ENERGIE

TRILLINGEN

RADIOACTIVITEIT

ZONNESTELSEL (HAVO)

antwoorden

antwoorden

antwoorden

antwoorden

videolessen

videolessen

videolessen

videolessen

oefentoets

oefentoets

oefentoets

oefentoets

OPTICA (HAVO)

RELATIVITEIT (VWO)

DEELTJESFYSICA (VWO)

...

antwoorden

antwoorden

antwoorden

antwoorden

videolessen

videolessen

videolessen

videolessen

Hoofdstuk 3
Radioactiviteit

§1 Kernverval
§2 Halveringstijd
§3 Activiteit
§4 Stralingsgevaar
§5 E = mc² (VWO)
§6 Medische beeldvorming

§1     Kernverval

In dit hoofdstuk gaan we begrijpen wat radioactiviteit is. Ook gaan we kijken naar de gevaren en bespreken we hoe radioactiviteit kan worden toegepast als energiebron en hoe het in het ziekenhuis wordt gebruikt om het menselijk lichaam in kaart te brengen. We beginnen in de eerste paragraaf met het bestuderen van kernverval.

Atomen bestaan uit allerlei kleine deeltjes. Elk atoom heeft in zijn centrum een atoomkern, bestaande uit positief geladen deeltjes die we protonen (p) noemen en neutraal geladen deeltjes die we neutronen (n) noemen. Om de kern heen bevindt zich een wolk van negatieve deeltjes die we elektronen (e) noemen. Een atoom is altijd neutraal en bevat dus evenveel protonen als elektronen. Als het aantal protonen en elektronen niet gelijk is, dan spreken we niet van een atoom, maar van een ion.

De materie om ons heen bestaat uit 118 soorten atomen. De symbolen behorende bij deze 118 atoomsoorten vinden we in de onderstaande tabel. We noemen dit het periodiek systeem.

Elk atoomsoort wordt gekenmerkt door een vast aantal protonen in de kern. Het aantal protonen in de kern wordt ook wel het atoomnummer genoemd. In het periodiek systeem staat het atoomnummer linksonder elk element genoemd.

Hieronder zien we de eerste 8 atomen uit het periodiek systeem. Waterstof heeft een atoomnummer van 1 en heeft dus 1 proton in de kern. Om hier een neutraal atoom van te maken moet er ook één elektron om de kern bewegen. Helium heeft een atoomnummer van 2 en heeft dus twee protonen in de kern en dus ook twee elektronen om de kern heen. Etc.

Het aantal protonen en neutronen samen noemen we het massagetal. Het massagetal wordt vaak achter de naam van het element genoemd. Fluor-19 heeft dus een massagetal van 19. Omdat fluor volgens het bovenstaande periodiek systeem 9 protonen heeft, moet het dus ook nog 10 neutronen bevatten, zodat het aantal protonen en neutronen samen 9 + 10 = 19 wordt. Waterstof-1 heeft een atoomnummer van 1 en bevat dus slechts 1 proton. Het massagetal van waterstof is ook 1, dus waterstof bevat 0 neutronen (omdat 1 + 0 = 1).

Het massagetal wordt ook geregeld linksboven het symbool van het element genoemd. Het atoomnummer en massagetal schrijven we dan als volgt op:

$$^{\;\;\;\text{ massagetal}}_{\text{atoomnummer}}\text{Element}$$

Het massagetal van een atoomsoort staat niet vast. Zo heb je bijvoorbeeld koolstof-12 en koolstof-14. In het periodiek systeem kunnen we zien dat koolstof altijd 6 protonen in de kern heeft. Om op het juiste massagetal uit te komen moet koolstof-12 nog 6 neutronen in de kern hebben (want 6 + 6 = 12) en moet koolstof-14 nog 8 neutronen in de kern hebben (want 6 + 8 = 14). Atomen met hetzelfde aantal protonen, maar met een verschillend aantal neutronen noemen we isotopen. Koolstof-12 en koolstof-14 zijn dus twee isotopen van koolstof.

$$^{12}_{\;6}C \;\;\;\;\;\; ^{14}_{\;6}C$$

Ook het proton, het neutron en het elektron kunnen we in deze notatie opschrijven. Het proton bestaat uit 1 proton en 0 neutronen, dus het atoomnummer is 1 en het massagetal is ook 1. Het neutron bestaat uit 0 protonen en 1 neutron, dus het atoomnummer is 0 en het massagetal is 1. Het elektron vormt een uitzondering op de regel. Een elektron bevat natuurlijk 0 protonen, maar omdat het een lading van -1 heeft, zeggen we dat het atoomnummer -1 heeft. Het massagetal van een elektron is 0.

$$^1_1p \;\;\;\;\;\;\;\; ^1_0n \;\;\;\;\;\;\;\; ^{\;\;0}_{-1}e$$

We spreken van een kernreactie als de atoomkern een verandering ondergaat. Een voorbeeld van een kernreactie is kernverval. Dit is het spontaan uit elkaar vallen van een atoomkern. Stoffen waarbij dit gebeurt noemen we radioactief. Bij kernverval schiet er vaak een deeltje met behoorlijke snelheid uit het atoom weg. We noemen dit straling. Als een atoom straling uitgezonden heeft, dan zeggen we dat het atoom vervallen is. De oorspronkelijke radioactieve kern noemen we de moederkern en de kern die na de straling overblijft noemen we de dochterkern. In sommige gevallen zijn de dochterkernen zelf ook weer radioactief. Er bestaan ook atoomkernen die geen straling uitzenden. We noemen deze isotopen stabiel.

Het is belangrijk goed onderscheid te maken tussen kernreacties en chemische reacties. Bij een chemische reactie worden elektronen tussen atomen uitgewisseld of gedeeld. De kernen van de atomen blijven bij chemische reacties onaangetast. Bij kernreacties is het juist de kern die verandert.

Er kunnen bij kernreacties drie soorten straling vrijkomen. Welk type straling wordt uitgezonden door welke isotoop kan je vinden in BINAS. De eerste soort wordt alfastraling genoemd. Hierbij breekt een helium-4-kern af van de kern van een atoom. Een helium-4-kern bevat twee protonen en twee neutronen:

$$^4_2He \;\;\;\;\;\;\;\; (\alpha)$$

Hier zien we een voorbeeld van een vervalvergelijking waarbij α-straling vrijkomt. Het gaat hier om het verval van polonium-214:

$$^{214}_{84}\text{Po} \rightarrow ^{210}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}$$

Let op dat de som van de atoomnummers voor de reactie gelijk is aan de som van de atoomnummers na de reactie. Hetzelfde geldt voor de massagetallen. Het behoud van atoomnummer is een gevolg van het behoud van lading. Het behoud van massagetal is het gevolg van het behoud van massa.

De tweede soort straling is bètastraling. Als we spreken van β-straling of β^--straling dan komt er een elektron uit de kern.

$$^{\;\;0}_{-1}e^- \;\;\;\;\;\;\;\; (\beta^- \; \text{of} \;\; \beta)$$

Maar hoe kan er een elektron uit de kern komen? In sommige gevallen kan een neutron vervallen in een proton. Hier komt dan een elektron bij vrij:

$$^{1}_{0}\text{n} \;\rightarrow\; ^{1}_{1}\text{p} \;+\; ^{0}_{-1}\text{e}^-$$

Hieronder zien we een voorbeeld van een vervalvergelijking waar β^--straling bij vrijkomt:

$$^{40}_{19}\text{K} \;\rightarrow\; ^{40}_{20}\text{Ca} \;+\; ^{0}_{-1}\text{e}^-$$

VWO-ers moeten ook weten van het bestaan van β⁺-straling. In dat geval komt er een positron uit de kern. Een positron heeft dezelfde eigenschappen als het elektron, behalve dat het een positieve lading heeft. We noemen dit het antideeltje van het elektron.

$$^0_1e^+ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (\beta^+)$$

Het positron ontstaat als een proton vervalt in een neutron:

$$^{1}_{1}\text{p} \; \rightarrow \; ^{1}_{0}\text{n} \;+\; ^{0}_{1}\text{e}^+$$

Hieronder zien we een voorbeeld van een vervalvergelijking waar β⁺-straling bij vrij komt:

$$^{22}_{11}\text{Na} \;\rightarrow\; ^{22}_{10}\text{Ne} \;+\; ^{0}_{1}\text{e}^+$$

De laatste soort straling is gammastraling (γ-straling). Gammastraling bestaat uit lichtdeeltjes, ook wel fotonen genaamd, met een frequentie buiten het zichtbare spectrum. We schrijven:

$$^0_0\gamma$$

Met de frequentie (f) van een foton kan als volgt de bijbehorende fotonenergie (E_f) berekend worden:

$$ E_f = hf $$ Energie (Ef) joule (J) Constante van Planck (h) 6,62606957 × 10-34 Js Frequentie van foton (f) hertz (Hz)

In het hoofdstuk "Trillingen" zijn we de formule f = v/λ tegengekomen. Deze formule kunnen we ook toepassen op het foton. Als we voor de snelheid de lichtsnelheid (c) invullen, dan kunnen we de bovenstaande formule omschrijven tot:

$$E_f = h\frac{c}{\lambda}$$ Energie (Ef) joule (J) Constante van Planck (h) 6,62606957 × 10-34 Js Lichtsnelheid (c) 2,99792458 × 108 m/s Golflengte van foton (λ) meter (m)

In het onderstaande filmpje zien we een zogenaamd nevelvat. Als een deeltje door dit vat schiet, botst het met de atomen in het vat en als gevolg worden deze atomen geïoniseerd. Om deze ionen vormen dan kleine druppeltjes die een zichtbaar spoor vormen. In dit filmpje kan je zowel de sporen van alfadeeltjes als betadeeltjes zien.

