ENERGIE
TRILLINGEN
RADIOACTIVITEIT
ZONNESTELSEL (HAVO)
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
videolessen
videolessen
videolessen
videolessen
OPTICA (HAVO)
RELATIVITEIT (VWO)
DEELTJESFYSICA (VWO)
...
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
videolessen
videolessen
videolessen
videolessen

Hoofdstuk 5
Optica (keuzemodule HAVO)

Paragraaf: 1 2 3 4 5

§1     Reflectie

In dit hoofdstuk bestuderen we het voortbewegen van licht. We gaan o.a. bestuderen hoe licht reflecteert en hoe licht van richting verandert als het van de ene naar de andere stof beweegt—dit laatste noemen we breking. Met deze theorie gaan we o.a. de werking van lenzen begrijpen. In deze paragraaf beginnen we met reflectie.

Als we een voorwerp zien, dan komt dat doordat licht vanaf dit voorwerp in onze ogen schijnt. Er zijn twee manieren waarop dit kan gebeuren:

Een collectie van lichtstralen wordt een lichtbundel genoemd. Er zijn drie soorten lichtbundels:

Hieronder zien we een schematische afbeelding van een lichtstraal die op een spiegel valt. Op de plek waar de lichtstraal de spiegel raakt, hebben we een stippellijn getekend. Deze hulplijn wordt de normaal (n) genoemd en staat altijd loodrecht op de spiegel. We kunnen deze hulplijn gebruiken om uit te vinden hoe de lichtstraal zal reflecteren.

In de onderstaande linker afbeelding meten we de hoek tussen de normaal en de invallende lichtstraal. Dit wordt de hoek van inval (i) genoemd. Zorg dat het nulpunt van de geodriehoek precies op het punt ligt waar de lichtstraal invalt en meet dan de hoek.  Zorg dat je op de gradenboog van de geodriehoek de hoek afleest die kleiner is dan 90°. In dit voorbeeld lezen we dat de hoek 50 graden is.

Daarna draaien we de geodriehoek en tekenen we de gereflecteerde lichtstraal onder dezelfde hoek (weer 50 graden). Dit wordt de hoek van terugkaatsing (t) genoemd. Omdat beide hoeken dus even groot zijn, vatten we de regel voor het tekenen van reflecties als volgt samen:

$$ \angle i = \angle t $$

Zoals je weet zorgen spiegels voor een spiegelbeeld. Ook hiermee kunnen we reflecties tekenen. In de linker onderstaande afbeelding zijn we op zoek naar een lichtstraal die vanaf een zaklamp via een spiegel in het oog van de persoon terecht komt. We tekenen hiervoor eerst het spiegelbeeld van de zaklamp aan de andere kant van de spiegel (zie de tweede afbeelding). Voor de persoon lijkt het alsof het licht uit het spiegelbeeld van de zaklamp komt (zie de derde afbeelding). In het echt komt het licht natuurlijk uit de echte zaklamp. Dit hebben we getekend in de laatste afbeelding. We hebben nu de correcte reflectie getekend.

Niet alle voorwerpen reflecteren net zo netjes als een spiegel. Neem bijvoorbeeld een stuk papier. Papier lijkt voor ons oog erg glad, maar als we papier door een microscoop bekijken, dan zien we dat papier helemaal niet zo glad is (zie de onderstaande foto).

Door het ruwe oppervlak reflecteren lichtstralen alle richtingen op. We noemen dit diffuse reflectie. In de onderstaande afbeelding zien we links reflectie op een spiegel. In dit geval wordt de lichtstraal maar één kant op gereflecteerd. Alleen de persoon die deze lichtstraal in zijn ogen krijgt, kan deze lichtstraal zien. De rest niet. Rechts zien we diffuse reflectie. Doordat het licht nu alle kanten op gaat, kunnen nu alle omstanders het licht zien, maar het licht is nu wel minder fel.

