Hoofdstuk 2
Beweging
§1 De gemiddelde snelheid §2 Versnelling §3 Het (x,t)-diagram §4 Het (v,t)-diagram §5 De oppervlaktemethode
§1 De gemiddelde snelheid
In deze paragraaf gaan we leren rekenen met de gemiddelde snelheid. We introduceren twee formules waarmee we dit kunnen doen.
De gemiddelde snelheid van een voorwerp kunnen we als volgt berekenen:
$$ v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
|
De x staat voor de positie van een voorwerp. Het Δ-teken staat voor "de toename van". Δx staat dus voor de toename van de positie tijdens de beweging. We noemen dit ook wel de verplaatsing. Δt staat voor de toename van de tijd tijdens de beweging. We noemen dit ook wel de tijdsduur.
Stel dat een voorwerp verplaatst van positie x = 1 meter naar positie x = 5 meter in 8 seconden. We berekenen dan als volgt de snelheid:
$$ \Delta x = x_{eind} - x_{begin} $$ $$ \Delta x = 5 - 1 = 4 \text{ m} $$ $$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4}{8} = 0,5 \text{ m/s} $$Stel dat een voorwerp achteruit beweegt van positie x = 5 meter naar positie x = 1 meter in 2 seconden. De snelheid kunnen we dan als volgt berekenen:
$$ \Delta x = x_{eind} - x_{begin} $$ $$ \Delta x = 1 - 5 = -4 \text{ m} $$ $$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-4}{2} = -2 \text{ m/s} $$Merk op dat de snelheid automatisch negatief wordt als het voorwerp achteruit beweegt.
De SI-eenheid van de snelheid is meter per seconde, maar in het dagelijks leven wordt ook vaak kilometer per uur gebruikt. Het is belangrijk dat je deze eenheden in elkaar om kan schrijven. Stel we willen 80 km/h omrekenen naar m/s. We rekenen dan eerst kilometer per uur om naar meter per uur:
$$ 80 \text{ km/h} = 80 000 \text{ m/h} $$Dan rekenen we meter per uur om naar meter per seconde:
$$ \frac{80 000 \text{ m/h}}{60 \times 60} = 22 \text{ m/s} $$Stel we willen 22 m/s omrekenen naar km/h. We rekenen dan eerst meter per seconde om naar meter per uur:
$$ 22 \text{ m/s} \times 60 \times 60 = 80 000 \text{ m/h} $$Daarna rekenen we om naar kilometer per uur:
$$ 80 000 \text{ m/h} = 80 \text{ km/h} $$We kunnen ook gebruik maken van de volgende regel:
| $$ \text{km/h} \;\; / \;\; 3,6 \;\; \rightarrow \;\; \text{m/s} $$ $$ \text{m/s} \;\; \times \;\; 3,6 \;\; \rightarrow \;\; \text{km/h} $$ |
Stappenplan: Rekenen met snelheid
|
|
Vraag: Een leerling is aan het hardlopen. Zijn doel is om binnen drie minuten 1,0 kilometer te rennen. De leerling rent 3,0 minuten lang met een snelheid van 18 km/h. Bereken of de leerling zijn doel bereikt heeft. Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en reken ze zoveel mogelijk om in dezelfde eenheden. In dit voorbeeld kiezen we voor meter en seconde: $$ \Delta t = 3,0 \text{ min} = 3,0 \times 60 = 180 \text{ s} $$ $$ v = 18 \text{ km/h} = 18/3,6 = 5,0 \text{ m/s} $$Stap 2: Schrijf de formule op en geef aan welke gegevens je weet en welk gegeven je wilt weten:
Stap 3: Schrijf de formule nu om in de juiste vorm. In dit geval willen de verplaatsing berekenen: $$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = v \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \Delta x = v \times \Delta t $$Stap 4: Vul de formule in: $$ \Delta x = v \times \Delta t $$ $$ \Delta x = 5,0 \times 180 = 9,0 \times 10^2 \text{ m} = 0,90 \text{ km}$$Stap 5: Schrijf de conclusie op. Leg uit hoe je aan deze conclusie komt. Denk ook aan de eenheid achter het antwoord: 0,90 km is minder dan 1,0 km, dus de leerling heeft zijn doel niet bereikt.