In het onderstaande filmpje is een stukje radioactief uranium in een nevelvat gelegd. De alfastraling die hierbij vrijkomt is duidelijk te zien.

Tot nu toe hebben we het gehad over reacties die spontaan plaatsvinden. We kunnen kernreacties echter ook kunstmatig opwekken. Een voorbeeld is het beschieten van een uraniumatoom met een neutron. Het neutron wordt dan ingevangen door de kern, waarna de kern in een aantal stukken uiteenvalt. We noemen dit ook wel kernsplijting:

$$^{235}_{\;92}\text{U} \;+\; ^1_0\text{n} \;\rightarrow \;^{99}_{42}\text{Mo} \;+\; ^{134}_{\;50}\text{Sn} + 3^1_0\text{n}$$

Zoals je kunt zien komen bij deze reacties weer nieuwe neutronen vrij en deze neutronen kunnen weer tegen andere uraniumatomen botsen. Als gevolg kan een kettingreactie op gang gebracht worden waarbij heel veel energie vrijkomt. Een gecontroleerde versie van zo'n kettingreactie vindt plaats in een kernreactor (en een ongecontroleerde versie bij het ontploffen van een kernbom). De werking van een kernreactor is hieronder aan de linker zijde simpel weergegeven. Het radioactieve materiaal, hier de kernbrandstof genoemd, zorgt ervoor dat een omringend gas wordt opgewarmd (hier in het geel aangegeven). Dit hete gas zorgt er op zijn beurt weer voor dat water aan de kook wordt gebracht. De stoom die hierbij ontstaat wordt gebruikt om een turbine te laten draaien waarmee elektriciteit wordt gegenereerd (dit deel is niet afgebeeld). Door middel van regelstaven, die in en uit de kernbrandstof kan worden geschoven, kan de reactie beperkt of juist versterkt worden. De toren die rechts is afgebeeld wordt gebruikt om het systeem te koelen, zodat het niet oververhit raakt. De nevel die aan de bovenzijde opstijgt bestaat uit water.

(Afbeelding: Emoscopes; CC BY-SA 3.0 / Bjoern Schwarz; CC BY 2.0)

De kans dat een vrijkomend neutron daadwerkelijk een volgende uraniumkern kan doen splijten, hangt van een aantal dingen af. Belangrijk is o.a. de snelheid van de neutronen. Te snelle neutronen zijn maar kort in de buurt van de atoomkernen en hebben daarom een kleinere kans om deze kern te doen splijten. In een kerncentrale wordt dit probleem opgelost met een moderator. Dit is een stof die ervoor zorgt dat neutronen afremmen. De meest voorkomende moderator is water.

Naast kernverval bestaat ook kernfusie. Hier fuseren atoomkernen samen. Ook bij dit proces kan energie vrijkomen. Dit gebeurt bijvoorbeeld in de zon. Hier wordt waterstof gefuseerd tot helium. De energie die hierbij vrij komt zorgt voor het licht dat de zon geeft.

Zorg dat je kan rekenen en redeneren met het atoomnummer en het massagetal

(1p) Alledaagse voorwerpen als stoelen en tafels bestaan uit geladen deeltjes zoals protonen en elektronen. Hoe komt het dat we hier in de praktijk niks van merken? (1p) Een atoom bevat 16 protonen. Om welk soort atoom gaat het hier? (4p) Reken bij de volgende atomen uit hoeveel protonen en hoeveel neutronen er in de atoomkern zitten: Helium-4 Koolstof-14 IJzer-56 Waterstof-1

Zorg dat je kan redeneren over straling en dat je begrijpt hoe een kerncentrale werkt

(1p) Uit welke deeltjes bestaat α-, β- en γ-straling. (1p) Bij β--straling komt een elektron uit de kern van het atoom. Maar in de atoomkern zitten toch alleen protonen en neutronen? Leg uit hoe dit dan toch kan gebeuren. (1p) Een α-deeltje verandert meestal in een heliumatoom. Wat moet er nog gebeuren om van een α-deeltje een heliumatoom te maken? (2p) Wat is het verschil tussen een chemische reactie en een kernreactie? (2p) Beschrijf de werking van een kettingreactie in een kerncentrale. (1p) Beschrijf ook de functie van de moderator in een kerncentrale. (1p) Medische artikelen zoals injectiespuiten mogen na gebruik niet meteen weggegooid worden, omdat ze verontreinigd kunnen zijn met schadelijke bacteriën. Daarom worden ze eerst gesteriliseerd met behulp van gammastraling. Een medewerker van het ziekenhuis is bang dat na de bestraling de bacteriën misschien wel dood zijn, maar dat de artikelen nu straling uitzenden. Leg uit of ze gelijk heeft.

Zorg dat je kernvervalvergelijkingen kan opstellen

(2p) Noteer de vervalvergelijking van francium-221. Zoek hiervoor eerst in BINAS op welk type straling dit isotoop uitzendt. (2p) Een atoom vervalt onder uitzending van een α-deeltje in een radium-224-atoom. Wat was het oorspronkelijke deeltje waaruit dit isotoop van radium ontstaan is? (2p) Noteer de vervalvergelijking van gallium-72. (2p) Noteer de vervalvergelijking van barium-137. (4p, VWO) Noteer de twee mogelijke vervalvergelijkingen van Broom-80. (2p) Noteer de vervalvergelijking van een tin-121-kern. Uranium-233 vervalt o.a. doormiddel van K-vangst. Bij dit proces valt een elektron uit de eerste schil in de atoomkern. (2p) Geef de bijbehorende kernvervalvergelijking. (2p) Bij K-vangst gaat het elektron dat in de kern valt een reactie aan met een proton en samen vormen ze een neutron. Laat zien hoe je dit aan de vervalreactie bij vraag a kan zien. (2p) De stof tritium (H-3) kan worden verkregen door lithium-6 te beschieten met een neutron. Bij deze stof komt naast tritium ook nog een ander deeltje vrij. Schrijf de bijbehorende kernreactievergelijking op. (2p) Als splijtstof in een kernreactor wordt uranium-235 gebruikt. De kern hiervan splijt als er een neutron wordt ingevangen. Bij een bepaalde splijting ontstaan drie nieuwe neutronen en is barium-147 een van de splijtingsproducten. Geef de kernreactievergelijking van deze splijting. De kernfusies die in de zon plaatsvinden, staan bekend onder de naam "proton-proton-chain". Hieronder zien we dit proces afgebeeld. (2p) Bij de eerste reactie ontstaat waterstof-2 en een nog een ander deeltje. Leg uit om welk deeltje het hier gaat. (2p) Bij de laatste reactie ontstaat een heliumkern en nog twee dezelfde andere deeltjes. Leg uit om welke deeltjes het hier gaat. (bron: examen VWO 2013-2) In het volgende linker diagram zijn twee vervalprocessen beschreven: (2p) Leg uit welke twee soorten verval zijn weergegeven in het linker diagram? (3p) Sommige isotopen vervallen niet één keer, maar meerdere keren. Bij deze isotopen blijft na het uitzenden van straling een dochterkern over die zelf ook weer instabiel is en straling uit zal zenden. We noemen deze ketting aan vervalreacties een vervalreeks. Teken in het rechter diagram de vervalreeks van uranium-238. De vervalreeks eindigt op het moment dat een stabiel element ontstaat. Laat Po-214 in deze reeks vervallen door middel van alfaverval en Bi-214 en Bi-210 door middel van bètaverval.

Zorg dat je kan rekenen met de formules voor de fotonenergie

Een stilstaand elektron absorbeert een foton met een golflengte van 500 nm. (3p) Bereken de energie van het foton. (4p) Elk deeltje heeft zijn eigen antideeltje. Het antideeltje van het elektron is bijvoorbeeld het positron. Dit deeltje heeft exact dezelfde eigenschappen als het elektron, maar dan met een positieve lading. Als een elektron tegen een positron botst, dan worden beide deeltjes omgezet in twee dezelfde fotonen. De energie van deze fotonen is te berekenen met: $$ E = mc^2 $$ Bereken de frequentie van deze fotonen.

 

§2     Halveringstijd

In deze paragraaf gaan we bestuderen hoe het aantal radioactieve deeltjes in een bron afneemt in de tijd. We gebruiken hiervoor het begrip halveringstijd. Dit is de tijdsduur waarna de helft van de kernen vervallen is.

In de vorige paragraaf hebben we gezien dat radioactieve atoomkernen naar verloop van tijd straling uitzenden. Als dit gebeurt is, dan zeggen we dat het atoom vervallen is. De tijdsduur waarna de helft van de deeltjes in de bron vervallen is, noemen we de halveringstijd of de halfwaardetijd (t_1/2).

