ENERGIE
TRILLINGEN
RADIOACTIVITEIT
ZONNESTELSEL (HAVO)
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden
RELATIVITEIT (VWO)
...
...
...
antwoorden
antwoorden
antwoorden
antwoorden

Hoofdstuk 5
Relativiteitstheorie (keuzemodule VWO)

§1     Tijddilatatie

In dit hoofdstuk gaan we het hebben over de speciale relativiteitstheorie van Einstein. In 1905 ontdekte Einstein dat de ruimte en de tijd anders werken dan eerder gedacht werd. In deze paragraaf gaan we leren dat de tijd trager verloopt voor voorwerpen die snel voortbewegen. We noemen dit effect tijddilatatie.

In 1905 ontdekte Albert Einstein dat de ruimte en de tijd onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn. Voor dit moment dacht men vrij simplistisch over de ruimte en de tijd. Newton zag de ruimte als een gigantische 3-dimensionale diagram waarin objecten geplaatst kunnen worden en de tijd als een universeel tikkende 'klok'. De waarheid is echter niet zo simpel.

De moderne visie op tijd en ruimte wordt beschreven door de zogenaamde speciale relativiteitstheorie. Deze theorie is gebaseerd op twee aannames. De eerste aanname is het relativiteitsprincipe dat al door Galileo opgesteld was. Galileo had ontdekt dat de natuurwetten in een stilstaande ruimte gelijk waren aan de natuurwetten in een eenparig bewegende ruimte. Neem als voorbeeld het vliegtuig. In een eenparig bewegend vliegtuig met gesloten ramen, is het onmogelijk om te detecteren dat je beweegt. Er is geen enkel experiment wat je binnen dit vliegtuig kan doen waarmee je kan aantonen dat je beweegt. Dit is waarom het niet eens nodig is om gordels om te hebben als het vliegtuig eenmaal met een constante snelheid vliegt. Hetzelfde geldt voor de aarde. Mensen op aarde hebben vaak het idee dat ze stil staan, terwijl de aarde om zijn eigen as draait en ook nog eens om de zon. Eenparige beweging en stilstand zijn dus relatieve begrippen.

Einstein voegde aan het relativiteitsprincipe van Galileo nog een tweede aanname toe. In de 19de eeuw ontdekte wetenschappers dat de snelheid van licht voor alle waarnemers dezelfde waarde heeft. De snelheid van het licht is dus een constante en wordt altijd gegeven door:

$$ c = 3,0 \times 10^8 \text{ m/s}$$

Dit ogenschijnlijk simpele feit heeft grote gevolgen. Laten we een voorbeeld bespreken. In de onderstaande afbeelding zien we een persoon in een ruimteschip. De persoon beweegt mee met het ruimteschip en we zeggen daarom ook wel dat de persoon zich in het referentiestelsel van het ruimteschip bevindt. In het midden van het schip bevindt zich een laser die een lichtdeeltje (een foton) afschiet naar de voor- en achterkant van het schip. Omdat de laser precies in het midden van het schip staat, ziet de persoon in het schip dat de fotonen tegelijk aankomen bij wanden van het schip.

Nu bekijken we dezelfde situatie door de ogen van een waarnemer die op aarde staat. Terwijl het rechter foton door het ruimteschip beweegt, beweegt het ruimteschip een stukje Δx naar rechts. Als gevolg moet het licht een iets langere weg afleggen om de rechter wand te bereiken. In de Newtoniaanse natuurkunde wordt hiervoor gecorrigeerd, doordat een persoon op aarde meet dat het foton met de snelheid van het licht plus de snelheid van het ruimteschip naar rechts beweegt (zie de volgende afbeelding). Het foton legt dus een iets langere afstand af volgens de persoon op aarde, maar doet dit met een iets grotere snelheid, waardoor beide waarnemers het foton op hetzelfde tijdstip tegen de wand zien komen. Eenzelfde soort argument geldt voor het linker foton.

Einstein was het hier niet mee eens, omdat de lichtsnelheid constant is voor alle waarnemers. Ook de persoon op aarde ziet de fotonen dus gewoon met snelheid c voortbewegen. Maar dit betekent dat de persoon op aarde het rechter foton op een later tijdstip ziet aankomen! Om dezelfde reden komt het linker foton iets eerder aan (zie de onderstaande afbeelding). De persoon in het schip meet dus dat de fotonen tegelijk aankomen, terwijl de persoon op aarde het linker foton eerst ziet aankomen en dan pas het rechter foton. Einstein noemde dit de relativiteit van gelijktijdigheid.

Veel mensen die dit voor het eerst horen, denken dat dit komt doordat de persoon op aarde het schip moeilijker kan meten omdat het in beweging is. Dit is niet wat hier bedoeld wordt. Zelfs met perfecte meetinstrumenten blijft het bovenstaande argument gelden en geldt dus de relativiteit van gelijktijdigheid.

Laten we nog een voorbeeld bestuderen. Een persoon in een ruimteschip kijkt naar een laser die een foton omhoog schiet (zie de onderstaande afbeelding). Het foton komt uiteindelijk terecht in een detector. De afstand tussen de laser en de detector noemen we h. Met de algemene formule Δx = vΔt, vinden we dat voor het foton geldt dat:

$$h = c\Delta t_{eigen}$$

Omdat verschillende waarnemers de tijd verschillend meten, moeten we goed bijhouden welke persoon welke gebeurtenis meet. In dit geval bevindt de persoon die de meting verricht en de gebeurtenis die gemeten wordt allebei in hetzelfde stelsel. De gebeurtenis vindt dus plaats in het eigen stelsel van de waarnemer. We spreken bij deze meting daarom van de eigentijd (teigen).

Een tweede persoon bekijkt hetzelfde foton vanaf de aarde. Hij ziet het foton meebewegen met het ruimteschip (zie de volgende afbeelding). Als we de afstand die het licht aflegt Δl noemen, dan vinden we met de stelling van Pythagoras:

$$\Delta l^2 = \Delta x^2 + h^2$$

Het ruimteschip is tijdens het bewegen van het foton Δx=vΔt verplaatst. Voor het foton geldt Δl=cΔt. Als we deze formules in de bovenstaande formule substitueren, dan vinden we dat:

$$c^2\Delta t^2 = v^2\Delta t^2 + h^2$$

Merk op dat we het hier hebben over de tijd (t) en niet over de eigentijd (teigen). In dit geval meet de waarnemer namelijk de tijd van een fenomeen dat zich in een ander stelsel bevindt. De persoon op aarde meet namelijk de tijd van de bewegende lichtstraal in het ruimteschip.