         Tekenen van reflecties met behulp van ∠i = ∠t en het spiegelbeeld
  1. (2p) Een lichtstraal valt op een spiegel (zie de onderstaande afbeelding). Teken de reflectie van deze lichtstraal (noteer de hoek van inval en de hoek van terugkaatsing op de juiste plaats).

  2. (2p) Een jongen kijkt in een spiegel (zie de onderstaande afbeelding). Boven de spiegel hangt een lamp en de jongen ziet de weerspiegeling van deze lamp. Teken de lichtstraal die ervoor zorgt dat de jongen de weerspiegeling van de lamp kan zien.

  3. Hieronder zie je twee keer dezelfde lichtbundel die op een spiegel schijnt.

    1. (2p) Teken hoe de lichtbundel reflecteert met behulp van de hoek van inval en terugkaatsing.
    2. (2p) Teken hoe de lichtbundel reflecteert met behulp van het spiegelbeeld.
  4. In deze opdracht bestuderen we de werking van een reflector op de achterkant van een fiets. Een reflector bestaat uit een aantal spiegelende oppervlakken die loodrecht op elkaar staan. Als een auto achter de fietser rijdt en met zijn lampen op de reflector schijnt, dan moet dit licht naar hem terug reflecteren, zodat hij de fietser kan zien.
    1. (2p) In de linkerhelft van de onderstaande afbeelding zien we een lichtstraal die loodrecht op een spiegel valt en een lichtstraal die vanuit dezelfde richting op een reflector valt. Laat zien dat de spiegel en de reflector in dit geval even goed werken om de fietser zichtbaar te maken voor de automobilist.
    2. (4p) In de rechterhelft van de onderstaande afbeelding zien we een lichtstraal die onder een hoek op een spiegel valt en een lichtstraal die vanuit dezelfde richting op een reflector valt. Laat zien dat de spiegel in dit geval niet werkt en de reflector wel.

  5. Hieronder zien we een aantal lichtstralen die op een parabolisch oppervlak reflecteren. Een satellietschotel heeft dezelfde vorm. Een satellietschotel ontvangt radiogolven om televisie te kunnen ontvangen.
    1. (2p) Teken hoe de lichtstralen reflecteren.
    2. (2p) Wat valt je op? Waarom wordt deze opzet gebruikt voor een satellietschotel?

 

§2     Breking

Als licht van de ene naar de andere stof beweegt, dan verandert het van richting. We noemen dit breking. In deze paragraaf gaan we leren gebroken lichtstralen te tekenen.

Als licht van de ene naar de andere stof beweegt, dan blijft het licht niet gewoon in een rechte lijn doorbewegen. Op het punt dat het licht overgaat naar een ander materiaal, verandert het van richting. We noemen dit effect breking. In de onderstaande foto is dit effect te zien. Een lichtbundel schijnt een stukje plastic in en daarna weer uit. Merk op dat het licht alleen op de overgangen van de ene naar de andere stof van richting verandert. Op de andere plekken beweegt het licht gewoon in een rechte lijn.

Breking is duidelijk te zien als we naar voorwerpen kijken die zich onder water bevinden. Hieronder is een persoon afgebeeld die naar een vis kijkt. We zien een lichtstraal die vanaf de vis in het oog van een persoon valt. Doordat het licht van richting verandert op het punt dat het licht het water verlaat, lijkt het voor de persoon alsof de vis zich op een andere plek bevindt dan in werkelijkheid het geval is. Zoals je ziet lijkt de vis zich dichter bij het wateroppervlak te bevinden dan in werkelijkheid het geval is.

Laten we nu uitrekenen onder welke hoek lichtstralen breken. Zoals je in de onderstaande afbeelding kunt zien, tekenen we de normaal (n) op het punt waar de lichtstraal invalt op het materiaal. De normaal tekenen we in dit geval aan beide kanten van het oppervlak. De hoek tussen de invallende lichtstraal en de normaal noemen we wederom de hoek van inval (i). De hoek tussen de normaal en de gebroken lichtstraal noemen we de brekingshoek (r).