In het onderstaande (N,t)-diagram zien we het aantal radioactieve deeltjes in een bron (N) uitgezet tegen de tijd (t). In dit geval zien we dat het aantal radioactieve kerndeeltjes elke 10 uur halveert. Voor deze bron geldt dus een halveringstijd van 10 uur.

In het onderstaande programma zien we hoe deze grafiek zijn vorm krijgt. Elke keer als je op de knop "+1 halfwaardetijd" klikt, geldt voor elk radioactief deeltje (aangegeven met een zwarte cirkel) dat deze 50% kans heeft om te vervallen (een vervallen deeltje wordt weergegeven als een witte cirkel).

Elke radioactieve isotoop heeft zijn eigen halveringstijd en deze kan variëren van een fractie van een seconde tot miljoenen jaren. Voor een aantal isotopen is de halveringstijd te vinden in BINAS. In deze tabel vinden we bijvoorbeeld dat koolstof-14 een halveringstijd heeft van 5730 jaar. Na 5730 jaar is dus nog maar 50% van de koolstof-14 over. Na 2 × 5730 = 11 460 jaar is nog slechts 25% over en na 3 × 5730 = 17 190 jaar nog 12,5%. Etc.

Het aantal radioactieve deeltjes waaruit een bron bestaat op tijdstip t = 0 noemen we N₀. Het aantal radioactieve deeltjes dat nog over is een tijdstip t later noemen we N_t. Als een stof in deze tijd bijvoorbeeld 3x gehalveerd is, dan geldt:

$$N_t = N_0 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$$

Dit korten we af tot:

$$N_t = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{3}$$

Als we het aantal halveringen "n" noemen, dan kunnen we dit algemener opschrijven als:

$$N_t = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$$ Aantal deeltjes op tijdstip t = 0 (N0) - Aantal deeltjes op tijdstip t (Nt) - Aantal halveringen (n) -

VWO

Als we het aantal halveringstijden (n) willen uitrekenen, dan kan dat met de onderstaande formule. Op de website leiden we deze formule af. In het onderstaande extra stukje leiden we deze formule af. $$\frac{\log{(N_t/N_0)}}{ \log{(1/2) }} = n$$ Aantal radioactieve deeltjes op tijdstip t = 0 (N0) - Aantal radioactieve deeltjes op tijdstip t (Nt) seconde (s) Aantal halveringen (n) -

VWO-stof

Als we het aantal halveringstijden n willen uitrekenen, dan kan dat met de onderstaande formule. In het extra deel hieronder leiden we deze formule af. $$\frac{\log{(N_t/N_0)}}{ \log{(1/2) }} = n$$

Extra

Als we de tijd of de halveringstijd willen uitrekenen, dan moeten we gebruik maken van het logaritme. Eerst nemen we aan beide kanten de logaritme: $$ \log{\frac{N_t}{N_0}} = \log{\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{t_{1/2}}}} $$ De macht kan nu uit de logaritme gehaald worden: $$ \log{\frac{N_t}{N_0}} = \frac{t}{t_{1/2}} \times \log{\left( \frac{1}{2} \right)} $$ Als we dit omschrijven, dan vinden we: $$ \frac{\log{(N_t/N_0)}}{ \log{(1/2) }} = \frac{t}{t_{1/2}} $$

De formule wordt ook vaak herschreven tot:

$$\frac{N_t}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$$

De linkerkant van de vergelijking geeft nu de fractie van het aantal deeltjes dat nog over is op tijdstip t. Als we de fractie met 100 vermenigvuldigen, dan vinden we het percentage. Als bijvoorbeeld geldt dat N_t/N₀ = 0,09, dan weten we dus dat nog 9% van de kernen over is.

Het aantal halveringen (n) kunnen we ook uitrekenen door de tijd t te delen door de halveringstijd:

$$n = \frac{t}{t_{1/2}}$$ Tijdstip (t) seconde (s) Halveringstijd (t1/2) seconde (s) Aantal halveringen (n) -

Doordat in deze formule twee tijden door elkaar worden gedeeld, ben je niet gebonden aan de seconde. Je kan beide tijden dus ook best in bijvoorbeeld dagen of jaren invullen.

De halveringstijd van stoffen kan o.a. gebruikt worden voor radiometrische datering. Dit is een techniek die gebruikt wordt om uit te vinden hoe oud voorwerpen zijn. Het bekendste voorbeeld hiervan is C14-datering. Koolstof-14 komt in vergelijking met andere koolstofisotopen in elk levend organisme in een vaste verhouding voor. Als een organisme echter sterft, komt er geen nieuwe koolstof-14 binnen, maar neemt de overgebleven koolstof-14 wel af door kernverval. Door te kijken hoeveel koolstof-14 er nog over is, kunnen we met de halveringstijd uitrekenen hoe lang geleden het organisme gestorven is. Stel dat in een oud houten beeldje slechts 6,25% van de C-14 deeltjes is overgebleven. Het aantal halveringen vind je op de HAVO door 100% telkens met 1/2 te vermenigvuldigen:

$$ 100\% \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 6,25 \% $$

De 6,25% wordt dus behaald na 4 halveringen. In het VWO is het aantal halveringen (n) niet altijd een heel getal. In dat geval gebruiken we de volgende formule om het aantal halveringen uit te rekenen:

$$\frac{\log{(N_t/N_0)}}{ \log{(1/2) }} = n$$

Zoals we hierboven gelezen hebben, staat N_t/N₀ voor de fractie van het aantal deeltjes dat is overgebleven (in dit geval is dat 6,25% / 100 = 0,0625). Als we dit invullen, dan vinden we:

$$\frac{\log{(0,0625)}}{ \log{(1/2) }} = 4 $$

Met de halveringstijd van C-14 (t_1/2 = 5730 j), vinden we dan hoe oud het beeldje moet zijn:

$$t = t_{1/2} \times n $$

In dit geval blijkt het deeltje uit de Oude Steentijd te komen!

$$t = 5730 \times 4 = 22,9 \times 10^3 \text{ jaar}$$

Ten slotte leren we in het onderstaande voorbeeld hoe we met de massa van een stof kunnen uitrekenen uit hoeveel deeltjes deze stof bestaat. Dit gaan we in dit hoofdstuk nog veelvuldig nodig hebben.

Voorbeeld

Vraag: Bereken het aantal kernen in 12 μg Uranium-238 Antwoord: We zoeken eerst in BINAS de atoommassa van U-238 op: $$m = 238,05 \text{ u}$$ De u is hier de zogenaamde atomaire massa-eenheid. In BINAS kan je ook vinden dat geldt: $$1 \text{ u} = 1,6605 \times 10^{-27} \text{ kg}$$ Voor één U-238-kern vinden we dan: $$238,05 \times 1,6605 \times 10^{-27} = 3,9528 \times 10^{-25} \text{ kg}$$ Als we nu het aantal deeltjes willen weten in 12 μg Uranium-238, dan delen we deze massa door de massa van één kern. We vinden: $$\frac{12 \times 10^{-9}}{3,9528 \times 10^{-25}} = 3,0 \times 10^{16} \text{ kernen}$$ We hebben hier gebruikt dat: $$12 \;\mu\text{g} = 12 \times 10^{-6} \text{ g} = 12 \times 10^{-9} \text{ kg}$$

Zorg dat je de halveringstijd kan bepalen met een (N,t)-diagram en dat je kan rekenen met Nt = N0(1/2)n

Hieronder zien we een diagram waarin het verval van technetium-100 wordt weergegeven. (2p) Bepaal de halveringstijd van technetium-100 met behulp van het diagram. (3p) Stel dat je 2000 deeltjes technetium-100 hebt. Bepaal hoeveel deeltjes je nog over hebt na 1,0 minuut. (VWO, 4p) Stel dat je 1,0 kg technetium-100 hebt. Bepaal hoeveel nanogram je na 10 minuten nog over hebt. (2p) In het volgende diagram wordt het verval van een radioactieve stof beschreven. Maak het ontbrekende deel van de grafiek af. Het isotoop nikkel-63 vervalt door bètaverval in koper-63. Een persoon heeft 1,60 gram nikkel-63. (3p) Bereken hoe lang duurt het voordat de persoon nog slechts 0,0500 gram over heeft. (4p) Bereken hoeveel deeltjes er in deze tijd vervallen zijn. Het isotoop kalium-42 vervalt door bètaverval in calcium-42. Een persoon heeft een radioactieve bron met 2,4 microgram van dit isotoop. (HAVO, 3p) Bereken hoe lang het duurt voordat de persoon nog slechts 0,15 microgram over heeft. (VWO, 3p) Bereken hoe lang het duurt voordat de persoon nog 0,024 microgram over heeft. (6p) Teken een (N,t)-diagram van het verval van de kalium-42 bron. Bereken hiervoor eerst het aantal deeltjes kalium-42 in de bron. (2p) Leg uit in welke vorm de formule voor de halveringstijd geschreven moeten worden als je wil berekenen hoeveel procent van radioactief materiaal na een bepaalde tijd nog over is. (4p) Een stukje tin bevat een kleine hoeveelheid tin-121. Deze isotoop vervalt onder uitzending van een bètadeeltje. Bereken hoeveel procent van het oorspronkelijke tin-121 er nog over is na 5 dagen. (4p) Er worden restanten gevonden van een boom van 40.000 jaar oud. De koolstof-14 die ooit aanwezig was is voor een groot deel verdwenen. Hoeveel procent van de oorspronkelijke koolstof-14 zit er nu nog in de boom? (HAVO, 4p) Een mummie wordt gevonden in een houten sarcofaag. De leeftijd van het hout wordt gevonden met behulp van koolstofdatering met behulp van het isotoop C-14. Uit een chemische analyse blijkt dat in de loop van de jaren 35% van C-14 vervallen is. Laat zien dat de mummie 3,6 × 103 jaar oud is. (VWO, 5p) Een mummie wordt gevonden in een houten sarcofaag. De leeftijd van het hout wordt gevonden met behulp van koolstofdatering met behulp van het isotoop C-14. Uit een chemische analyse blijkt dat in de loop van de jaren 35% van C-14 vervallen is. Bereken hoeveel jaar voor Christus de mummie begraven is. (HAVO, 4p) Een kerncentrale produceert een bepaalde hoeveelheid radioactief afval. De belangrijkste radioactieve stof in het afval is kobalt-60. Bereken hoe lang het duurt totdat slechts 1/256ste deel van de radioactieve stof over is. (VWO, 4p) Een kerncentrale produceert een bepaalde hoeveelheid radioactief afval. De belangrijkste radioactieve stof in het afval is kobalt-60. Bereken hoe lang het duurt totdat slechts 1/250ste deel van de radioactieve stof over is.