Uit onze eerdere analyse van de persoon in het schip hadden we gevonden dat cΔteigen=h. Als we dit in de vorige formule substitueren, dan vinden we:

$$c^2\Delta t^2 = v^2\Delta t^2 + c^2\Delta t_{eigen} ^2$$

We kunnen deze vergelijking herschrijven tot:

$$\Delta t^2 (c^2 - v^2) = c^2\Delta t_{eigen} ^2$$

Als we delen door c2, dan vinden we:

$$\Delta t^2 \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) = \Delta t_{eigen}^2$$

Het eindresultaat wordt:

$$\Delta t = \frac{\Delta t_{eigen} }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Eigentijdsduur (Δteigen)

seconde (s)

Tijdsduur (Δt)

seconde (s)

Snelheid van stelsel (v)

meter per seconde (m/s)

Lichtsnelheid (c)

2,99792458 x 108 m/s

 

Deze formule korten we als volgt af:

$$\Delta t = \gamma \Delta t_{eigen}$$ $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Omdat γ geen eenheid heeft, is het niet nodig de tijdsduren in seconden te meten. De formule geeft ook de juiste antwoorden als je bijvoorbeeld werkt in uren of jaren.

De γ in de formule heeft altijd een waarde groter of gelijk aan 1 en als gevolg vinden we dat Δteigen altijd kleiner is dan Δt. Voor de persoon in het ruimteschip is er dus minder tijd voorbij gegaan tijdens de beweging van het foton. De tijd in het ruimteschip loopt dus slomer. We noemen dit tijddilatatie. Ook tijd is dus relatief!

In het dagelijks leven merken we weinig van tijdsdilatatie. Dit komt omdat de snelheden van voorwerpen in het dagelijks leven veel kleiner zijn dan de lichtsnelheid (v << c). In dat geval ligt v2/c2 erg dicht bij 0 en vinden we:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \approx 1 \;\;\;\;\;\; \text{(v << c)}$$

De formule voor de tijddilatatie wordt dan simpelweg Δt = Δteigen. De tijd wordt nu dus door beide waarnemers gelijk gemeten. In deze situatie kunnen we daarom gewoon de traditionele niet-relativistische natuurkunde gebruiken om de wereld te beschrijven. Bij grote snelheden wordt de toevoeging van Einstein echter belangrijk.

         Rekenen met tijddilatatie
  1. Met snelheden waar we in het dagelijks leven mee te maken hebben, zijn de tijddilatatie-effecten verwaarloosbaar klein. Laat dit zien met behulp van de formule uit de paragraaf.
  2. Een astronaut maakt een ruimtereis met een snelheid van 8/9c. Volgens de astronaut heeft zijn reis 20 jaar geduurd. Bereken hoeveel tijd er in de tussentijd op aarde voorbij is gegaan.
  3. Een persoon op aarde kijkt op zijn horloge en ziet 10 seconden voorbij gaan. Bereken hoeveel tijd er volgens een persoon voorbij is gegaan die met 0,9c voortbeweegt.
  4. Een persoon in een ruimteschip gooit een balletje op. Volgens een persoon op aarde duurt het 20 seconden voordat het balletje weer terug in de hand van de persoon valt. Volgens de persoon in het ruimteschip lijkt het echter maar 0,75 s te duren. Bereken de snelheid waarmee het schip voortbeweegt.
  5. Voor licht staat de tijd stil. Bewijs dit.

 

§2     Lengtecontractie

In deze paragraaf gaan we zien dat ook de lengte van voorwerpen verschillend is voor verschillende waarnemers. Dit effect wordt lengtecontractie genoemd.

Tijd is dus relatief. Maar hoe zit het met de ruimte? Om dit te begrijpen, bestuderen we een bekend voorbeeld. Als protonen van de zon op de atmosfeer van de aarde botsen, dan ontstaan deeltjes die we muonen noemen. Deze muonen bewegen dan met een gigantische snelheid naar het aardoppervlak (v = 0,999c), waar we ze kunnen meten. We kunnen deze muonen ook zelf maken in het lab. Als we op aarde een stilstaand muon meten, dan blijkt dit deeltje een gemiddelde levensduur van 2,2μs te hebben. Na deze periode vervalt het muon in andere deeltjes. Als we met de oude natuurkunde zouden uitrekenen hoe ver het bewegende muon door de atmosfeer zou kunnen reizen, dan vinden we met vΔt = Δx:

$$0,999c \times 2,2 \times 10^{-6} = 0,66 \text{ km}$$

Maar de atmosfeer is ongeveer 15 km dit! Volgens deze berekening zou het muon dus nooit het aardoppervlak kunnen bereiken! Maar hoe kan het dan dat we de muonen toch kunnen meten? Dit komt omdat we geen rekening hebben gehouden met tijddilatatie. De 2,2 μs vervaltijd geldt voor een muon dat stilstaat in het lab. Dit is dus de eigentijdsduur Δteigen van het muon. Voor het bewegende muon hebben we echter Δt nodig:

$$\Delta t = \frac{\Delta t_{eigen} }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\Delta t = \frac{2,2 \times 10^{-6}}{\sqrt{1-0,999^2}} = 49 \text{ }\mu\text{s}$$

In 49 μs kan het muon de volgende afstand afleggen:

$$0,999c \times 49 \times 10^{-6} = 15 \text{ km}$$

Dit is genoeg om het aardoppervlak te bereiken!

Nu bekijken we dezelfde gebeurtenis meereizend met het muon. Als we meereizen met het muon, dan zitten we in hetzelfde stelsel als het muon. Er geldt in dat geval gewoon Δteigen = 2,2 μs! We hadden al berekend dat het muon met deze vervaltijd slechts 0,66 km kan afleggen! Toch weten we dat het muon het aardoppervlak kan bereiken. Hoe is dit mogelijk? Einstein zag maar één uitweg. Voor het muon is de atmosfeer veel dunner. Meereizend met het muon is de atmosfeer van 15 km gekrompen tot slechts 0,66 km! We noemen dit lengtecontractie.

De persoon op aarde meet dus dat het muon de aarde kan bereiken dankzij tijddilatatie. De persoon meereizend met het muon denkt dat het muon de aarde kan bereiken dankzij lengtecontractie. Wat de een ziet als het verslomen van de tijd, ziet de ander als het krimpen van de ruimte. Ruimte en tijd zijn dus onlosmakelijk met elkaar verweven.

