onderstaande (v,t)-diagram zien we de versnelling van een karretje op een horizontale baan aan het begin van een supersnelle achtbaan.

    1. Een leerling analyseert de grafiek en concludeert dat we hier eerst te maken hebben met een versnelling en dat het voorwerp daarna vertraagt totdat de snelheid constant is. Heeft de leerling gelijk?
    2. Vind de maximale versnelling die de achtbaankar ondergaat en druk je antwoord uit in g
    3. Bepaal de gemiddelde versnelling van de achtbaankar.
      (bron: examen VWO 2010-1)

 

§6     De oppervlaktemethode

In deze paragraaf herhalen we de oppervlaktemethode, waarmee we de verplaatsing kunnen bepalen in (v,t)-diagrammen.

We kunnen met een (v,t)-diagram ook de verplaatsing van een voorwerp bepalen. De oppervlakte onder de (v,t)-grafiek blijkt namelijk gelijk te zijn de verplaatsing (Δx) van het voorwerp. In het linker onderstaande diagram is het oppervlak gelijk aan 6,0 × 3,0 = 18 m. Het voorwerp heeft hier dus 18 meter afgelegd. In het middelste voorbeeld is het oppervlak een driehoek gelijk aan (6,0 × 3,0)/2 = 9,0 m. Dit voorwerp heeft dus 9 meter afgelegd. In de rechter afbeelding bestaat het oppervlak onder de grafiek uit een rechthoek en een driehoek. Het oppervlak geeft een verplaatsing van 2 × 6 + (2 × 6)/2 = 18 m.

Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een remmend voertuig. Op tijdstip t = 0 s springt een stoplicht op rood. Zoals je in het diagram kunt zien, duurt het nog 1,0 seconde voordat de bestuurder hierop reageert door op zijn rem te trappen. De reactietijd van de bestuurder is dus 1,0 seconde. Na de reactietijd duurt het in dit voorbeeld nog 3 seconden voordat het voertuig stil staat.

De afstand die het voertuig gedurende de reactietijd aflegt noemen we de reactieafstand. In dit geval is dit 50 × 1 = 50 m. De afstand die het voertuig tijdens het remmen aflegt noemen we de remweg. In dit geval is dat (50 × 3)/2 = 75 m. De reactieafstand en de remweg samen noemen we de stopafstand. In het bovenstaande voorbeeld is de stopafstand dus gelijk aan 50 + 75 = 125 m.

In de onderstaande afbeelding kunnen we het oppervlak niet met een simpele formule bepalen. We kunnen hier wel het aantal hokjes onder de grafiek tellen. In de rechter afbeelding is te zien dat er 53 hele hokjes onder de grafiek te vinden zijn. Bij het overgebleven oppervlak moeten we zo goed mogelijk schatten hoeveel hokjes dit zijn. Ga zelf na dat dit er ongeveer 9,5 zijn. In totaal hebben we dus 53 + 9,5 = 62,5 hokjes. Elk hokje heeft een oppervlak van 0,5 × 0,5 = 0,25 m. De totale verplaatsing is dus:

$$ 62,5 \times 0,25 = 15,6 \text{ m} $$

         Voorbeeld

 

Opdracht:

Bereken de gemiddelde snelheid van de volgende beweging:

Antwoord:

Het oppervlak onder de grafiek is gelijk aan de verplaatsing Δx. Het oppervlak is:

$$ \frac{1,5 \times 3,5}{2} + 1,5 \times 3,5 + \frac{3 \times 3,5}{2} = 13,1 \text{ m} $$

In de grafiek zien we ook dat de beweging 6,0 seconden geduurd heeft. Met deze gegevens kunnen we de gemiddelde snelheid berekenen:

$$v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{13,1}{6,0} = 2,2 \text{ m/s}$$

Het voorwerp heeft dus een gemiddelde snelheid van 2,2 m/s gehad.

 


         Rekenen met de oppervlaktemethode
  1. Bepaal bij de volgende diagrammen de verplaatsing:

  2. Bepaal de verplaatsing behorende bij de beweging in het onderstaande (v,t)-diagram:

  3. Een bal wordt een heuvel opgerold. Bepaal de afstand die de bal aflegt:

  4. Twee auto's vertrekken vanaf dezelfde positie. Een leerling beweert dat de ene auto de ander na ongeveer 20 seconden inhaalt. Een andere leerling is het hier niet mee eens en beweert dat de auto's elkaar pas na langer dan 30 seconden inhalen. Leg uit wie er gelijk heeft.

  5. Hieronder zien we een (v,t)-diagram van een auto die wordt weggesleept. De auto moet 20 meter verplaatst worden. Zoals je in het diagram kan zien neemt de snelheid eerst toe. Na t = 12 seconden blijft de snelheid constant totdat de 20 meter gehaald is. Hoe lang duurt het verplaatsen van de auto?

    (bron: examen VWO 2002-2)
  6. Het onderstaande (v,t)-diagram beschrijft een sprong van een volleybalspeler.

    1. Op welk moment bereikt de speler het hoogste punt van zijn sprong? Leg je keuze uit.
    2. Bepaal met behulp van het diagram hoe hoog de persoon gesprongen heeft.
    3. Bepaal de versnelling die de springer bij het begin van het afzetten ondervond.
    4. Schets hoe de grafiek eruit zou zien als de springer twee identieke sprongen achter elkaar zou maken.
      (bron: examen VWO 2015-1)
  7. Bepaal hoeveel meter is afgelegd in de beweging die in het onderstaande (v,t)-diagram is weergegeven:

  8. Regendruppels ontstaan als kleine waterdruppels in een wolk beginnen te fuseren. Door hun grotere snelheid halen grotere druppels kleinere druppels in. Als de druppels botsen, ontstaan grotere regendruppels. In de volgende grafiek zien we een (v,t)-diagram van het fuseren van de twee druppels A en B.

    Bepaal hoeveel meter druppel A achterliep op druppel B op tijdstip t = 0 s.
    (bron: examen VWO 1987-2)
  9. Hieronder zien we een rail met in het midden een knik. Op de rail wordt een karretje gezet, zoals hieronder te zien is.

    De kar wordt vanuit de beschreven positie op het tijdstip t = 0 s losgelaten. Dit tijdstip noemen we tA. De kar gaat dan over de rail heen en weer bewegen. Het laagste punt van de baan noemen we de evenwichtsstand. De snelheid langs de baan van het zwaartepunt van de kar is hieronder als functie van de tijd weergegeven. Als de kar naar links beweegt, is de snelheid negatief gekozen.

    1. Leg uit waar het karretje zich bevindt op tijdstip tc
    2. De twee gearceerde oppervlaktes in het diagram zijn noodzakelijk even groot. Leg uit waarom dit het geval is.
    3. (VWO) Teken het bijbehorende (x,t)-diagram van de beweging van tA tot tD. Zorg hier dat x positief is als de kar zich rechts van de evenwichtsstand bevindt en negatief als de kar zich links van de evenwichtsstand bevindt.
      (bron: examen VWO 1986-2)