 

§3     Activiteit

De activiteit is een maat voor de hoeveelheid kernen die per tijdseenheid vervalt. In deze paragraaf gaan we leren hoe we de activiteit van een radioactieve bron kunnen bepalen met behulp van een geigerteller.

Het aantal deeltjes dat per tijdseenheid vervalt noemen we de activiteit (A). De SI-eenheid van de activiteit is de becquerel (Bq). Becquerel staat voor het aantal deeltjes dat per seconde vervalt. We kunnen de activiteit berekenen met de volgende formule:

$$A_t = -\frac{\Delta N}{\Delta t}$$ Activiteit op tijdstip t (At) becquerel (Bq) Aantal vervallen deeltjes (ΔN) - Tijdsduur (Δt) seconde (s)

De activiteit op een bepaald tijdstip kunnen we bepalen door een raaklijn te tekenen in een (N,t)-diagram. Dit is hieronder gedaan. Omdat de raaklijn naar beneden loopt vinden we een negatieve waarde. Door de extra min in de formule wordt de activiteit toch positief.

De activiteit neemt gedurende de tijd af volgens de volgende formule:

$$A_t = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$$ Activiteit op tijdstip t = 0 (A0) becquerel (Bq) Activiteit op tijdstip t (At) becquerel (Bq) Aantal halveringen (n) -

Ook bij deze formule hoort een grafiek (zie de onderstaande afbeelding). Het oppervlak onder een (A,t)-grafiek is gelijk aan het aantal vervallen deeltjes (ΔN).

We kunnen we activiteit van een bron bepalen met een geigerteller (zie de onderstaande afbeelding). Dit apparaat bestaat uit een buis met daarin een gas. Als straling het gas binnenkomt, dan worden een aantal atomen van het gas geïoniseerd. De vrijgemaakte elektronen zorgen dan voor een kleine stroom en deze stroom zorgt in een luidspreker voor een hoorbaar piepje. Hoe meer piepjes je hoort, hoe meer straling er in de buurt is.

(Afbeelding: ... / Svjo-2; CC BY-SA 2.0)

Zelfs als je een geigerteller niet bij een bron houdt, zal je af en toe een piepje horen. Dit komt doordat radioactieve stoffen in kleine hoeveelheden voorkomen in veel voorwerpen om ons heen. We noemen dit de achtergrondstraling. Als we metingen verrichten met een geigerteller, dan is het noodzakelijk eerst de gemiddelde achtergrondstraling te meten. Als je metingen doet aan een bron, dan moet je deze achtergrondstraling van de meting afhalen, zodat je alleen de bron meet.

Voorbeeld (VWO)

Opdracht: Met een geigerteller kan de activiteit van een radioactieve bron bepaald worden. Nog voordat de bron geplaatst wordt, meet de teller al 15 deeltjes per minuut aan achtergrondstraling. De bron wordt op een afstand van 10 cm van de geigerteller geplaatst in een vacuümruimte. Het meetoppervlak van de teller is cirkelvormig en heeft een straal van 2,0 cm. Met de bron erbij meet de teller 35 deeltjes per minuut. Bereken de activiteit van de bron. Antwoord: Ten eerste halen we de achtergrondstraling af van de straling die in de teller terecht kwam. We houden dan nog 35 – 15 = 20 deeltjes per minuut over. Als we dit delen door 60, dan vinden we het aantal deeltjes dat per seconde aankomt bij de teller: $$\frac{20}{60} = 0,333 \text{ Bq}$$ Dan berekenen we het meetoppervlak van de geigerteller: $$ O_{geiger} = 4\pi r^2 = 4\pi \times 0,02^2 = 0,005027 \text{ cm}^2 $$ Het oppervlak van de teller is maar een klein deel van het totale oppervlak dat door de bron bestraald wordt op een afstand van 10 cm. Dit oppervlak is gelijk aan: $$ O_{tot} = 4\pi r^2 = 4\pi \times 0,10^2 = 0,12566 \text{ cm}^2 $$ Als we vinden hoeveel het meetoppervlak van de teller past in dit totale oppervlak, dan kunnen we de activiteit van de bron berekenen: $$ A = \frac{0,12566}{0,005027}\times 0,333 = 8,3 \text{ Bq} $$

VWO-stof

We kunnen de activiteit op een tijdstip t ook uitrekenen met het aantal radioactieve deeltjes N op datzelfde tijdstip. Hiervoor gebruiken we deze formule: $$A_t = \frac{ln(2)}{t_{1/2}} N_t$$ Activiteit op tijdstip t (At) becquerel (Bq) Halveringstijd (t1/2) seconde (s) Aantal deeltjes op tijdstip t (Nt) -   Belangrijk is dat bij deze formule de tijd altijd in seconde gegeven moet worden.

Zorg dat je de activiteit kan bepalen met een raaklijn en berekenen met behulp van formules