De relatie tussen i en r wordt beschreven met de zogenaamde wet van Snellius:

$$ \frac{\sin{i}}{\sin{r}} = \frac{n_r}{n_i} $$
Hoek van inval (i) graden
Brekingshoek (r) graden
Brekingindex aan kant invallende lichtstraal (ni) -
Brekingindex aan kant gebroken lichtstraal (nr) -

 

De brekingsindex (n) is een materiaaleigenschap die invloed heeft op de breking. ni staat voor de brekingsindex van het materiaal aan de kant van de invalshoek. nr staat voor de brekingsindex van het materiaal aan de kant van de brekingshoek. De brekingsindex voor verschillende materialen kan je vinden in BINAS. Voor lucht en het vacuüm geldt een brekingsindex van 1,00.

         Voorbeeld

 

Opdracht:

Een lichtstraal raakt een wateroppervlak onder een invalshoek van 20°. Bereken de brekingshoek.

Antwoord:

Volgens BINAS is de brekingsindex van lucht 1,0 en van water 1,3. De formule wordt hiermee:

$$ \frac{\sin{20^\circ}}{\sin{r}} = \frac{1,3}{1} $$

Dit kunnen we omschrijven tot:

$$ \sin{r} = \frac{\sin{20^\circ}}{1,3} $$

Met de inverse sinus vinden we dan:

$$ r = \sin^{-1}{\left( \frac{\sin{20^\circ}}{1,3} \right) } = 15^\circ $$

Zoals je kan zien is de brekingshoek in dit geval kleiner dan de hoek van inval. Dit blijkt altijd het geval te zijn als licht beweegt naar een stof met een hogere brekingsindex.

 

         Voorbeeld

 

Opdracht:

Een lichtstraal begint onder water en raakt het wateroppervlak onder een invalshoek van 20°. Bereken de brekingshoek waaronder de lichtstraal de lucht in schijnt.

Antwoord:

Volgens BINAS is de brekingsindex van lucht 1,0 en van water 1,3. De formule wordt hiermee:

$$ \frac{\sin{20^\circ}}{\sin{r}} = \frac{1}{1,3} $$

Dit kunnen we omschrijven tot:

$$ \sin{r} = \sin{20^\circ} \times 1,3 $$

Met de inverse sinus vinden we dan:

$$ r = \sin^{-1}{\left( \sin{20^\circ} \times 1,3 \right) } = 26^\circ $$

Zoals je kan zien is de brekingshoek in dit geval groter dan de hoek van inval. Dit blijkt altijd het geval te zijn als licht beweegt naar een stof met een lagere brekingsindex.

 

Het resultaat van het bovenstaande voorbeeld levert in sommige gevallen problemen op. Als we de hoek van inval steeds groter maken, dan komt er een moment dat de brekingshoek groter zou moeten worden dan 90°. Dit is niet mogelijk! Als je de vergelijking probeert op te lossen voor deze situaties, dan geeft de rekenmachine een error. In dat geval vindt er geen breking plaats. Wat er in plaats hiervan gebeurt, is dat de lichtstraal reflecteert. We spreken hier ook wel van totale reflectie (zie de onderstaande afbeelding). Ook bij dit type reflectie geldt ∠i = ∠t.

Zoals je in de bovenstaande afbeelding kan zien, vindt er breking plaats tot de brekingshoek 90 graden is. De specifieke hoek van inval waarbij dit gebeurt noemen we de grenshoek (g). Deze hoek kunnen we vinden met de wet van Snellius:

$$ \frac{\sin{i}}{\sin{r}} = \frac{n_r}{n_i} $$

Voor de brekingshoek (r) vullen we nu 90 graden in en voor de invalshoek i vullen we de grenshoek (g) in:

$$ \frac{\sin{g}}{\sin{90^\circ}} = \frac{n_r}{n_i} $$

Omdat sin(90°) = 1, kunnen we dit herschrijven tot:

$$ \sin{g} = \frac{n_r}{n_i} $$
Grenshoek (g) graden

 

In het onderstaande programma is het moment te zien waarop totale reflectie plaatsvindt. Klik met je muis om te lichtstraal te richten. Als je op de knop "gedeeltelijke reflectie" klikt, dan zie je dat ook voordat de grenshoek bereikt is al deels reflectie optreedt. In dit hoofdstuk is het niet nodig hier rekening mee te houden.