|
Als een voorwerp geleidelijk versnelt of vertraagt, dan spreken we van een eenparige versnelling. Als dit het geval is, dan kunnen we de gemiddelde snelheid als volgt uitrekenen:
$$ v_{gem} = \frac{v_{b}+v_{e}}{2} \;\;\;\; \text{(eenparige versnelling)} $$
|
Stel dat een auto bijvoorbeeld eenparig versnelt van 10 m/s naar 30 m/s, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan:
$$ v_{gem} = \frac{v_b+v_e}{2} = \frac{10+30}{2} = 20 \text{ m/s} $$Let erop dat je als volgt haakjes gebruikt in je rekenmachine:
$$ (10 + 30 )/2 = 20 \;\;\;\;\;\;\; \text{ rekenmachine} $$|
Voorbeeld
|
|
Opdracht: Een auto versnelt gedurende 10 seconden van 20 naar 30 m/s. De versnelling is eenparig. Bereken hoeveel meter de auto heeft afgelegd. Antwoord: Eerst berekenen we de gemiddelde snelheid:… $$v_{gem} = \frac{v_{\text{begin}}+v_{\text{eind}}}{2} $$ $$v_{gem} = \frac{20 + 30}{2} = 25 \text{ m/s}$$Met de gemiddelde snelheid kunnen we de afstand uitrekenen. Hiervoor schrijven we eerst de formule in de juist vorm: $$ v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \;\;\rightarrow \;\; \Delta x = v_{gem} \times \Delta t $$Nu vullen we de formule in: $$\Delta x = v_{gem} \times \Delta t $$ $$\Delta x = 25 \times 10 = 2,5 \times 10^2 \text{ m}$$De auto heeft tijdens de versnelling dus 2,5 × 102 m afgelegd.
|
INSTRUCTIE:
Rekenen met snelheid
INSTRUCTIE:
De gemiddelde snelheid
|
Zorg dat je kan rekenen met de formule vgem = Δx/Δt
|
|
|
Zorg dat je kan rekenen met de formule vgem = (vb + ve)/2
|
|
§2 Versnelling
In deze paragraaf gaan we leren rekenen met de versnelling.
De versnelling of vertraging (a) van een voorwerp kunnen we als volgt uitrekenen:
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$
|
De eenheid van de versnelling is m/s2. Dit betekent het volgende. Stel dat de snelheid van een voorwerp elke seconde 1 meter per seconde toeneemt. We zeggen dan dat de snelheid 1 meter per seconde per seconde toeneemt. De eenheid van de versnelling is dus m/s/s en dit korten we ook wel af tot m/s2.
Δv staat voor de toename van de snelheid. Hier geldt:
| $$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$ |
Stel dat de snelheid van een voorwerp oploopt van 1,0 m/s tot 4,0 m/s in 6,0 seconden. We berekenen de versnelling dan als volgt:
$$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$ $$ \Delta v = 4,0 - 1,0 = 3,0 \text{ m/s} $$ $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a = \frac{3,0}{6,0} = 0,50 \text{ m/s}^2 $$We hebben het in dit hoofdstuk gehad over de toename van de snelheid (Δv) en de gemiddelde snelheid (vgem). Bij het beantwoorden van vragen is het belangrijk deze begrippen goed uit elkaar te houden. In het bovenstaande voorbeeld is de toename van de snelheid gelijk aan 4,0 - 1,0 = 3,0 m/s. De gemiddelde snelheid is (1,0 + 4,0)/2 = 2,5 m/s.
Ook vertraging kunnen we met deze formule beschrijven. Stel dat een auto gedurende 4,0 seconden vertraagt van 40 m/s naar 12 m/s. De vertraging wordt dan:
$$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$ $$\Delta v = 12 - 40 = -28 \text{ m/s}$$ $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a = \frac{-28}{4,0} = -7,0 \text{ m/s}^2$$
Een versnelling van -7,0 m/s2 is dus gelijk aan een vertraging van 7,0 m/s2. Let erop dat dit niet hoeft te betekenen dat het voorwerp achteruit beweegt! Een remmende auto vertraagt bijvoorbeeld, maar gaat wel vooruit.