(1p) Wat verstaan we onder de activiteit van een radioactieve bron? (1p) Wat gebeurt er met de activiteit van een bron als je een halveringstijd wacht. Licht je antwoord toe. (3p) Een radioactieve bron heeft een activiteit van 4,5 × 103 Bq. Bereken hoeveel atoomkernen vervallen in 10 minuten. Ga er van uit dat de halveringstijd veel groter is dan 10 minuten. (2p) In een radioactieve bron vervallen in 1,0 minuut gemiddeld 3000 kernen. Bereken de gemiddelde activiteit van deze bron. Hieronder zien we het (N,t)-diagram van het verval van technetium-100: (3p) Bepaal de activiteit op tijdstip t = 0 s met behulp van een raaklijn. (VWO, 3p) Bepaal de activiteit op tijdstip t = 0 s met behulp van de formule A = N ln(2)/t1/2. Laat zien dat je op hetzelfde antwoord uitkomt. (3p) Bepaal de activiteit op tijdstip t = 30 s met behulp van een raaklijn. (3p) Bepaal de activiteit op tijdstip t = 30 s met behulp van At= A0(1/2)n. Gebruik hiervoor het antwoord van vraag a of b. In het onderstaande figuur is het proces van kernsplijting weergegeven dat zich in een kerncentrale afspeelt. (3p) Welke atoomkern of welk deeltje is ontstaan bij de (1), de (2) en de (3) in de afbeelding? (1p) Bij een moderne kerncentrale vervult het koelwater onder meer de functie van moderator. Leg uit wat een moderator doet. (2p) Aan de moderator wordt soms ook boorzuur toegevoegd. Dit heeft als gevolg dat een deel van de neutronen door boor-10-kernen ingevangen wordt. Bij deze reactie ontstaat tritium (H-3) en helium. Noteer de bijbehorende kernvervalvergelijking. (6p) Tritium is zelf ook weer radioactief. Op t = 0 zitten er 1,8 × 1022 deeltjes tritium in de moderator. Teken een (N,t)-diagram en bepaal hiermee de activiteit op tijdstip t = 0 s. (VWO, 3p) Vind nogmaals de activiteit, maar nu met een berekening. (bron: examen VWO 2015-2) Voor een onderzoek naar β--straling, heeft een leerling een radioactieve bron met P-32 laten maken. Hierbij is 1,0 gram P-32 gebruikt. Ten tijde van het onderzoek heeft de bron nog een activiteit van 2,5 × 1012 Bq. (VWO, 8p) Bereken de tijd tussen het maken van de bron en het onderzoek. (HAVO, 2p) Bereken hoeveel deeltjes er aan het begin in de radioactieve bron zitten. (HAVO, 4p) Ten tijde van het maken van de bron heeft de stof een activiteit van 1,6 × 1014 Bq. Bereken de tijd tussen het maken van de bron en het onderzoek. (bron: examen VWO 2014-1) Nucleaire batterijen zijn spanningsbronnen die β--straling gebruiken om elektrische energie op te wekken. Door hun zeer kleine afmetingen zijn ze bijzonder geschikt voor microprocessoren in computers en in pacemakers. De β--straling komt uit een radioactieve bron die bestaat uit een plaatje met nikkel-63. (2p) Geef de vervalvergelijking van nikkel-63. (3p) Het principe van een nucleaire batterij wordt toegelicht met behulp van de onderstaande afbeelding. Een aantal β--deeltjes uit het plaatje met nikkel-63 treft een koperplaatje en wordt daar geabsorbeerd. Het koperplaatje is bevestigd aan een isolerend trilplaatje dat goed kan buigen. Aan het isolerend trilplaatje is ook een piëzo-elektrisch element bevestigd. Dit element geeft bij vervorming een elektrische spanning af. Leg uit dat het trilplaatje gaat trillen. (HAVO, 2p) Op een gegeven moment zitten er 2,27 × 1020 deeltjes nikkel-63 in het plaatje. Bereken de massa van de nikkel-63 in het plaatje, uitgedrukt in kg. (VWO, 4p) De activiteit van het nikkel-63 in het plaatje is op een gegeven moment 5,0 × 1010 Bq. Bereken de massa van het nikkel-63 in het plaatje, uitgedrukt in kg. (3p) Bij het verval van een nikkel-63-kern komt per vervalreactie 62 keV aan kernenergie vrij. Het rendement van de omzetting van kernenergie naar elektrische energie is bij dit proces 4,0%. Bereken het elektrisch vermogen van de batterij op dat moment. (VWO, 4p) Een nucleaire batterij wordt gebruikt in een pacemaker. De pacemaker kan gebruikt worden zolang het vermogen van de nucleaire batterij meer dan 90% is van het vermogen bij de productie. Bereken hoe lang na de productie de nucleaire batterij vervangen moet worden. Ga er van uit dat het rendement bij het teruglopen van het vermogen gelijk blijft. (bron: examen VWO 2010-1) In Petten staat een kerncentrale waar isotopen voor medische toepassingen worden geproduceerd. Eén van de belangrijkste producten is molybdeen-99 (Mo-99). Mo-99 wordt naar ziekenhuizen getransporteerd. Ondertussen vervalt een deel tot technetium-99m, dat gebruikt wordt voor medische behandelingen. Iedere keer als men Tc-99m nodig heeft voor een behandeling, wordt dit afgescheiden van het molybdeen. In ziekenhuizen wordt wekelijks een nieuwe voorraad Mo-99 aangevoerd. (4p) Bereken hoeveel procent van de oorspronkelijke hoeveelheid Mo-99 er na een week vervallen is. (4p) Tc-99m is metastabiel. Dit betekent dat de protonen en neutronen in de kern van een Tc-99m atoom zich kunnen herschikken tot een toestand met een lagere energie. Bij het verval van Tc-99m naar Tc-99 komt een foton vrij.  Door deze fotonen is Tc-99m geschikt als tracer. Een tracer is een radioactieve stof die in het lichaam gebruikt kan worden om bijvoorbeeld de locatie van tumoren te achterhalen. Een voorwaarde voor een radioactieve tracer is dat de totale activiteit voor de patiënt zo laag mogelijk blijft. Een arts kan voor een behandeling kiezen uit tracers met verschillende halveringstijden (zie de onderstaande afbeelding). Voor Tc-99m geldt een halveringstijd van 6,0 uur. Voor een bepaalde diagnose is 3,0 uur na het toedienen van de radioactieve tracer een activiteit nodig van minimaal 2,0 × 107 Bq. Bepaal met behulp van de afbeelding of Tc-99m aan deze eis voldoet. (2p) Leg met behulp van de afbeelding uit waarom er meer tracer toegediend moet worden bij stoffen met halveringstijden van 60 uur en 0,6 uur om tot dezelfde activiteit te komen 3,0 uur na het toedienen. (bron: examen HAVO 2017-1) (VWO) Een isotoop van lood wordt gebruikt in de nucleaire geneeskunde, onder andere bij de diagnose van problemen aan het hart. Dit isotoop vervalt in thallium en thallium vervalt op zijn beurt weer verder onder uitzending van γ-straling. In de onderstaande afbeelding wordt het verval van lood en thallium uitgezet als functie van de tijd. (1p) In het diagram is te zien dat de hoeveelheid thallium even constant blijft op het tijdstip dat het aantal thalliumdeeltjes maximaal is. De activiteit van het thallium is hier ook maximaal. Leg uit hoe het dan toch mogelijk is dat het aantal deeltjes even constant blijft. (4p) Bepaal met behulp van het diagram de grootte van de activiteit van het thalliumisotoop op dat tijdstip. (bron: examen VWO 2008-1)

 

§4     Stralingsgevaar

In deze paragraaf bestuderen we de gevaren van straling voor de mens.

Als radioactieve straling met genoeg kinetische energie een atoomkern verlaat, dan kan het andere atomen ioniseren (dit betekent dat er elektronen uit deze atomen getrokken worden). De mate waarin straling in staat is andere atomen te ioniseren noemen we het ioniserend vermogen. Ioniserende straling kan schadelijk zijn voor de gezondheid. Het kan bijvoorbeeld het DNA beschadigen en dit kan het begin zijn van een tumor. Het is dus belangrijk dat we in omgang met radioactieve bronnen goede voorzorgsmaatregelen treffen.

Er zijn twee manieren waarop je schade kan ondervinden van straling. De eerste is bestraling. Bij bestraling bevindt de radioactieve bron zich buiten het lichaam en ondervindt het lichaam schade door de straling die uit deze bron schiet. Als deze deeltjes echter hun impact gemaakt hebben, dan zijn ze verder onschadelijk. Als je dus van de bron wegloopt, dan neemt de schade niet toe. De straling zelf is immers niet radioactief. Bij besmetting komt de radioactieve bron in het lichaam terecht. Het is dus niet mogelijk om van deze bron weg te lopen. Besmetting is daarom over het algemeen gevaarlijker dan bestraling.

De schadelijke gevolgen van straling zijn afhankelijk van de energie van de straling en de massa van het lichaamsdeel dat de straling ontvangt. In formuletaal schrijven we dit als volgt op:

$$D = \frac{E_{straling}}{m}$$ Stralingsdosis (D) gray (Gy) De totale stralingsenergie (Estraling) joule (J) Massa (m) kilogram (kg)

De totale stralingsenergie die het lichaamsdeel ontvangt is gelijk aan de energie van één deeltje maal de hoeveelheid vervallen deeltjes:

$$E_{straling} = \Delta N \times E_{deeltje}$$ De totale stralingsenergie (Estraling) joule (J) Aantal vervallen deeltjes (ΔN) - Energie per deeltjes (Edeeltje) joule (J)

De stralingsenergie per deeltje is voor veel isotopen te vinden in BINAS. Er wordt hier de eenheid elektronvolt (eV) gebruikt. Er geldt:

$$1 \text{ eV} = 1,6 \times 10^{-19} \text{ J}$$

Ook wordt vaak mega-elektronvolt (MeV) gebruikt. Hier geldt:

$$1 \text{ MeV} = 10^6 \times 1,6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1,6 \times 10^{-13} \text{ J}$$

Ook het type straling heeft invloed op het ioniserend vermogen. Door de relatieve grote massa en lading van alfastraling is het grofweg 20x schadelijker dan bèta- of gammastraling. We corrigeren voor dit effect door de stralingsdosis te vermenigvuldigen met de zogenaamde stralingsweegfactor (w_R). Deze factor is gelijk aan 1 voor gamma- en bètastraling en gelijk aan 20 voor alfastraling. Het resultaat noemen we de equivalente dosis (H), gemeten in sievert (Sv):

$$H = w_R D$$ Equivalente dosis (H) sievert (Sv) Stralingsweegfactor (wR) - Stralingsdosis (D) gray (Gy)

Voor de veiligheid zijn er stralingsbeschermingsnormen opgesteld. Dit is de maximale effectieve dosis in millisievert per jaar die is toegestaan. Deze normen zijn te vinden in BINAS.

Mensen die werken met radioactieve stoffen dragen vaak een badge. Een badge maakt gebruik van het verschil in doordringend vermogen van de verschillende typen straling. Hoe hoger het doordringend vermogen, hoe gemakkelijker de straling door materialen heendringt. De daadwerkelijke afstand die straling aflegt als het een stof binnendringt, noemen we de dracht. Alfastraling heeft een klein doordringend vermogen en dus ook de kleine dracht. Zelfs door lucht kan alfastraling slechts enkele centimeters voortbewegen. Bètastraling heeft een groter doordringend vermogen en dat van gammastraling is het grootst. In de onderstaande linker afbeelding zien we een doorsnede van de badge. Het linker deel van de badge laat alle soorten straling door. Het middelste deel laat bèta- en gammastraling door en het rechter deel alleen gammastraling. De straling die doorgelaten wordt komt tegen een film aan die verkleurt door straling. Door de verkleuring op de drie plekken te vergelijken, kan je voor elk type straling achterhalen aan hoeveel straling de badge (en dus de persoon) heeft blootgestaan.