         Redeneren met breking
  1. (2p) Wat is breking en wanneer treedt het op?
  2. Als je wit licht op een prisma schijnt, dan splitst het witte licht op in een spectrum van kleuren.
    1. (1p) Laat met behulp van BINAS zien dat dit gebeurt. Gebruik hiervoor de tabel met brekingsindices.
    2. (2p) Bij welke kleur licht vindt de sterkte breking plaats.
  3. (3p) Op de bodem van een zwembad ligt een munt. Leg met behulp van een tekening uit waarom deze munt zich in werkelijkheid dieper bevindt dan je op het oog zou denken.
         Rekenen met de wet van Snellius
  1. Licht valt in een sloot onder een invalshoek van 30 graden.
    1. (1p) Noteer de brekingshoek van water.
    2. (6p) Teken op de graad nauwkeurig hoe deze lichtstraal breekt. Bereken hiervoor eerst de brekingshoek.
    3. (1p) Leg uit of de lichtstraal naar de normaal toe of van de normaal af is gebroken.
    4. (2p) Leg uit of het mogelijk is dat totale reflectie optreedt als licht van lucht naar water beweegt.
  2. (4p) Een lichtstraal verlaat gewoon glas met een invalshoek van 40 graden. Bereken de brekingshoek.
  3. (3p) In de onderstaande afbeelding zien we een lichtstraal die vanuit lucht een onbekend voorwerp in schijnt. Bepaal van welk materiaal dit voorwerp gemaakt is.

  4. (5p) Glasvezelkabels zijn dunne draadjes die gebruikt worden om licht naar een gewenste plaats te geleiden. Deze technologie wordt o.a. gebruikt voor internet, waarbij data in de vorm van lichtpulsjes door de kabels wordt geleid. Glasvezel bestaat uit een transparante stof waaruit het licht niet kan ontsnappen dankzij totale reflectie (mits je de kabel niet te veel buigt). Laat met behulp van de grenshoek van glasvezel zien dat de lichtstraal in de onderstaande afbeelding inderdaad telkens totaal reflecteert. Ga uit van een brekingsindex van glasvezel van 1,71.

  5. Een regenboog ontstaat als zonlicht onder een bepaalde hoek druppels binnenschijnt. Binnen de druppels vindt dan breking en totale reflectie plaats. In de onderstaande afbeelding is één van deze druppels weergegeven.

    1. (6p) Teken hoe de lichtstraal de druppel instraalt (TIP: een gemakkelijke manier om de normaal te tekenen is door een lijn te trekken vanaf het midden van de druppel. Deze lijn staat automatisch loodrecht op het oppervlak van de druppel).
    2. (5p) Ga met behulp van de grenshoek na of de lichtstraal tegen de achterzijde van de druppel zal breken of totaal zal reflecteren.
    3. (4p) Teken hoe de lichtstraal de druppel uitstraalt.
    4. (1p) Leg met behulp van de brekingsindici in BINAS uit dat wit licht in de druppel wordt opgedeelt in de kleuren van de regenboog.
  6. (9p) In de onderstaande afbeelding zien we een diamant waar een lichtstraal naar binnen is geschenen. Teken hoe de lichtstraal binnen de diamant voortbeweegt en uiteindelijk de diamant uitstraalt.

 

§3     Het beeld

In deze paragraaf gaan we beginnen met het bestuderen van lenzen. Een lens werkt met behulp van breking en hiermee kunnen we een beeld van de werkelijkheid projecteren op een scherm. In deze paragraaf gaan we leren hoe dit werkt.