Ook voor de lengtecontractie kunnen we een formule afleiden. Ook hier moeten we verschil maken tussen de lengte (L) en de eigenlengte (Leigen). In dit geval is de relevante lengte de atmosfeer en deze staat in het stelsel van de persoon op aarde. Voor de persoon op aarde heeft de atmosfeer dus lengte Leigen. Voor de persoon meereizend met het muon heeft de atmosfeer lengte L. Er geldt dus:

$$\Delta t = L_{eigen} / v \;\;\;\;\;\; \text{meting vanaf aarde}$$ $$\Delta t_{eigen} = L / v \;\;\;\;\;\; \text{meting vanaf muon}$$

Als we beide formules in de tijddilatatieformule (Δt = γΔteigen ) substitueren, dan vinden we:

$$L_{eigen} = \gamma L$$

Eigenlengte (Leigen)

meter (m)

Lengte (L)

meter (m)

gammafactor (γ)

-

 

Omdat γ altijd groter of gelijk is aan 1, vinden we dat bewegende voorwerpen kleiner zijn.

         Rekenen met tijddilatatie en lengtecontractie
  1. Een astronaut reist met een snelheid van 0,8c naar de dichtstbijzijnde ster Proxima Centauri. Deze ster staat 4,0 × 1016 m van de aarde. De zus van de astronaut blijft op aarde.
    1. Zijn zus meet dat de reis 5,3 jaar geduurd heeft. Toon dit aan.
    2. Bereken hoe groot de afstand tot deze ster is volgens de astronaut.
    3. Bereken hoe lang de reis duurt volgens de astronaut.
  2. Een muon is een instabiel deeltje dat bij stilstand een gemiddelde levensduur van 2,2 μs heeft. Muonen worden boven in de atmosfeer gevormd als protonen van de zon tegen de atmosfeer botsen. De muonen bewegen met 99,9% van de lichtsnelheid. De atmosfeer is 15 km dik. In de newtoniaanse mechanica leeft het muon te kort om het aardoppervlak te kunnen bereiken. In de relativistische mechanica kan het muon de aarde wel bereiken. Dit kan je op twee manieren laten zien.
    1. Laat met een berekening zien dat het muon wel het aardoppervlak zal bereiken, volgens een waarnemer op aarde.
    2. Laat met een berekening zien dat het muon wel het aardoppervlak zal bereiken, volgens een waarnemer die met het muon meereist.
  3. Een trein rijdt door een tunnel met een lengte van 150 meter. De persoon in de trein meet dat de trein een lengte van 200 m heeft. Vanaf de aarde gezien past de trein op een bepaald moment precies in de tunnel. Bereken de snelheid van de trein.

 

§3     Minkowski-diagrammen

In deze paragraaf gaan we tijddilatatie en lengtecontractie ook met behulp van diagrammen weergegeven. We noemen deze diagrammen Minkowski-diagrammen

In de speciale relativiteitstheorie geven we gebeurtenissen grafisch weer met behulp van ruimtetijd-diagrammen. Dit worden ook wel Minkowski-diagrammen genoemd. Deze diagrammen hebben op de horizontale as de afstand (x) staan en op de verticale as de tijd vermenigvuldigd met de lichtsnelheid (ct). De eenheid van ct is:

$$[c][t] = m/s\times s = m$$

Het voordeel van dit type diagram is dat voorwerpen die met de lichtsnelheid gaan nu altijd een hoek van 45 graden maken met de x-as. Dit kunnen we goed zien als we de formule voor de snelheid als volgt omschrijven:

$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{c\Delta x}{c\Delta t} = \frac{\Delta x}{c\Delta t} c$$

Voor de beweging in het onderstaande diagram vinden we:

$$v = \frac{5}{5}c = c$$

Een grafiek onder een hoek van 45 graden geeft dus inderdaad de lichtsnelheid.

Laten we nog een voorbeeld nemen. Het voorwerp in het onderstaande diagram heeft de volgende snelheid:

$$v = \frac{\Delta x}{c\Delta t} c$$ $$v = \frac{2}{3}c = 0,67 c$$

Dit voorwerp beweegt dus met 67% van de lichtsnelheid.

Nu wordt het tijd om weer verschillende stelsels met elkaar te vergelijken. Wederom beginnen we met de oude natuurkunde. In de linker onderstaande diagram zien we een waarnemer A die stil staat. We zien dat deze waarnemer stil staat omdat zijn positie (x) hetzelfde blijft als de tijd (ct) voorbij gaat. In het diagram zien we ook een waarnemer B die met een constante snelheid naar rechts beweegt in een ruimteschip met 0,67c.

We hadden echter net zo goed aan kunnen nemen dat juist persoon B stil stond. In het rechter diagram zien we hoe het diagram er voor persoon B uit ziet. Om onderscheid te maken tussen de twee diagrammen, zetten we bij stelsel B een accent (') bij beide assen. In dit (x',ct')-diagram lijkt het juist alsof waarnemer B stil staat. Zijn positie (x') blijft namelijk hetzelfde als de tijd (ct') voorbij gaat.

Nu passen we de correctie van Einsteins speciale relativiteitstheorie toe. Omdat waarnemer B zich met snelheid 0,67c van waarnemer A af beweegt, vinden we een γ-factor van:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{(2/3c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-(2/3)^2}} = 1,34$$

Stel dat de persoon in het schip elke seconde in zijn handen klapt. Volgens de formule Δt = γΔteigen meet de persoon op aarde tussen de klappen een tijdsduur van 1,34 s. Om dit aan het diagram toe te voegen moeten we de ct'-as dus oprekken (zie de onderstaande diagram). Merk op dat als er 1,00 seconde voorbij is gegaan in het schip, er inderdaad 1,34 s voorbij is gegaan op aarde.

We zijn hiermee echter nog niet klaar. Om het diagram compleet te maken, voeren we het volgende gedachtenexperiment uit. Een persoon in het schip schiet op tijdstip ct' = -3 m, -2 m en -1 m een lichtstraal af naar rechts (zie het linker onderstaande diagram). Wederom worden de lichtstralen gekenmerkt door de hoek van 45 graden met de x-as. Op tijdstip ct' = 0 m reflecteert de persoon de lichtstralen met een spiegel, waarna ze weer terug naar links gaan. Zoals je ziet vindt de persoon in het schip dat de lichtstralen zijn gereflecteerd op dat x'-as op afstand 1, 2 en 3 meter.