In het onderstaande filmpje wordt het verschillend doordringend vermogen van alfa-, beta-, en gammastraling gedemonstreerd:

Het doordringend vermogen van alfa- en bèta-straling is ook afhankelijk van de beginsnelheid waarmee deze deeltjes een materiaal inschieten. In het bovenstaande diagram is voor alfadeeltjes met twee verschillende beginsnelheden weergegeven hoever ze doordringen in water. Op de horizontale as staat de afgelegde weg van de deeltjes. Op de verticale as staat de hoeveelheid energie die elk deeltje per eenheid van afgelegde weg heeft afgegeven door botsing met de deeltjes in het materiaal. Merk op dat beide deeltjes aan het begin weinig energie afgeven. Aan het begin bewegen de deeltjes namelijk het snelst, waardoor ze maar kort in de buurt blijven van de deeltjes in het materiaal, wat de kans op botsing verlaagd. Dit effect zien we ook aan de hoogte waarmee de grafiek start. Deeltje II moet een grotere beginsnelheid hebben gehad, omdat het deeltje verder doordringd in het water, maar start wel met een lagere uitgave van energie. Dit komt door de grotere beginsnelheid.

Zorg dat je kan redeneren met de begrippen uit de paragraaf

(1p) Wat wordt er bedoeld met het ioniserend vermogen van straling. (2p) Wat is het verschil tussen besmetting en bestraling. (2p) Schrijf op hoe je elektronvolt (eV) en mega-elektronvolt (MeV) kan omrekenen naar joule (J). In het bovenstaande diagram in de theorie is voor alfadeeltjes met twee verschillende beginsnelheden weergegeven hoever ze doordringen in water. (2p) Beide grafieken gaan in eerste instantie omhoog. Leg uit waarom de deeltjes meer energie afgeven als ze verder in het materiaal doorgedrongen zijn. (2p) Noem twee manieren waaraan je kan zien dat deeltje II met een grotere energie het water in is geschoten.

Zorg dat je kan rekenen met D = E/m en H = wD en de stralingsbeschermingsnormen uit BINAS

(2p) Zoek in BINAS de stralingsbeschermingsnorm op voor een persoon werkende met radioactief materiaal en voor een individueel lid van de bevolking. In welke eenheid staat de norm gegeven? (5p) Een werknemer heeft in een jaar 600 uur in een opslaghal gewerkt waar met radioactief materiaal wordt gewerkt. Daarbij heeft zijn gehele lichaam een gemiddelde dosis van 7,5 × 10-7 Gy per uur aan alfastraling ontvangen. Ga na of voor deze werknemer de stralingsbeschermingsnorm is overschreden. (6p) Een persoon met een massa van 85 kg werkt in een kerncentrale waarin zijn hele lichaam is blootgesteld aan straling afkomstig van U-235. Hoeveel deeltjes mag deze werknemer per jaar ontvangen voordat de stralingsnormen overschreden worden. In sommige granaten is uranium verwerkt. Als een granaat op het slagveld ontploft, zal het aanwezige uranium verpulveren of verdampen en in de lucht terecht komen. Een soldaat ademt een stofdeeltje in dat U-236 bevat. Dit stofdeeltje nestelt zich in een longblaasje. (2p) Leg uit dat de activiteit van het U-236 tijdens een mensenleven nauwelijks afneemt. (5p) Een stofdeeltje dat door de soldaat wordt ingeademd heeft een activiteit van 2,2 × 10-6 Bq. Bij het verval van één uraniumkern komt een energie van 6,7 × 10-13 J vrij. Deze vrijkomende energie wordt in 0,18 μg omringend weefsel geabsorbeerd. Bereken de equivalente dosis die het bestraalde weefsel in een jaar ontvangt. Ga ervan uit dat U-236 een alfastraler is. (bron: examen VWO 2003-2) (VWO, 4p) Een persoon wordt in het ziekenhuis behandeld met een iridiumpreparaat. De behandeling met een bepaalde bron duurt 3,5 uur. De activiteit van het iridium-192 daalt in de loop van de tijd. Met hetzelfde iridiumpreparaat wordt de behandeling precies vier weken later herhaald. Men wil dan dezelfde stralingsdosis toedienen aan hetzelfde stukje weefsel. Bereken hoe lang de behandeling dan moet duren. (5p) Per splijting van een uranium-235-kern in een kerncentrale komt gemiddeld een hoeveelheid energie vrij van 190 MeV. Deze energie wordt met een rendement van 35% omgezet in elektrische energie. In één jaar vinden 2,93 × 1027 splijtingen in de kerncentrale plaats. Bereken het gemiddeld elektrisch vermogen in gigawatt dat de kerncentrale levert in dat jaar. Cassie, een acht jaar oude hond met een tumor in een bot, is onlangs als eerste hond ter wereld succesvol behandeld met samarium-153. (2p) Samarium-153 komt niet in de vrije natuur voor. Het wordt gemaakt door samarium-152-kernen te beschieten met een bepaald soort deeltjes. Leg uit met welk deeltje een samarium-152-kern beschoten moet worden om samarium-153 te vormen. (2p) Samarium-153 zendt zowel β--straling als γ-straling uit. Het kan daarom zowel voor een behandeling tegen tumoren gebruikt worden als voor een scan. Geef de vervalreactie van samarium-153. (1p) Samarium hecht zich beter aan geïnfecteerd botweefsel dan aan gezond botweefsel. Daarom kan er tijdens de behandeling ook een scan gemaakt worden van de hond waarin zieke botdelen als lichte vlekken te zien zijn (zie de onderstaande foto). Leg uit of men β--straling of γ-straling gebruikt bij het maken van de foto. Van welke eigenschap van die straling wordt dan gebruikgemaakt? (2p) Het medicijn, met productiedatum 3 juni 9.00 uur, wordt aangeleverd in een flesje met een inhoud van 15 mL. De activiteit van het geleverde samarium-153 is hieronder weergegeven: Bepaal met behulp van dit figuur de halveringstijd van samarium-153. (4p) Cassie is op 4 juni om 9.00 uur 's ochtends ingespoten met het medicijn. Volgens de arts moet er 37 MBq per kg lichaamsgewicht geïnjecteerd worden. Cassie heeft een massa van 30 kg. Bepaal hoeveel milliliter van het medicijn ingespoten moet worden. (bron: examen HAVO 2015-1) (VWO) Radon is een radioactief edelgas dat uit de bodem en uit bouwmaterialen kan ontsnappen en terecht kan komen in kelders en kruipruimtes die slecht geventileerd worden. De meest voorkomende isotoop van radon is radon-222. Radioactieve isotopen met atoomnummers tussen 82 en 90 komen in de natuur voor omdat ze voortdurend aangemaakt worden. Er bestaan in de natuur twee zogenoemde "radioactieve reeksen". De ene reeks begint bij thorium-232, de andere bij uraan-238. (3p) Beredeneer of radon-222 ontstaat uit thorium-232 of uit uraan-238. Beschouw daartoe het aantal nucleonen van de kernen. (2p) In de volgende afbeelding zijn het verval van radon-222 en de daarop volgende vervalstappen weergegeven. Bij elke isotoop is de halfwaardetijd gegeven. De vier grijze isotopen worden radondochters genoemd. Zij hebben een betrekkelijk kleine halveringstijd. De radondochters hechten zich aan microscopische stofdeeltjes en blijven in de lucht zweven. Ook als er per seconde steeds dezelfde hoeveelheid radon ontsnapt, gaat het ophopen van radon in een gesloten kelderruimte niet eindeloos door. Als er niet geventileerd wordt, bereikt de activiteit van het radon op een gegeven moment een constante waarde. Leg uit waarom dit het geval is. (2p) Leg uit dat elk van de radondochters ook dezelfde constante activiteit krijgt als radon-222. (6p) Een persoon die een tijdje in zo'n kelderruimte verblijft, ademt lucht in met de daarin aanwezige isotopen. Stel dat een persoon tijdens zijn verblijf in de kelderruimte 1,0 m3 lucht inademt. De persoon ademt het radon weer uit omdat het een edelgas is. De microscopische stofdeeltjes met de radondochters blijven echter achter in de longen. Bij het verval hiervan worden de longen bestraald. In de onderstaande tabel staat het aantal kernen in 1,0 m3 lucht van elk van de radondochters in de kelderruimte: Po-218 Pb-214 Bi-214 Po-214 2,6 × 104 2,3 × 105 1,7 × 105 ≈ 0 Bereken de stralingsdosis die de longen ontvangen ten gevolge van alfastraling. Neem voor de longen een totale massa van 2,5 kg. (bron: examen VWO 2011-2)

 

§5     E = mc²

In deze paragraaf gaan we begrijpen hoe radioactieve stoffen als een bron van energie kunnen dienen. We bestuderen hiervoor de beroemde formule E = mc².