Lenzen komen we in het dagelijks leven veel tegen. Ze zitten in brillen, camera's, microscopen, telescopen en ook het oog zelf bevat een lens. Lenzen werken doordat ze licht op een speciale manier breken. Er bestaan twee typen lenzen. Een bolle lens, ook wel een positieve lens genoemd, is in het midden dikker dan aan de rand. Een holle lens, ook wel een negatieve lens genoemd, is in het midden dunner dan aan de rand (zie de onderstaande rechter afbeelding). Als een evenwijdige bundel op een bolle lens valt, dan convergeert de bundel naar één punt. Dit zien we bijvoorbeeld bij een vergrootglas (zie de onderstaande linker afbeelding). Bij de holle lens convergeren de lichtstralen juist weg van één punt.

   

Positieve lenzen tekenen we meestal als een verticale lijn met daarboven een plus. Een negatieve lens tekenen we als een verticale lijn met daarboven een min. Ook tekenen we door het midden van de lens een horizontale lijn. Dit is een hulplijn die we de hoofdas noemen.

Als lichtstralen evenwijdig aan de hoofdas op een positieve lens vallen, dan kruisen ze elkaar in een punt op de hoofdas dat we het brandpunt noemen (zie de onderstaande linker afbeelding). Het brandpunt duiden we aan met de letter F (van het Engelse woord 'focus'). Let op dat alleen deze evenwijdige lichtstralen in het brandpunt terecht komen. Alle andere lichtstralen komen nooit in het brandpunt terecht. Als lichtstralen evenwijdig aan de hoofdas op een negatieve lens vallen, dan bewegen ze juist weg van het brandpunt dat zich aan de andere zijde van de lens bevindt (zie de rechter afbeelding).

De afstand van het midden van de lens tot het brandpunt wordt de brandpuntsafstand (f) genoemd. Hoe boller (of holler) de lens, hoe kleiner de brandpuntsafstand. Opticiens gebruiken in plaats van de brandpuntsafstand (f) liever de lenssterkte (S). De lenssterkte kan je als volgt uitrekenen:

$$ S = \frac{1}{f} $$

Brandpuntsafstand (f)

meter (m)

Lenssterkte (S)

dioptrie (dpt)

 

Let op dat je de brandpuntsafstand in deze formule altijd in meters invult.

In de onderstaande foto wordt met behulp van een lens een beeld wordt gemaakt van een kaarsje. Zoals je kan zien staat dit beeld "op z'n kop". In de rest van deze paragraaf gaan we begrijpen wat hier gebeurt.

In de onderstaande afbeelding is links een lampje weergegeven. Dit lampje straalt licht uit in alle richtingen. Slechts een deel van deze lichtstralen komt op de lens terecht.

Van al de lichtstralen die op de lens vallen, gaan we er slechts twee bestuderen (zie de onderstaande afbeelding). De bovenste lichtstraal loopt evenwijdig aan de hoofdas. We weten dus dat deze lichtstraal door het brandpunt gaat. De onderste lichtstraal gaat door het midden van de lens. Lichtstralen door het midden van de lens gaan gewoon rechtdoor.

Nu plaatsen we een scherm. Als we het scherm precies op de plek plaatsen waar het licht samenkomt, dan krijgen we een scherp beeld van dit lampje te zien op dit scherm.

Nu kunnen we ook andere lichtstralen tekenen die op de lens terecht komen. Ook deze lichtstralen kruisen namelijk op hetzelfde punt op het scherm. Merk op dat de plek waar de lichtstralen samenkomen niet het brandpunt is. Dit is logisch, want niet alle lichtstralen lopen evenwijdig aan de hoofdas.

Nu gaan we een beeld maken van een voorwerp, in dit geval van een pijltje. In de onderstaande afbeelding hebben we de twee bijzondere lichtstralen getekend die uit het puntje van de pijl komen. 