In het middelste diagram zien we dezelfde situatie gezien vanaf de aarde. Wederom starten de lichtstralen op ct'=-3 m, -2 m en -1 m en komen de lichtstralen terug op tijdstip ct'=1 m, 2 m en 3 m (zie de middelste afbeelding). Omdat we wederom de lichtstralen onder een hoek van 45 graden moeten tekenen, zien we dat de lichtstralen nu op onverwachte plekken reflecteren. In het linker voorbeeld hadden we al geconcludeerd dat deze punten op de x'-as lagen. Vanaf de aarde gezien staat de x'-as dus ook onder een hoek (zie de rechter afbeelding). In de onderstaande afbeelding zien we het uiteindelijke ruimtetijd-diagram. Merk op dat de hoek tussen de ct- en de ct'-as even groot is als de hoek tussen de x- en de x'-as. Ook zijn de stapjes op de x' en de ct' even groot.

Laten we nu oefenen moet het aflezen van Minkowski-diagrammen. In de onderstaande linker afbeelding zien we een zevental gebeurtenissen die zijn aangegeven met rode punten. Volgens de persoon op aarde (x,ct) vinden deze gebeurtenissen na elkaar plaats. Het meest linkse punt gebeurt het eerst en het meest rechtse punt het laatst. In het bewegende systeem gebeuren al deze gebeurtenissen echter tegelijk! Al deze gebeurtenissen gebeuren namelijk op tijdstip ct' = 0. Dit is wederom de relativiteit van gelijktijdigheid.

Ook lengtecontractie kunnen we uit het Minkowski-diagram aflezen. In de rechter diagram beschrijven we een voorwerp van 2,0 m dat stil ligt op aarde. Als we de lengte meten in het (x,ct)-stelsel, dan zien we dat de stok inderdaad 2,0 m is. In het bewegende stelsel is de afstand echter gelijk is aan 1,5 m! Precies wat we volgens de formule van de lengtecontractie zouden verwachten:

$$L = \frac{L_{eigen}}{\gamma}$$ $$L = \frac{2}{1,34} = 1,5 \text{ m}$$

         Maken en aflezen van Minkowski-diagrammen
  1. Teken in een (ct,x)-diagram een grafiek van een ruimteschip dat met een snelheid van 1,0c vanaf de oorsprong naar rechts beweegt.
  2. Teken in hetzelfde diagram een grafiek van een ruimteschip dat met een snelheid van 2/3c vanaf de oorsprong naar rechts beweegt.
  3. Teken in hetzelfde diagram een grafiek van een ruimteschip die stil staat.
  4. Construeer een minkowski-diagram voor een referentiestelsel dat met een snelheid van 4/5c naar rechts beweegt. Bereken hiervoor o.a. met de tijddilatatieformule hoe groot de stappen op de ct'- en x'-as worden.
  5. In het onderstaande Minkowski-diagram worden met twee stippen twee gebeurtenissen beschreven.

    1. Leg uit op welk moment de gebeurtenissen plaatsvinden in het stilstaande stelsel. Vinden de gebeurtenissen gelijktijdig plaats?
    2. Leg uit op welk moment de gebeurtenissen plaatsvinden in het bewegende stelsel. Vinden de gebeurtenissen gelijktijdig plaats?
  6. Een persoon maakt een ruimtereis. Zijn raket beweegt mee met het onderstaande bewegende stelsel:

    1. Een persoon op aarde meet dat de ruimtereis 8 jaar geduurd heeft. Lees met behulp van het diagram af hoeveel tijd er volgens de persoon op aarde voorbij is gegaan in het ruimteschip.
    2. De persoon in het ruimteschip meet dat de ruimtereis 6 jaar geduurd heeft. Lees met behulp van het diagram af hoeveel tijd er volgens de persoon in het ruimteschip voorbij is gegaan op aarde.
    3. Laat zien dat je dezelfde antwoorden bij vraag a en b vindt als je niet had afgelezen uit de grafiek, maar juist de tijddilatatieformule had gebruikt.
  7. In het stilstaande stelsel ziet een persoon een voorwerp sneller dan het licht van zich af bewegen (zie de onderstaande afbeelding). Volgens de relativiteitstheorie zijn dit soort bewegingen niet mogelijk, omdat bewegende waarnemers dan absurde fenomenen zouden waarnemen. Leg aan de hand van het onderstaande diagram uit om welke absurde waarnemingen het hier gaat.

  8. Een stok van 1,0 m ligt in het bewegende stelsel (zie de onderstaande afbeelding).

    1. Ga met behulp van het diagram na dat de stok volgens een waarnemer op aarde 0,75 m is.
    2. Vind hetzelfde resultaat met behulp van de lengtecontractieformule.
  9. In de volgende afbeelding zien we een stok van lengte 1,0 m die stil staat in het stilstaande stelsel. Gebruik de grafiek om de lengte van de stok in het bewegende stelsel te vinden. (zie de onderstaande afbeelding).

 

§4     Impulsbehoud

Naast ruimte en tijd werken ook impuls en energie anders in de relativistische mechanica. In deze paragraaf introduceren we de impuls.

De impuls wordt gegeven door:

$$p=mv$$

Impuls (p)

kgm/s

Massa (m)

kilogram (kg)

Snelheid (v)

meter per seconde (m/s)

 

Met behulp van de impuls kunnen we de tweede wet van Newton schrijven als:

$$F_{res} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$

Als we deze formule uitwerken, dan vinden we namelijk Fres = ma terug:

$$F_{res} = \frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = m\frac{\Delta v}{\Delta t} = ma$$

Met deze nieuwe formulering van de tweede wet van Newton, kunnen we de derde wet van Newton schrijven als:

$$F_1 = -F_2$$ $$\frac{\Delta p_1}{\Delta t} = -\frac{\Delta p_2}{\Delta t}$$

Als we beide kanten met Δt vermenigvuldigen, dan vinden we:

$$\Delta p_1 = -\Delta p_2$$ $$p_{1,e} - p_{1,b} = - (p_{2,b} - p_{2,e})$$ $$p_{1,b} + p_{2,b} = p_{1,e} + p_{2,e}$$

We zien hier dat de totale impuls aan het begin gelijk is aan de impuls aan het eind. We noemen dit de wet van behoud van impuls.

Laten we deze wet eens toepassen. Hieronder zien we twee dezelfde deeltjes die botsen en daarna gezamenlijk verder bewegen. We noemen dit een inelastische botsing. Voor de snelheid van het linker deeltje voor de botsing gebruiken we de letter 'u' en voor de snelheid van het gezamenlijke deeltje na de botsing gebruiken we de letter 'v'.