|
Stappenplan: Rekenen met versnelling
|
|
Opdracht: Een auto versnelt eenparig van 36 km/h naar 90 km/h en legt tijdens deze versnelling 105 meter af. Bereken de versnelling van de auto. Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en reken ze zoveel mogelijk om in dezelfde eenheden: $$ \Delta x = 105 \text{ m} $$ $$ v_b = 36 \text{ km/h} = \frac{36}{3,6} = 10 \text{ m/s} $$ $$ v_e = 90 \text{ km/h} = \frac{90}{3,6} = 25 \text{ m/s} $$Stap 2: Bereken zo mogelijk vgem en Δv: $$ v_{gem} = \frac{v_b + v_e}{2} = \frac{10 +25}{2} = 17,5 \text{ m/s}$$ $$ \Delta v = v_e-v_b = 25 - 10 = 15 \text{ m/s} $$Stap 3: Schrijf de formules op en geef aan welke gegevens je weet en welk gegeven je wilt weten:
Stap 4: Bedenk welke formule je wilt gebruiken: In dit voorbeeld willen we de versnelling berekenen met de rechter formule, maar we hebben nog niet alle gegevens om dit te kunnen doen. We beginnen daarom met de linker formule. Stap 5: Schrijf de formule zo nodig om en vul hem in: $$ \Delta t = \frac{\Delta x}{v_{gem}} $$ $$ \Delta t = \frac{105}{17,5} = 6,0 \text{ s} $$Stap 6: Gebruik nu de andere formule: $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a= \frac{15}{6,0} = 2,5 \text{ m/s}^2 $$Stap 7: Schrijf de conclusie op en denk aan de eenheid: De versnelling van de auto is 2,5 m/s2 |
(EXTRA) In het onderstaande filmpje ga ik met de formules uit dit hoofdstuk eerst uitrekenen hoeveel afstand een afgeschoten kogel zal afleggen. Daarna laat ik met een demonstratie zien dat mijn voorspelling op de centimeter nauwkeurig uitkomt.
DEMO:
Afschieten projectiel
INSTRUCTIE:
Versnelling
|
Zorg dat je kan rekenen met a = Δv/Δt en met Δv = ve - vb
|
Level 1:
Level 2:
|
§3 Het (x,t)-diagram
Behalve met formules, kunnen we beweging ook beschrijven met grafieken. In deze paragraaf gaan we kijken naar de zogenaamde (x,t)-diagrammen. Ook gaan we leren de snelheid te bepalen in deze diagrammen met behulp van een raaklijn.
Een (x,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de positie (x). Hieronder zijn een aantal bewegingen beschreven met behulp van dit type diagram. Links zien we een grafiek die horizontaal loopt. De positie x verandert hier niet in de tijd. Het voorwerp staat hier dus stil. In de tweede afbeelding zien we een voorwerp dat zich geleidelijk verplaatst. Elke seconde wordt er evenveel meter afgelegd. We spreken hier van een constante snelheid of van een eenparige beweging.
In de onderstaande linker afbeelding zien we een grafiek die steeds steiler gaat lopen. We zien dat in de eerste drie seconden slechts 0,5 meter wordt afgelegd en dat in de laatste drie seconden wel 4,5 m wordt afgelegd. Hoe steiler de lijn dus loopt, hoe sneller het voorwerp verplaatst. We hebben hier dus te maken met een versnelling. Rechts zien we een grafiek die steeds minder steil gaat lopen. Hier hebben we dus te maken met een vertraging.
|
Voorbeeld
|
|
Opdracht: In het onderstaande (x,t)-diagram is de beweging van een stuiterbal weergegeven. Beschrijf deze beweging in detail.
Antwoord: In de eerste seconde loopt de grafiek steeds steiler. We hebben hier dus te maken met een versnelling. De stuiterbal gaat hier ook naar beneden. Op tijdstip t = 1,0 s komt de bal tegen de grond aan en gaat daarna omhoog. In de tweede seconde loopt de grafiek steeds minder steil. Hier hebben we dus te maken met een vertraging. De stuiterbal gaat hier ook omhoog. Op tijdstip t = 2,0 s loopt de grafiek een moment horizontaal. Hier staat de stuiterbal dus een moment stil. In de derde seconde hebben we net als in de eerste seconde te maken met een versnelling naar beneden.
|
Met behulp van een (x,t)-diagram kunnen we ook de gemiddelde snelheid uitrekenen. In het onderstaande diagram is de verplaatsing Δx gelijk aan 4,0 meter. De tijdsduur Δt van de beweging is 6,0 seconden. De snelheid is dus gelijk aan:
$$ v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v_{gem} = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}$$
In het onderstaande (x,t)-diagram is de snelheid niet constant. Als we de snelheid op bijvoorbeeld tijdstip A willen bepalen, dan kunnen we dit doen door een klein driehoekje te tekenen en hiermee de snelheid te berekenen (zie de linker afbeelding). Dit is echter lastig meten en levert daardoor een zeer onnauwkeurig antwoord op. We kunnen dit probleem oplossen door het kleine lijnstukje in beide richtingen zoveel mogelijk te verlengen (zie de rechter afbeelding). De verlengde lijn noemen we een raaklijn. Omdat de raaklijn net zo steil loopt als het oorspronkelijke lijntje vinden we hier dezelfde snelheid.