In de onderstaande afbeelding zien we ook de lichtstralen die van de onderkant van de pijl komen. In deze afbeelding is ook een scherm geplaatst op de plekken waar de lichtstralen samenkomen.

Merk op dat het licht afkomstig van het puntje van de pijl lager op het scherm terecht komt dan het licht van de onderkant van de pijl. Het beeld van de pijl staat dus inderdaad "op z'n kop". In de onderstaande afbeelding hebben we het beeld getekend dat op het scherm zichtbaar zal zijn.

Merk ook op dat het beeld in dit geval kleiner is dan het oorspronkelijke voorwerp. Dit komt omdat in dit geval de lens verder van het voorwerp staat dan van het scherm. Als juist het voorwerp dichterbij staat, dan krijg je een vergroot beeld. Je kan dit zien door het object in het onderstaande programma te verplaatsen (als je het object voorbij het brandpunt trekt gebeurt er wel wat vreemds, maar dat is onderwerp van de volgende paragraaf).


         Tekenen van het brandpunt en de brandpuntsafstand en rekenen met S = 1/f
  1. (1p) Noem, behalve een vergrootglas en een bril, nog twee andere instrumenten waarbij men gebruik maakt van lenzen.
  2. (3p) Je krijgt een lens met een onbekend brandpunt. Beschrijf een experiment waarmee je zelf het brandpunt kan bepalen.
  3. (2p) Teken een bolle lens met een brandpuntsafstand van 0,050 m en geef aan hoe een evenwijdige lichtbundel door deze lens gebroken wordt.
  4. (3p) Bereken de sterkte van een lens met een brandpuntsafstand van 4,0 cm.
  5. (3p) Bereken de brandpuntsafstand in centimeter van een lens met een sterkte van 4,0 dpt.
  6. Lens 1 heeft een sterkte van 3,5 dpt. Lens 2 heeft een sterkte van 1,5 dpt.
    1. (1p) Welke lens is het sterkst?
    2. (3p) Welke lens heeft de grootste brandpuntsafstand?
         Tekenen van het beeld
  1. (2p) Teken het beeld van lamp L1:

  2. (4p) Teken het beeld van lamp L1 en lamp L2:

  3. (5p) Teken het beeld van het potlood. Geef ook duidelijk aan waar je het scherm moet plaatsen om een scherp beeld te krijgen.

  4. Een potlood wordt eerst ver van een lens geplaatst en daarna dichterbij de lens geschoven. Beide situaties zijn hieronder getekend.
    1. (6p) Teken in beide gevallen het beeld.
    2. (1p) Hoeveel centimeter heb je het scherm moeten verschuiven om het beeld scherp te houden?
    3. (2p) Geef voor beide tekeningen aan of het beeld een vergroting of een verkleining is.

  5. Een bolle lens maakt een beeld van een rechtopstaande pijl. Dit beeld wordt weergegeven op een scherm. De lens staat op 4,0 cm van de pijl. De brandpuntsafstand is 2,0 cm.
    1. (4p) Teken deze situatie en bepaal waar het scherm moet staan.
    2. (3p) Leg uit wat er met de plaats van het beeld gebeurt als je de pijl dichter naar de lens toeschuift.
  6. (3p) Lamp L1 schijnt op een lens. Vind de locatie van het brandpunt van de lens. Leg met behulp van een tekening uit hoe je op je antwoord komt.

 

§4     Het virtuele beeld

Als we een voorwerp dichter bij de lens plaatsen dan het brandpunt, dan ontstaat een zogenaamd virtueel beeld. In deze paragraaf gaan we bestuderen wat dit is.