Met impulsbehoud vinden we:

$$mu + 0 = Mv$$ $$mu = 2mv$$ $$u = 2v$$

De snelheid v is dus twee keer zo klein als de oorspronkelijke snelheid u.

Nog een voorbeeld. Een deeltje ligt eerst stil en explodeert in twee gelijke delen. Het linker deel beweegt met snelheid v1 en het rechter deel met snelheid v2.

De impuls aan het begin is nul, omdat het deeltje eerst stil staat. Met behoud van impuls vinden we:

$$0 = mv_1 + mv_2$$ $$v_1 = -v_2$$

Aan deze formule kunnen we zien dat beide delen met dezelfde snelheid wegschieten, maar in tegengestelde richting.

         Rekenen met impulsbehoud
  1. In de volgende afbeelding zien we twee deeltjes. Het linker deeltje heeft een grote massa M en beweegt met snelheid u en het rechter deeltje heeft een verwaarloosbare massa m en staat stil. De botsing is inelastisch. Ga met impulsbehoud na wat er met beide deeltjes gebeurt na de botsing.

  2. In de volgende afbeelding zien we twee deeltjes. Het linker deeltje heeft een verwaarloosbaar kleine massa m en beweegt met snelheid u en het rechter deeltje heeft een grote massa M en staat stil. De botsing is inelastisch. Ga met impulsbehoud na wat er met beide deeltjes gebeurt na de botsing.

  3. Een massa M valt uit elkaar in twee gelijke delen met massa m. Ga met impulsbehoud na wat er met beide deeltjes gebeurt na de botsing.

  4. In de volgende afbeelding zien we twee deeltjes met dezelfde massa. Het linker deeltje beweegt met snelheid u en het rechter deeltje staat stil. De botsing is elastisch. Ga na wat er met beide deeltjes gebeurt na de botsing. Gebruik hiervoor zowel impulsbehoud als energiebehoud.

  5. Een wolk bestaat uit kleine druppeltjes. Als deze druppels vallen, dan halen de zwaardere druppels de lichtere in. Als de zwaardere druppels tegen de lichtere druppels botsen, dan smelten de druppels samen. Op deze manier kunnen de druppels uiteindelijk uitgroeien tot regendruppels. In het onderstaande diagram is getekend hoe een druppel A met een massa van 4,2 × 10-12 kg een druppel B met een massa van 0,52 × 10-12 kg inhaalt. Op t = 2,0 ms versmelten de twee druppels. Toon met een berekening aan dat de impuls tijdens de botsing van de druppels behouden is gebleven.

 

§5     Kernenergie

In deze paragraaf introduceren we relativistische impuls en energie. We gaan de relativistische energie daarna toepassen op kernreacties.

Op de website leiden we af dat de relativistische impuls wordt gegeven door:

In het onderstaande extra stukje verder op in deze paragraaf leiden we af dat de relativistische impuls wordt gegeven door:

$$p = \gamma mv$$

         Extra

 

In de onderstaande linker afbeelding zijn twee deeltjes afgebeeld die met dezelfde snelheid tegen elkaar aan botsen. De snelheid in horizontale richting is voor beide deeltjes erg klein en dus niet relativistisch. De snelheid in de verticale richting is wel relativistisch. Bij een inelastische botsing komen de deeltjes in dit geval stil te liggen.

In de rechter afbeelding bekijken we dezelfde botsing vanuit een stelsel dat verticaal meebeweegt met het linker deeltje. Het linker deeltje lijkt nu alleen naar rechts te bewegen. Omdat we in beide gevallen dezelfde botsing bestuderen, weten we dat de deeltjes na de botsing geen snelheid meer hebben in de horizontale richting.

In het rechter voorbeeld, beweegt het linker deeltje niet-relativistisch en het rechter deeltje wel. Voor het rechter deeltje treedt dus tijddilatatie op. Het deeltje zal dus langer doen over de beweging tot aan de botsing (omdat de deeltjes tegelijk botsen, betekent dit dat het rechter deeltje in dit stelsel eerder is vertrokken).

Omdat beide deeltjes dezelfde horizontale afstand afleggen en het linker deeltjes meer tijd nodig heeft dankzij de tijddilatatie, vinden we dus dat de horizontale snelheid van het deeltje kleiner moet zijn dan dat van het linker deeltje. Omdat de tijd met een factor γ groter wordt, wordt de horizontale snelheid dus met een factor γ kleiner. Er geldt dus:

$$ v_{x,B} = \frac{V_{x,A}}{\gamma} $$

In de Newtoniaanse mechanica kunnen we op deze botsing de wet van behoud van impuls toepassen, waarbij we de impuls definiëren als:

$$ p = mv $$

Voor de rechter afbeelding levert impulsbehoud in de x-richting:

$$ mv_{A,x} - mv_{B,x} = 0 $$ $$ mv_{A,x} = mv_{B,x} $$ $$ v_{A,x} = v_{B,x} $$

Met vB = vA/γ vinden we echter:

$$ v_{A,x} \neq \frac{v_{A,x}}{\gamma} $$

De newtoniaanse definitie voor de impuls is dus niet behouden in de relativiteitstheorie. De volgende definitie wel:

$$ p = \gamma mv $$

Met impulsbehoud vinden we nu:

$$ \gamma mv_{A,x} - \gamma mv_{B,x} = 0 $$

De linker γ wordt 1, omdat deeltje A niet relativistisch beweegt. Met vB = vA/γ vinden we hier:

$$ mv_{A,x} - \gamma m \frac{v_{A,x}}{\gamma} = 0 $$ $$ v_{A,x} - v_{A,x} = 0 $$ $$ v_{A,x} = v_{A,x} $$

De vergelijking klopt nu wel. Merk op dat de γ in de definitie van de impuls netjes wegvalt tegen de γ die door de tijddilatatie veroorzaakt is. Deze nieuwe definitie blijkt ook in experimenten telkens te kloppen.

We gebruiken deze nieuwe wet van behoud van impuls in de volgende situatie. Twee deeltjes met gelijke massa worden tegen elkaar aan geschoten met dezelfde snelheid. De deeltjes hebben een grote horizontale snelheidscomponent u en een kleine verticale snelheidscomponent v.