In deze paragraaf gaan we begrijpen waar de energie vandaan komt die bij vervalreacties ontstaat. We bestuderen hiervoor de volgende kernreactie:

$$ ^{32}_{15}P \;\;\;\rightarrow \;\;\; ^{0}_{-1}e + ^{32}_{16}S $$

Als we de massa's van de kerndeeltjes voor en na de reactie vergelijken, dan blijkt er massa verdwenen te zijn. De massa’s van verschillende isotopen zijn te vinden in BINAS. Deze massa’s zijn echter niet de massa’s van de atoomkern, maar van het gehele atoom. Om de massa van de kern te vinden moeten we hier de massa’s van de elektronen nog vanaf halen. Ook de massa van het elektron kunnen we in BINAS vinden (m_e = 0,00054858 u). In het geval van de bovenstaande vervalvergelijking vinden we de volgende massa's:

$$ m_{P-32} = 31,97362 \text{ u} - 15 \times 0,00054858 \text{ u} = 31,96539 \text{ u} $$ $$ m_{e} = 0,00054858 \text{ u} $$ $$ m_{S-32} = 31,97207 \text{ u} - 16 \times 0,00054858 \text{ u} = 31,96329 \text{ u} $$

Als we nu de totale massa voor de reactie vergelijken met de massa na de reactie, dan vinden we:

$$ \Delta m = m_{eind} - m_{begin}$$ $$ \Delta m = m_e + m_{S-32} - m_{P-32} $$ $$ \Delta m = 0,00054858 + 31,96329 - 31,96539 = -0,00155 \text{ u} $$

Nu rekenen we de massa om naar kilogram (1 u = 1,6605389 × 10²⁷ kg):

$$ \Delta m = 0,00155 \times 1,6605389 \times 10^{-27} = 2,57 \times 10^{-30} \text{ kg} $$

We kunnen hieruit concluderen dat er inderdaad massa verdwenen is tijdens de kernvervalreactie. We noemen de verdwenen massa het massadefect. Deze massa is omgezet in energie volgens de bekende formule van Einstein:

$$ E = mc^2 $$ Energie (E) joule (J) Massa (m) kilogram (kg) Lichtsnelheid (c) 2,99792458 × 108 m/s

Voor het bovenstaande voorbeeld vinden we:

$$ E = 2,57 \times 10^{-30} \times (2,997925 \times 10^8)^2 = 2,31 \times 10^{-13}\text{ J} $$

Als we deze energie omschrijven van joule naar MeV, dan vinden we:

$$ E = \frac{2,31 \times 10^{-13}}{10^6 \times 1,602177 \times 10^{-19}} = 1,44 \text{ MeV} $$

Dit komt redelijk overeen met de waarde 1,72 MeV die we in BINAS vinden bij P-32. We zien hier dus dat bijna alle energie die ontstaat bij het verval gaat zitten in de kinetische energie van het uitgestraalde elektron. De rest van de energie zorgt voor een kleine snelheid van het overgebleven zwaveldeeltje.

Een ander voorbeeld waarbij massa wordt omgezet in energie is als een elektron en een positron botsen. Beide deeltjes worden dan geheel omgezet in energie. We noemen dit annihilatie. De energie komt in dit geval vrij in  de vorm van twee fotonen:

$$ e^- + e^+ \;\;\;\rightarrow\;\;\; \gamma + \gamma $$

De frequentie van deze fotonen kan worden berekend met de formule uit de eerste paragraaf:

 

$$ E_{f} = hf $$

Zorg dat je kan rekenen met massadefect

Een uranium-235-kern vervalt door middel van alfaverval. (2p) Laat met behulp van een kernvervalvergelijking zien welke kern bij deze reactie ontstaat. (4p) Bereken hoeveel energie er bij het verval vrijkomt. (2p) Bereken de snelheid waarmee het alfadeeltje uit de kern schiet. Ga ervan uit dat alle kinetische energie is meegegeven aan het alfadeeltje. Bereken de frequentie van de fotonen die vrijkomen bij de annihilatie van een proton en een elektron. Je mag aannemen dat bij deze reactie twee dezelfde fotonen vrijkomen. Je mag aannemen dat het elektron en het positron tijdens de annihilatie zo goed als stil stonden. Bij kalium-40 isotopen kan K-vangst plaatsvinden. Dit is een kernreactie waarbij een elektron uit de binnenste schil de kern in valt en hier een reactie aangaat met een proton. Laat met behulp van een kernvervalvergelijking zien welk kern bij deze reactie ontstaat. Bij K-vangst ontstaat een hoeveelheid energie. Deze energie verlaat de kern in de vorm van een foton. Bereken de golflengte van het foton dat hierbij vrijkomt.

 

§6     Medische beeldvorming

Radioactieve stoffen worden o.a. gebruikt in ziekenhuizen bij het maken van scans van de binnenkant van het menselijk lichaam. Denk bijvoorbeeld aan de PET-scan. In deze paragraaf bespreken we ook een aantal andere typen scans, waaronder de MRI-scan, de röntgenscan en de echo.

Radioactieve stoffen worden veel gebruikt in het ziekenhuis om goede diagnoses te kunnen maken. Een bekende techniek is scintigrafie. Bij deze techniek wordt er een radioactieve stof, genaamd een tracer, in het lichaam gespoten. Deze stof hoopt zich op bepaalde plekken in het lichaam op en zendt hier gammastraling uit. Een deel van deze straling zal het lichaam verlaten, waar het in een detector terecht komt. Met behulp van deze straling kan dan een foto van de binnenkant van het lichaam gemaakt worden.

VWO-STOF

Een bekend voorbeeld hiervan is de PET-scan. De tracer bij een PET-scan zendt positronen uit. Als een positron tegen een elektron in het lichaam botst, dan worden beide deeltjes omgezet in twee fotonen die in tegengestelde richting wegschieten. We noemen deze reactie annihilatie: $$e^- + e^+ \;\;\;\rightarrow\;\;\; \gamma + \gamma$$ Een deel van deze fotonen zal het lichaam verlaten en worden gedetecteerd door een cirkelvormige detector, zoals in de volgende afbeelding is weergegeven. Door het verschil in tijd te meten tussen de aankomst van beide fotonen, kan met de formule Δx = cΔt de positie van de annihilatie bepaald worden. In de onderstaande afbeelding zien we PET-scans van de hersenen. Er is in dit geval als tracer radioactief glucose gebruikt. Hersendelen die meer actief zijn nemen meer glucose op en als gevolg lichten deze delen meer op in de PET-scan. Op deze manier kunnen we dus een idee krijgen van hersenactiviteit. Dezelfde methode kan ook gebruikt worden bij het opsporen van tumoren. Tumoren gebruiken namelijk relatief veel glucose en lichten daarom duidelijk op in de scan. Een ander bekend voorbeeld is het gebruik van een jood-tracer voor het onderzoek naar de schildklier. De schildklier neemt relatief veel jood op en als gevolg maakt dit de schildklier goed zichtbaar met een PET-scan. (Afbeelding: Phelps & Mazziotta, UCLA) Een ander type scan die vaak gebruikt wordt om het lichaam in kaart te brengen is de MRI-scan. Bij het maken van een MRI-scan wordt een persoon in een magneetveld gelegd. Als gevolg gaan veel atomen in het lichaam in de richting van dit veld wijzen (zie de onderstaande linker afbeelding). Daarna wordt het lichaam bestraald met fotonen. De frequentie van deze fotonen wordt zo gekozen dat ze precies genoeg energie hebben om waterstofatomen in een hogere energietoestand te brengen. De waterstofatomen komen hierbij tegen de richting van het magneetveld in te liggen (zie de tweede afbeelding). We noemen de frequentie waarbij dit gebeurt de resonantiefrequentie. De grootte van deze frequentie hangt af van de sterkte van het magneetveld. Na een korte tijd zal het waterstofatoom weer terugvallen naar zijn grondtoestand en hierbij wordt hetzelfde foton weer uitgezonden (zie de derde afbeelding). Een deel van deze fotonen wordt buiten het lichaam gedetecteerd en hiermee wordt de foto gemaakt. Waterstof atomen komen o.a. voor in water. Hoe meer water dus in een deel van het lichaam zit, hoe meer fotonen hier dus vandaan zullen komen. Met behulp van verschillen in de waterstofdichtheid kan het lichaam hiermee nauwkeurig in kaart worden gebracht (zie de onderstaande afbeelding). (Afbeelding: Zutroy81; PD) Voor het maken van goede scans kan ook gebruik worden gemaakt van het verschil in relaxatietijd van de waterstofkernen in verschillende soorten weefsel. Hier wordt verwezen naar de tijd die het een waterstofkern kost om terug te vallen naar zijn grondtoestand. Ook dit kan zorgen voor extra contrast, waardoor het menselijk lichaam duidelijker zichtbaar wordt. Om een goede MRI-scan te maken willen we alleen fotonen ontvangen afkomstig van een tweedimensionale “slice” van het menselijk lichaam. Dit wordt gedaan door de sterkte van het magneetveld te variëren langs het menselijk lichaam. Als gevolg krijgt elk deel van het menselijk lichaam ook zijn eigen resonantiefrequentie. Waterstofatomen zullen nu alleen aangeslagen worden op de plek waar de frequentie van de gebruikte fotonen (fMRI) gelijk is aan de resonantiefrequentie van het magneetveld (fr). In het onderstaande diagram zien we dat fMRI bij de rode grafiek gelijk is aan fr op een positie ter hoogte van de maag van het lichaam. Bij de oranje grafiek is het magneetveld versterkt, waardoor fMRI nu gelijk is aan fr op een andere positie (in dit geval ter hoogte van de ogen).

Bij echoscopie wordt gebruik gemaakt van geluidsgolven. Hieronder zien we bijvoorbeeld een echo van een foetus. Deze foto is gemaakt door korte ultrasone geluidspulsen de buik van een zwangere vrouw in te sturen. Een deel van deze geluidsgolven reflecteert op het moment dat een golf overgaat naar een materiaal met een andere geluidssnelheid. Doordat de golven vaak door meerdere lagen weefsel trekken, krijg je ook meerdere pulsen terug. Door te meten hoe lang het duurt voordat de verschillende pulsen terugkomen, kan een beeld gemaakt worden van de foetus.