Als we het voorwerp dichter bij de lens plaatsen dan het brandpunt, dan kunnen we op de gebruikelijke manier de constructiestralen tekenen. De lichtstraal door het midden gaat rechtdoor. De lichtstraal evenwijdig aan de hoofdas gaat door het rechter brandpunt. Probleem is echter dat de lichtstralen nu nergens samenkomen (zie de onderstaande afbeelding). We kunnen dus nergens een scherm plaatsen waarop het beeld geprojecteerd wordt. We kunnen wel het volgende doen. Als we de lichtstralen opvangen met bijvoorbeeld ons oog, dan lijkt het of de lichtstralen uit een ander punt komen dan in werkelijkheid het geval is. We spreken hier van een virtueel beeld (in tegenstelling tot een reëel beeld). Dit beeld wordt virtueel genoemd, omdat er niet werkelijk licht op dit beeld samenkomt. Het licht lijkt er alleen vandaan te komen.

Merk ook op dat het virtuele beeld aan dezelfde kant staat als het voorwerp en dat het virtuele beeld niet "op z'n kop" staat.

Met het onderstaande programma kan je zowel een reëel als een virtueel beeld maken. Sleep hiervoor het object heen en weer.



         Tekenen van virtuele beelden bij de bolle lens
  1. In de onderstaande afbeelding is een potlood afgebeeld dicht bij een lens.

    1. (1p) Leg uit hoe je weet dat er in dit geval een virtueel beeld zal ontstaan van het potlood.
    2. (5p) Teken het virtuele beeld.
    3. (1p) Leg aan de hand van je tekening uit waarom we het virtuele beeld "virtueel" noemen.

 

§5     De lenzenformule

In deze paragraaf gaan we leren rekenen met de lenzenformule.

In de onderstaande afbeelding is links een voorwerp getekend (een blauwe pijl) en rechts zien we het beeld van dit voorwerp afgebeeld op een scherm. De afstand van de lens tot het voorwerp noemen we de voorwerpafstand (v) en de afstand van de lens tot het beeld noemen we de beeldafstand (b). De hoogte van het voorwerp noemen we V en de hoogte van het beeld noemen we B.

Met deze afstanden kunnen we de vergroting (N) berekenen. Dit kunnen we doen met de volgende twee formules:

$$ N = \frac{B}{V} $$ $$ N = \frac{b}{v} $$
Vergroting N -
Beeldafstand (b) meter (m)
Voorwerpafstand (v) meter (m)
Hoogte van beeld (B) meter (m)
Hoogte van voorwerp (V) meter (m)

 

Als de vergroting (N) bijvoorbeeld gelijk is aan 2, dan is het beeld twee keer zo groot als het voorwerp. Als N = 0,5 dan is het beeld twee keer zo klein als het voorwerp. De formule werkt ook als de afstanden in andere eenheden gegeven worden, bijvoorbeeld in centimeters.

Met de voorwerpsafstand en de beeldafstand kunnen we ook de brandpuntsafstand (f) berekenen. We doen dit met de zogenaamde lenzenformule:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{v} $$
Brandpuntsafstand (f) meter (m)
Beeldafstand (b) meter (m)
Voorwerpsafstand (v) meter (m)

 

         Voorbeeld

 

Opdracht:

Een persoon wilt een scherpe foto maken van een potlood. De voorwerpsafstand is 50,0 cm en de beeldafstand is 5,0 cm. Bereken de brandpuntsafstand van de lens die je nodig hebt.

Antwoord:

Eerst vullen we de formule in en rekenen de de rechter zijde uit:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{5,0} + \frac{1}{50,0} $$ $$ \frac{1}{f} = 0,22 $$

Als we deze formule omschrijven, dan vinden we:

$$ f = \frac{1}{0,22} = 4,5 \text{ cm} $$

De brandpuntsafstand is dus 4,5 cm.

 

         Voorbeeld

 

Opdracht:

Met een lens van 30 dpt maken we een beeld van een voorwerp dat zich 8,0 cm van de lens bevindt. Bereken hoe ver je het scherm van de lens moet zetten om een scherp beeld te krijgen.

Antwoord:

Eerst rekenen we met de lenssterkte de brandpuntsafstand uit:

$$ f = \frac{1}{S} $$ $$ f = \frac{1}{30} = 0,033 \text{ m} $$

Let erop dat bij deze formule het antwoord altijd in meter wordt gegeven.