Het behoud van impuls in de y-richting geeft:

$$ \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} + \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} = Mv $$

γ hebben we alleen afhankelijk gemaakt van u. Dit komt omdat v heel klein is ten opzichte van u en dus verwaarloosbaar is. We versimpelen de bovenstaande uitspraak tot:

$$ \frac{2m}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} = M$$ $$ \gamma (2m) = M$$

Omdat 2m gelijk is aan de totale beginmassa, kunnen we deze formule ook schrijven als:

$$ \gamma M_{begin} = M_{eind} $$

De totale massa is na de botsing dus groter dan voor de botsing! Er is massa bijgekomen! Maar hoe is dit mogelijk en waar komt deze massa vandaan? Hiervoor moeten we de relativistische energie bestuderen. Dit doen we in de volgende paragraaf.

 

Een formule voor de relativistische energie kunnen we net als in de Newtoniaanse mechanica vinden met behulp van de arbeid. In het hoofdstuk 'energie' hadden we de arbeid gedefinieerd als W = Fs. Met onze nieuwe formulering van de tweede wet van Newton kunnen we dit herschrijven tot:

$$W = Fs = \frac{\Delta p}{\Delta t}s$$

Op de website laten we zien dat je deze formule kan uitwerken tot:

In het onderstaande extra stukje laten we zien dat je deze formule kan uitwerken tot:

$$E = \gamma mc^2$$

Gamma (γ)

-

Massa (m)

kilogram (kg)

Lichtsnelheid (c)

2,99792458 x 108 m/s

 

         Extra

 

De meer algemene formule is echter:

$$ W = \int F dx $$

Als we een arbeid uitoefenen op een deeltje met massa m, dan kunnen we dit uitschrijven tot:

$$ W = \int \frac{dp}{dt} dx $$ $$ W = \int \frac{d(\gamma mv)}{dt} dx $$

Als we deze integraal door de computer laten uitrekenen, dan vinden we:

$$ W = \gamma_{e} mc^2 - \gamma_{b} mc^2 $$

Vergelijk dit eens met het newtoniaanse resultaat dat we gevonden hebben in het hoofdstuk energie:

$$ W = \frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{1}{2}mv_b^2 $$

In plaats van de kinetische energie, vinden we dus nu:

$$ E = \gamma mc^2 $$

 

Dit kunnen we uitschrijven tot:

$$E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Met een wiskundige techniek genaamd de taylorbenadering, kunnen we deze formule herschrijven tot:

$$E = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2} +... $$

De tweede term is de bekende kinetische energie, die we ook in de newtoniaanse mechanica vinden. De derde term is een relativistische correctie op de kinetische energie. Deze term is bij lage snelheden echter heel klein, omdat er wordt gedeeld door c2. Totaal nieuw is de eerste term. We noemen dit de rustenergie (E0), omdat deze term zelfs aanwezig is als een voorwerp stil staat en er geen krachten op werken. Voor een stilstaand voorwerp versimpelt de bovenstaande formule tot:

$$E = E_0 = mc^2 \;\;\;\;\; (v = 0)$$

Totale energie (E)

joule (J)

Rustenergie (E0)

joule (J)

Massa (m)

kilogram (kg)

Lichtsnelheid (c)

2,99792458 x 108 m/s

 

Op de website laten we zien In een extra stukje theorie later in de paragraaf laten we zien dat de rustenergie gelijk is aan de energie die aanwezig is in de massa van de deeltjes en dat deze energie kan worden omgezet in andere vormen van energie. Een goed voorbeeld hiervan is radioactief verval. Neem bijvoorbeeld alfaverval. Als we de massa van de atoomkern meten voor het verval en we meten de massa van de kern na het verval plus het vrijgekomen alfadeeltje, dan vinden we dat er een klein beetje massa (en dus wat rustenergie) is verdwenen. Deze rustenergie is omgezet in de kinetische energie waarmee het alfadeeltje wegschiet. Er geldt dus:

$$E_{0,b} = E_{0,e} + E_{kin,e} $$

We noemen deze vrijgekomen energie kernenergie.

Neem bijvoorbeeld de volgende vervalreactie:

$$^{32}_{15}P \;\;\;\rightarrow \;\;\; ^{0}_{-1}e + ^{32}_{16}S$$

In tabel 25 van BINAS kunnen we de massa's vinden van verschillende isotopen. Deze massa's geven echter de massa's van de volledige atomen, terwijl we bij kernreacties alleen geïnteresseerd zijn in de atoomkern. Het is daarom nodig om de massa's van de elektronen hier nog van af te halen. De massa van het elektron kunnen we in tabel 7 vinden. We vinden de volgende massa's:

$$m_{P-32} = 31,97362\text{ u} - 15 \times 0,00054858\text{ u} = 31,96539\text{ u}$$ $$m_{e} = 0,00054858\text{ u} $$ $$m_{S-32} = 31,97207\text{ u} - 16 \times 0,00054858\text{ u} = 31,96329\text{ u}$$

Als we nu de totale massa voor de reactie vergelijken met de massa na de reactie, dan vinden we:

$$\Delta m = m_{P-32} - m_e - m_{S-32}$$ $$31,96566 - 0,00054858 - 31,96327 = 0,00155 \text{ u}$$ $$0,00155 \times 1,6605389 \times 10^{-27} = 2,57 \times 10^{-30} \text{ kg}$$

We kunnen hieruit concluderen dat er inderdaad massa verdwenen is tijdens de kernvervalreactie. We noemen de verdwenen massa het massadefect. De rustenergie die hierbij hoort is gelijk aan:

$$E_0 = mc^2 = 2,57 \times 10^{-30} \times (2,997925 \times 10^8)^2 = 2,31 \times 10^{-13} \text{ J}$$

Als we deze energie omschrijven van joule naar MeV, dan vinden we:

$$E = \frac{2,31 \times 10^{-13}}{10^6 \times 1,602177 \times 10^{-19}} = 1,44 \text{ MeV}$$

Dit komt redelijk overeen met de waarde 1,72 MeV die we in BINAS vinden bij P-32. We zien hier dus dat bijna alle energie die ontstaat bij het verval gaat zitten in de kinetische energie van het uitgestraalde elektron. De rest van de energie zorgt voor een kleine snelheid van het overgebleven zwaveldeeltje.