We bepalen hiermee de snelheid op één tijdstip. De bijbehorende tijdsduur Δt is oneindig klein en hetzelfde geldt voor de bijbehorende verplaatsing Δx. In dat geval noteren we "Δx" als "dx" en "Δt" als "dt". De formule voor de snelheid op één moment is dus:
$$ v = \frac{dx}{dt} $$De snelheid op tijdstip A in het bovenstaande diagram wordt hiermee:
$$ v = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s} $$
INSTRUCTIE:
(x,t)-diagram
INSTRUCTIE:
De raaklijn
|
Zorg dat je bewegingen in een (x,t)-diagram kan herkennen en schetsen
|
|
|
Zorg dat je de snelheid kan bepalen met behulp van een (x,t)-diagram
|
|
|
Zorg dat je kan redeneren met een stroboscopische foto
|
|
|
Zorg dat je de snelheid op een tijdstip kan bepalen met een raaklijn
|
|
§4 Het (v,t)-diagram
In deze paragraaf bespreken we de zogenaamde (v,t)-diagrammen. Ook hiermee kunnen we beweging beschrijven. Ook gaan we leren de gemiddelde snelheid te bepalen met behulp van dit type diagram.
Een (v,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de snelheid (v). Hieronder zijn een aantal voorbeelden afgebeeld. Links zien we een grafiek waarbij de snelheid van een voorwerp de gehele beweging gelijk is aan 0 m/s. Het voorwerp staat in dit geval dus stil. In de tweede afbeelding zien we een voorwerp waarbij de snelheid de gehele tijd 2,0 m/s blijft. Hier hebben we dus te maken met een constante snelheid.
Linksonder zien we een diagram waarbij de snelheid van een voorwerp toeneemt. Er is hier dus sprake van een versnelling. Rechts neemt de snelheid juist af. Hier hebben we dus te maken met een vertraging. Let erop dat een vertraging niet betekent dat het voorwerp achteruit gaat. In dit geval gaat het voorwerp vooruit, maar steeds langzamer!
Ook achteruit bewegen geven we in een (v,t)-diagram weergegeven. Dit doen we met behulp van een negatieve snelheid. In het onderstaande voorbeeld kan je leren hoe dit werkt:
|
Voorbeeld
|
|
Vraag: In het rechter (v,t)-diagram zien we de beweging van een karretje dat tegen een helling op rolt en er daarna achteruit weer vanaf rolt. Beschrijf deze beweging in detail.
Antwoord: In de eerste drie seconden neemt de snelheid af. We hebben hier dus te maken met een vertraging. De snelheid is positief, dus het karretje beweegt hier naar voren. Op t = 3,0 s is de snelheid even 0 m/s. Op dit punt staat het karretje dus een moment stil. In de laatste drie seconden wordt de snelheid negatief. Hier beweegt het karretje dus achteruit. De snelheid neemt hier toe in negatieve richting. Het karretje is hier dus aan het versnellen.
|
Met een (v,t)-diagram kunnen we ook de gemiddelde versnelling bepalen. In het onderstaande diagram is de toename van de snelheid Δv gelijk aan 4,0 m/s. De tijdsduur Δt van de beweging is 6,0 seconden. De gemiddelde versnelling is dus:
$$ a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a_{gem} = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}^2$$
De gemiddelde snelheid is ook te bepalen met behulp van een (v,t)-diagram. Stel dat we bijvoorbeeld de gemiddelde snelheid willen weten van de onderstaande beweging van tijdstip t = 1,0 s tot t = 5,0 s. We trekken hiervoor een horizontale lijn, waarbij oppervlaktes boven de grafiek maar onder de lijn (A) gelijk zijn aan oppervlaktes onder de grafiek maar boven de lijn (B). Deze lijn geeft dan de gemiddelde snelheid aan. In dit geval is de gemiddelde snelheid 3,7 m/s.