Met de brandpuntsafstand kunnen we met de lenzenformule de beeldstandafstand uitrekenen. Eerst vullen we de formule in:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{v} $$ $$ \frac{1}{0,033} = \frac{1}{b} + \frac{1}{0,080} $$ $$ 30 = \frac{1}{b} + 13 $$

We zien hier dat 1/b gelijk moet zijn aan 30 - 13 = 17. Er geldt dus:

$$ 17 = \frac{1}{b} $$

Deze formule kunnen we omschrijven en oplossen:

$$ b = \frac{1}{17} = 0,057 \text{ m} $$

De beeldafstand is dus 0,075 m, oftewel 7,5 cm.

 

         Extra: Rekenen aan een virtueel beeld

 

In het geval van een virtueel beeld werkt de lenzenformule ook. Het beeld bevindt zich in dat geval aan de "andere kant" van de lens. Dit zien we terug doordat de beeldafstand in de formule automatisch een negatieve waarde krijgt. Als de afstand van het virtuele beeld tot de lens bijvoorbeeld 10 cm is, dan vullen we in de lenzenformule voor b dus -10 cm in.

 



         Rekenen met N = b/v en N = B/V
  1. (2p) Een leerling maakt een foto van de Eiffeltoren met haar mobiel. De toren is 300 m hoog en past precies op de foto. De beeldchip in de camera is 10 mm groot. Bereken de vergroting.
  2. Een leerling leest een boek. De afstand tussen het boek en haar oog is 30 cm. De afstand tussen de ooglens en het netvlies is 1,7 cm.
    1. (3p) Bereken de vergroting
    2. (3p) In het boek staat een afbeelding van 3,8 cm groot. Bereken hoe groot het beeld van deze afbeelding op haar netvlies is.
  3. (4p) Een fotocamera heeft een beeldchip met een grootte van 35 mm. Je fotografeert een wolkenkrabber van 821 m hoog. De wolkenkrabber past precies op de foto als je op een afstand van 121 m gaat staan. Bereken de beeldafstand.
  4. (4p) Een projector heeft een LCD-dia met een grootte van 35 mm. Op het scherm, dat op een afstand staat van 400,0 cm van de lens, verschijnt een beeld met een grootte van 250,0 cm. Bereken de voorwerpafstand.
         Rekenen met de lenzenformule
  1. Een leerling houdt een paperclip van 3,0 cm op een afstand van 10 cm voor zijn ogen. Hij kan de paperclip dan nog net scherp zien. De afstand tussen de ooglens en het netvlies is 1,7 cm.
    1. (2p) Vind met behulp van een tekening de brandpuntsafstand.
    2. (3p) Vind met behulp van de lenzenformule de brandpuntsafstand.
  2. (6p) Een voorwerp staat op 30 cm van een lens. Er wordt een beeld gevormd op 800 mm van de lens. Bereken de lenssterkte.
  3. (2p) Leg uit waarom het maken van een constructietekening bij een telescoop of microscoop zo goed als onmogelijk is en je dus wel moet gaan rekenen.
  4. (5p) Een leerling heeft een digitaal fototoestel gekocht. In de gebruiksaanwijzing staat vermeld dat de camera een brandpuntsafstand heeft van 70 mm. Om een scherp beeld te krijgen wordt de afstand van de lens tot de CCD (de lichtgevoelige plaat) op 71 mm ingesteld. Wat is de vergroting van het voorwerp.
  5. Een voorwerp van 2,0 cm hoog staat 5,0 cm voor een bolle lens met een sterkte van 40 dpt.
    1. (5p) Bereken de vergroting.
    2. (3p) Ga met een tekening na dat je antwoord klopt.
  6. (6p) Met een verrekijker wordt naar een voorwerp op 200 meter afstand gekeken. De lenssterkte van de lens is 15 dpt. Wat is de vergroting van het voorwerp.