Een ander voorbeeld waarbij kernenergie vrijkomt is het fuseren van waterstofkernen in de zon. Al het licht dat de zon uitstraalt is afkomstig uit dit type reacties. Een ander voorbeeld waarbij kernenergie vrijkomt is de annihilatie van een elektron en een positron. De energie komt in dit geval vrij in de vorm van twee fotonen:

$$e^- + e^+ \;\;\;\rightarrow\;\;\; \gamma + \gamma$$

De golflengte van deze fotonen is te berekenen met de volgende formule uit het hoofdstuk 'spectrum':

$$E_f = h\frac{c}{\lambda}$$

Energie (Ef)

joule (J)

Constante van Planck (h)

6,62606957 x 10-34 Js

Lichtsnelheid (c)

2,99792458 x 108 m/s

Golflengte van foton (λ)

meter (m)

 

         Extra

 

Denk nu nog eens terug aan de twee botsende deeltjes in de paragraaf over de relativistische impuls. We vonden de formule:

$$ \gamma M_{begin} = M_{eind} $$

Als we beide zijden met c2 vermenigvuldigen, dan vinden we:

$$ \gamma M_{begin}c^2 = M_{eind}c^2 $$

Met de Taylorbenadering kunnen we de rechter zijde wederom uitwerken tot:

$$ M_{begin}c^2 + \frac{1}{2}M_{begin}v^2 = M_{eind}c^2 \;\;\; (v\lt \lt c)$$

Aan het begin hadden de deeltjes wat rustenergie en wat kinetische energie. Na de botsing is de kinetische energie verdwenen en moet de rustenergie dus zijn toegenomen. Omdat de rustenergie afhankelijk is van de massa, moet het dus zijn dat de massa is toegenomen. De kinetische energie is dus omgezet in de extra hoeveelheid massa.

Betekent dit dat de individuele deeltjes zelf een grotere massa hebben gekregen? Nee! Als de twee massa's zich samenhechten tot één deeltje, is hiervoor wat bindingsenergie nodig. Tevens kunnen de deeltjes gaan trillen (warmte). De extra massa blijkt veroorzaakt te worden door deze extra energiën. Op eenzelfde manier krijgt een veer bijvoorbeeld iets meer massa als we deze indrukken (door de veerenergie) en heeft een bal iets meer massa als we deze roteren (rotatie-energie).

 

         Extra

 

We kunnen de formule voor de energie ook gebruiken om uit te rekenen hoeveel energie het kost om een deeltje met massa m te versnellen tot de lichtsnelheid. Als de snelheid de lichtsnelheid nadert, dan gaat gamma richting de oneindig. We vinden dus:

$$ E = \infty mc^2 $$

Er is dus oneindig veel energie nodig om een voorwerp met massa tot de lichtsnelheid te brengen. Dit is dus niet mogelijk!

Als laatste zullen we aantonen dat deeltjes zonder massa (zoals fotonen) altijd met de lichtsnelheid moeten bewegen. Eerst leiden we hiervoor een formule af. Als we de formule voor de energie en de impuls kwadrateren, dan vinden we:

$$ p^2 = \gamma^2m^2v^2 $$ $$ E^2 = \gamma^2m^2c^4 $$

Als we p2 nu met c2 vermenigvuldigen en van E2 afhalen, dan vinden we:

$$ E^2 - c^2p^2 = \gamma^2m^2c^4 - c^2\gamma^2m^2v^2 = m^2c^4\gamma^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right) $$

Als we dit uitschrijven, dan vinden we:

$$ E^2 - c^2p^2 = m^2c^4$$

Laten we deze formule is invullen voor licht. Licht heeft geen massa. Als we dus m = 0 invullen, dan vinden we:

$$ E^2 - c^2p^2 = 0 $$ $$ E = pc $$

Als we in deze formule de p en de E uitwerken, dan vinden we:

$$ \gamma mc^2 = \gamma mvc $$ $$ c = v $$

We hebben dus gevonden dat massaloze deeltjes niet anders kunnen dan met de lichtsnelheid bewegen!

 

         Rekenen met massadefect
  1. Een uranium-235-kern vervalt door middel van alfaverval.
    1. Laat met behulp van een kernvervalvergelijking zien welke kern bij deze reactie ontstaat.
    2. Bereken hoeveel energie er bij het verval vrijkomt. Controleer dan in BINAS tabel 25 of je de juiste waarde gevonden hebt.
    3. Bereken de snelheid waarmee het alfadeeltje uit de kern schiet.
  2. Bereken de golflengte van de twee (dezelfde) fotonen die vrijkomen bij de annihilatie van een positron en een elektron. Je mag aannemen dat het elektron en het positron tijdens de annihilatie zo goed als stil stonden.
  3. Bij kalium-40 isotopen kan K-vangst plaatsvinden. Dit is een kernreactie waarbij een elektron uit de binnenste schil de kern in valt en hier een reactie aangaat met een proton.
    1. Laat met behulp van een kernvervalvergelijking zien welke kern bij deze reactie ontstaat.
    2. Bij K-vangst ontstaat een hoeveelheid energie. Deze energie verlaat de kern in de vorm van een foton. Bereken de golflengte van het foton dat hierbij vrij komt.

 

§6     Deeltjesfysica

Relativistische effecten vinden geregeld plaats in de deeltjesfysica. Dit vakgebied beschrijft de meeste elementaire deeltjes en krachten in het universum. In deze paragraaf geven we een kort overzicht van een aantal van de belangrijkste ontdekkingen in dit vakgebied.

Het universum bestaat uit drie groepen deeltjes. De zogenaamde quarks, de leptonen en de bosonen. De theorie die deze collectie aan deeltjes en hun interactie beschrijft noemen we het standaardmodel.

Laten we beginnen met het beschrijven van quarks. Door elektronen op protonen en neutronen te schieten hebben we gevonden dat protonen en neutronen uit kleinere deeltjes bestaan die we quarks noemen. Het blijkt dat zowel het proton als het neutron uit drie quarks bestaan.

Er bestaan verschillende soorten quarks. De up-quarks (u) hebben een lading van +2/3 e en de down-quarks (d) hebben een lading van -1/3 e. Een proton bestaat uit twee up-quarks en een down-quark (uud) en een neutron uit een up- en twee down-quarks (udd). Als we de ladingen van de quarks bij elkaar optellen, dan vinden we dat het proton zoals gebruikelijk lading +1 heeft en het neutron lading 0.

Ook is ontdekt dat elk deeltje zijn antideeltje heeft. Dit is een deeltje met gelijke massa, maar met een omgekeerde lading. Een voorbeeld dat we al zijn tegengekomen is het positron, het antideeltje van het elektron. Ook quarks hebben hun antideeltjes. Er bestaat dus ook een anti-up-quark (đ) en een anti-down-quark (ā). Een combinatie tussen een quark en een anti-quark noemen we een meson. Hieronder zien we bijvoorbeeld een meson bestaande uit een up-quark (+2/3) en een anti-down-quark (+1/3). De totale lading is dus 2/3 + 1/3 = 1.