We kunnen in een (v,t)-diagram ook de versnelling op één moment bepalen. Dit doen we met behulp van een raaklijn (zie de vorige paragraaf). De formule voor de versnelling wordt in dat geval:
$$ a = \frac{dv}{dt} $$
INSTRUCTIE:
(v,t)-diagram
|
Zorg dat je beweging in een (v,t)-diagrammen kan herkennen en schetsen
|
|
|
Zorg dat je de versnelling en de gemiddelde snelheid kan bepalen in een (v,t)-diagram
|
|
|
Zorg dat je de versnelling kan bepalen op een tijdstip met een raaklijn
|
|
§5 De oppervlaktemethode
In deze paragraaf gaan we een techniek leren waarmee we de verplaatsing kunnen bepalen met behulp van (v,t)-diagrammen. We noemen dit de oppervlaktemethode.
We kunnen met een (v,t)-diagram ook de verplaatsing van een voorwerp bepalen. De oppervlakte onder de (v,t)-grafiek blijkt namelijk gelijk te zijn de verplaatsing (Δx) van het voorwerp. In het linker onderstaande diagram is het oppervlak gelijk aan 6,0 × 3,0 = 18 m. Het voorwerp heeft hier dus 18 meter afgelegd. In het middelste voorbeeld is het oppervlak een driehoek gelijk aan (6,0 × 3,0)/2 = 9,0 m. Dit voorwerp heeft dus 9 meter afgelegd. In de rechter afbeelding bestaat het oppervlak onder de grafiek uit een rechthoek en een driehoek. Het oppervlak geeft een verplaatsing van 2 × 6 + (2 × 6)/2 = 18 m.
Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een remmend voertuig. Op tijdstip t = 0 s springt een stoplicht op rood. Zoals je in het diagram kunt zien, duurt het nog 1,0 seconde voordat de bestuurder hierop reageert door op zijn rem te trappen. De reactietijd van de bestuurder is dus 1,0 seconde. Na de reactietijd duurt het in dit voorbeeld nog 3 seconden voordat het voertuig stil staat.
De afstand die het voertuig gedurende de reactietijd aflegt noemen we de reactieafstand. In dit geval is dit 50 × 1 = 50 m. De afstand die het voertuig tijdens het remmen aflegt noemen we de remweg. In dit geval is dat (50 × 3)/2 = 75 m. De reactieafstand en de remweg samen noemen we de stopafstand. In het bovenstaande voorbeeld is de stopafstand gelijk aan 50 + 75 = 125 m.
|
Voorbeeld
|
|
Opdracht: Bereken de gemiddelde snelheid van de volgende beweging:
Antwoord: Het oppervlak onder de grafiek is gelijk aan de verplaatsing Δx. Het oppervlak is: $$ \frac{1,5 \times 3,5}{2} + 1,5 \times 3,5 + \frac{3 \times 3,5}{2} = 13,1 \text{ m} $$In de grafiek zien we dat de beweging 6,0 seconden geduurd heeft. Met deze gegevens kunnen we de gemiddelde snelheid berekenen: $$v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{13,1}{6,0} = 2,2 \text{ m/s}$$De gemiddelde snelheid is dus 2,2 m/s.
|
In sommige gevallen kunnen we het oppervlak onder de grafiek niet met een simpele formule bepalen. In dat geval is het nodig om de hokjes onder de grafiek te tellen. In het onderstaande voorbeeld laten we zien hoe dit moet.
|
Voorbeeld
|
|
Vraag: In het linker onderstaande (v,t)-diagram wordt het remmen van een voertuig beschreven. Bepaal hoeveel meter het voertuig heeft afgelegd tijdens het remmen.
Antwoord: De afgelegde afstand tijdens het remmen is gelijk aan het oppervlak onder de grafiek. We gaan dit bepalen door hokjes te tellen. In de onderstaande afbeelding is te zien dat er 53 hele hokjes onder de grafiek te vinden zijn.
Bij het overgebleven oppervlak moeten we zo goed mogelijk schatten hoeveel hokjes dit zijn. Ga zelf na dat dit ongeveer 9,5 hokjes zijn (in het onderstaande filmpje laat ik precies zien hoe je dit kan doen). In totaal hebben we dus 53 + 9,5 = 62,5 hokjes. Elk hokje heeft een oppervlak van 0,5 × 0,5 = 0,25 m. De totale verplaatsing is dus: $$ 62,5 \times 0,25 = 15,6 \text{ m} $$
|
INSTRUCTIE:
De oppervlaktemethode
INSTRUCTIE:
Examenvraag
|
Zorg dat je kan rekenen met de oppervlaktemethode
|
|