Om nog onbekende reden komen quarks alleen in combinaties voor waarbij de totale lading een heel aantal keer de elektronlading (e) is. Quarks kunnen dus bijvoorbeeld niet los van elkaar voorkomen. Als we quarks toch uit elkaar proberen te trekken, dan komt er via E=mc2 zoveel energie vrij dat er weer nieuwe quarks ontstaan. Hieronder kan je bijvoorbeeld zien wat er gebeurt als we een meson uit elkaar trekken.

Naast antideeltjes hebben alle quarks ook nog twee zwaardere broertjes die dezelfde lading hebben, maar een grotere massa. Het up-quark heeft als zwaardere broertjes het charm-quark (c) en het top-quark (t). De down-quark heeft als zwaardere broertjes het strange-quark (s) en het bottom-quark (b).

De tweede groep deeltjes waaruit de wereld bestaat, zijn de leptonen. In deze groep behoort het elektron en zijn zwaardere broertjes het muon en het tauon. Ook de zogenaamde neutrino's (ν) behoren tot deze groep. Neutrino's zijn deeltjes zonder lading en met zo goed als geen massa. Ze zijn dan ook zeer moeilijk te detecteren.

Het neutrino was ontdekt tijdens een studie naar het verval van een neutron in een proton en een elektron. Anders dan we in het hoofdstuk ‘radioactiviteit’ geleerd hebben, komt er bij deze reactie ook een antineutrino vrij:

$$n \rightarrow p + e + \bar{\nu}$$

Het bestaan van het neutrino werd voorspeld door Pauli. Pauli merkte op dat zowel energie als impuls niet behouden leek te zijn bij het verval van het neutron. Er leek zowel impuls als energie te zijn verdwenen. Hij loste dit op door te postuleren dat er nog een derde deeltje vrij moest komen met de verdwenen impuls en energie. Met erg nauwkeurige detectoren zijn deze deeltjes uiteindelijk inderdaad gevonden.

Dat bij de reactie een antineutrino ontstaat en niet een neutrino kunnen we afleiden met behulp van het zogenaamde behoud van leptongetal. Alle leptonen hebben een leptongetal van 1 en antileptonen hebben een leptopgetal van -1. De rest van de deeltjes hebben een leptopgetal van 0. Met een antineutrino als vervalproduct is het leptopgetal aan beide kanten van de vergelijking gelijk aan nul en dus behouden.

De laatste groep deeltjes zijn de bosonen. Deze deeltjes zijn verantwoordelijk voor het overdragen van krachten tussen de andere deeltjes. Er bestaan in het universum vier fundamentele krachten. Elektromagnetische krachten worden bijvoorbeeld veroorzaakt door het foton. Het foton zorgt voor zowel de afstotende als de aantrekkende krachten die werken tussen geladen deeltjes. Hieronder is bijvoorbeeld schematisch de afstoting van twee elektronen afgebeeld. We noemen een dergelijke afbeelding een Feynmandiagram. Het diagram wordt afgelezen van links naar rechts. Eerst zien we dat de elektronen naar elkaar toe bewegen, daarna wisselen ze een foton uit en hierdoor bewegen ze weer uit elkaar.

Een ander boson is het gluon. Dit deeltje is verantwoordelijk voor de sterke kernkracht. Dit is de kracht die protonen en neutronen bij elkaar houdt in de kern van atomen. Protonen stoten elkaar normaalgesproken af door de elektrische kracht, maar als ze erg dicht bij elkaar zitten, dan gaat ook de sterkte kernkracht werken en deze kracht is op kleine afstanden sterk genoeg om protonen bij elkaar te houden.

Een ander voorbeeld is het W-boson. Dit deeltje is verantwoordelijk voor de zwakke kernkracht. Als een down-quark een W--boson uitzendt dan verandert het in een up-quark. Als een up-quark een W+-boson uitzendt, dan verandert het in een down-quark. Met het W--boson kunnen we iets nauwkeuriger begrijpen wat er gebeurt als een neutron vervalt in een proton, een elektron en een anti-neutrino. Een down-quark zendt een W--boson uit en verandert in een up-quark, waardoor het neutron een proton wordt. Het W--boson valt dan na korte afstand uiteen in een elektron en een neutrino.

Het W-boson zelf heeft geen massa, maar lijkt toch massa te hebben doordat het interacteert met het zogenaamde Higgs-boson. Dit deeltjes komt in grote hoeveelheden in het universum voor en remt W-bosonen af, hetgeen het deeltje de illusie van massa geeft. Het bestaan van het Higgs-boson was al decennia lang voorspeld door natuurkundigen, maar in de afgelopen jaren is het pas daadwerkelijk gevonden.

         Redeneren met de deeltjes van het standaardmodel en met feynmandiagrammen
  1. Noteer uit welke quarks het proton, het neutron en het antiproton bestaat. Ga daarna met behulp van de quarkladingen na dat deze deeltjes de correcte lading hebben.
  2. Zoek in BINAS de vier soorten pionen op. Noteer uit welke quarks ze bestaan en leg uit welke lading ze hebben.
  3. Leg uit of uu of dd kan bestaan.
  4. Leg uit of uuu en ddd kan bestaan.
  5. Noteer de vervalreactie van een neutron en laat zien dat het leptongetal behouden is.
  6. Noteer de vervalvergelijking van het proton. Check of de reactievergelijking klopt door te kijken of het leptongetal behouden is gebleven.
  7. Als een proton botst met een antineutrino, dan ontstaat een neutron en een positron. Laat zien dat bij deze reactie de lading en het leptopgetal behouden is gebleven.
  8. Een proton kan in een neutron vervallen onder uitzending van een W+-boson.
    1. Leg uit wat er met de quarks in het proton gebeurt bij het uitzenden van het W+-deeltje.
    2. Het W+-boson vervalt verder in o.a. een elektron. Beredeneer welk deeltje er nog meer vrijkomt.
    3. Teken het bijbehorende Feynmandiagram.
  9. Een π0-deeltje in rust kan vervallen in twee fotonen.
    1. Hoe wordt een dergelijke kernreactie genoemd?
    2. Leg uit waarom er bij dit verval altijd minimaal twee fotonen ontstaan en leg uit waarom deze fotonen altijd in tegengestelde richting voortbewegen.
  10. Een proton of neutron is altijd zwaarder dan de totale massa van de individuele quarks waaruit deze deeltjes bestaan. Geef hiervoor twee redenen.