Voor het maken van een echo kan geen geluid gebruikt worden dat met het menselijk oor hoorbaar is. Hoorbaar geluid heeft namelijk een golflengte die veel groter is dan de details die we met een echo willen zien. Als gevolg buigen deze golven om deze details heen en kan er geen scherp beeld gemaakt worden. In plaats daarvan gebruiken we geluid met een frequentie hoger dan we met het oor kunnen waarnemen. We noemen dit ultrasoon geluid. Neem bijvoorbeeld een geluidsgolf van 5,0 MHz. Bij een temperatuur van ongeveer 40 graden Celsius is de geluidsnelheid in water gelijk aan 1,5 × 10³ m/s. De bijbehorende golflengte is dan:

$$\lambda = \frac{v}{f}$$ $$\lambda = \frac{1,5 \times 10^3}{5,0 \times 10^6} = 0,30 \text{ mm}$$

Met deze frequentie kunnen we dus details waarnemen tot ongeveer 0,30 mm groot. Dit levert het "pixel-achtige" beeld op dat in de bovenstaande afbeelding te zien is.

Een andere methode om het menselijk lichaam in kaart te brengen is de röntgenscan (zie de onderstaande linker afbeelding). Hierbij wordt röntgenstraling het lichaam in geschenen. Een deel van deze straling zal worden geabsorbeerd en de rest zal worden doorgelaten. Hoeveel er wordt geabsorbeerd hangt af van het soort stof waar de straling doorheen gaat en van de dikte van deze stof. Door de doorgelaten straling te detecteren, kan een röntgenfoto worden gemaakt. Doordat spierweefsel bijvoorbeeld meer röntgenstraling doorlaat dan bot, kunnen we de botten in het menselijk lichaam hiermee duidelijk in kaart brengen. Naast de tweedimensionale röntgenscans staat tegenwoordig ook driedimensionale versies. Dit worden CT-scans genoemd (zie de rechter afbeelding).

(Afbeelding: OpenStax; CC BY 4.0 / Michael Tsokos; GNU Free Documentation License, version 1.2)

Hoeveel straling er wordt doorgelaten bij het maken van een röntgenfoto hangt af van de halveringsdikte van verschillende materialen. De halveringsdikte staat voor de afstand die straling kan afleggen door een materiaal totdat de helft van de straling geabsorbeerd is. De intensiteit van de straling neemt dus elke halveringsdikte met 50% af. In formuletaal wordt dit:

$$I_d = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \;\;\;\;\; \text{met:} \;\; n = \frac{d}{d_{1/2}} $$ Intensiteit op positie x = 0 (I0) watt per vierkante meter (W/m2) Intensiteit op positie x = d (Id) watt per vierkante meter (W/m2) Dikte (d) meter (m) Halveringsdikte (d1/2) meter (m) Aantal halveringen (n) -

De halveringsdikte hangt niet alleen af van het soort stof, maar ook van de energie van de straling. Een aantal halveringsdiktes zijn te vinden in BINAS voor verschillende hoeveelheden energie. Let erop dat de halveringsdikte hier wordt gemeten in centimeter.

De eenheid van de intensiteit is joule per seconde per vierkante meter. Het vertelt ons hoeveel joule er per seconde op een vierkante meter valt.

VWO-STOF

Als een bron straling uitzendt in alle richtingen, dan neemt de intensiteit van deze straling af met de afstand volgende zogenaamde kwadratenwet: $$I = \frac{P_{bron}}{4\pi r^2}$$ Intensiteit op positie x = 0 m (I0) watt per vierkante meter (W/m2) Vermogen van de bron (Pbron) watt (W) Afstand vanaf de bron (r) meter (m)   In de onderstaande afbeelding is goed te zien waarom de intensiteit van een divergerende bron afneemt met afstand. Hoe verder de straling komt, over hoe groter oppervlak de straling verdeeld wordt. (Afbeelding: Borb; CC BY-SA 3.0)

Zorg dat je kan rekenen met de halveringsdikte (en met de kwadratenwet voor VWO)

(1p) Zoek de halveringsdikte van water op als het wordt beschenen met röntgenstraling met een energie van 0,1 MeV. Noteer ook in welke eenheid de halveringsdikte wordt gegeven. (3p) In een nachtclub worden laserstralen zichtbaar gemaakt met behulp van een rookmachine. De rook heeft een gemiddelde halveringsdikte van 8,0 meter. Bereken hoeveel procent van de lichtintensiteit geabsorbeerd wordt als de laserstraal door 30 meter rook schijnt. Thalliumscintigrafie is een techniek die gebruikt wordt om de doorbloeding van de hartspier te onderzoeken. In het onderzoek wordt thallium-201 gebruikt. In een folder over thalliumscintigrafie staat: "Na afloop van het onderzoek blijft de radioactieve stof nog enige tijd in uw lichaam, waardoor u een minimale hoeveelheid straling uitzendt. Om personen in uw omgeving niet onnodig aan straling bloot te stellen, is het belangrijk dat u op de dag van het onderzoek een armlengte afstand tot andere mensen bewaart". (4p) In de bovenstaande afbeelding geeft H het hart aan. De fotonen die bij het verval van thallium-201 vrijkomen hebben een energie van 0,10 MeV. Toon met een berekening aan dat de absorptie van deze γ-straling tussen de punten A en B in de lucht verwaarloosbaar is. (VWO, 3p) De stralingsintensiteit neemt wel substantieel af dankzij de kwadratenwet. Bereken met welke factor de stralingsintensiteit in punt B is afgenomen in vergelijking met punt A. (bron: examen VWO 2016-2) (3p) Hieronder zien we een schematische afbeelding van het zijaanzicht van de planeet Saturnus met zijn ringen. Zoals je kunt zien bevinden de ringen zich gezien vanaf de aarde op dit moment onder een hoek van 30 graden. Als de ringen van Saturnus voor een ster langs trekken, constateert een waarnemer op aarde dat de straling verzwakt wordt tot 12,5% van de oorspronkelijke hoeveelheid. De halveringsdikte van Saturnus is d1/2= 59 m. Bereken de dikte d van de ringen die hieruit volgt. (bron: examen VWO 2012-pilot) (VWO) In een behandelkamer waarin röntgenstraling wordt gebruikt, is het de bedoeling dat zo weinig mogelijk van deze straling doordringt tot buiten de kamer. De kamer is daarom voorzien van betonnen wanden van 1,5 m dikte. Als een evenwijdige bundel röntgenstraling op deze wand valt, dan is de straling aan de andere kant van de wand met een factor 1,0 × 104 afgenomen. (4p) Bereken de halveringsdikte van het beton voor deze straling. (4p) Uit de röntgenbron komt echter geen evenwijdige, maar een divergerende bundel (zie de onderstaande afbeelding). De bron staat op 3,0 m afstand van de muur. Bereken de verhouding van de stralingssterkte voor en achter de muur zoals deze gemeten wordt door detectoren op plaats A en B (zie de afbeelding). Houd hier rekening met de absorptie van het beton en met de afname van de intensiteit van de straling door het divergeren van de bundel. (bron: examen VWO 1992-2) (VWO, 6p) Bij een patiënt worden de botten in zijn benen onderzocht. Hierbij gebruikt men calcium, omdat dit door het lichaam getransporteerd wordt naar de botten. De patiënt krijgt een hoeveelheid van de instabiele isotoop calcium-47 toegediend. Deze isotoop zendt gammastraling uit dat buiten het lichaam gedetecteerd kan worden. De arts kan zo zien of er met de botten iets bijzonders aan de hand is. De benen van de patiënt worden onder een apparaat gelegd dat de gammastraling meet. Als deze gammastraling van het bot naar de detector beweegt, moet het ook door een stuk weefsel en een stuk lucht heen. Ook hier wordt straling geabsorbeerd. Hiervoor moet worden gecorrigeerd met een correctiefactor. Op een bepaald punt in het bot moet de straling eerst door 4,5 cm spierweefsel en dan nog door 10 cm lucht. De absorptie in spierweefsel is gelijk aan die in water. Ga uit van een gamma-foton met een energie van 1,0 MeV. Bereken de grootte van de correctiefactor voor deze detector. (bron: examen VWO 2016-1)

Toepassen van kennis over de PET-scan

(VWO, 3p) Bij onderzoek naar de ziekte van Alzheimer wordt de PET-scan gebruikt. Daarbij spuit men bij de patiënt een speciale stof in die het C-11-isotoop bevat. Deze stof bindt aan plaatsen in de hersenen waar de ziekte van Alzheimer zit. Het C-11-isotoop vervalt onder uitzending van een positron. Het positron dat ontstaat remt in het hersenweefsel af tot (bijna) stilstand, en annihileert dan met een elektron. Daarbij ontstaan twee gamma-fotonen met dezelfde frequentie die in tegengestelde richting worden uitgezonden. Als twee gammafotonen binnen een tijdsverschil Δt de ringvormige detector bereiken, neemt men aan dat ze afkomstig zijn van dezelfde annihilatie. Een computer verwerkt de gegevens daarna tot een plaatje. Een patiënt heeft hersenen met een diameter van 20 cm. Bereken het maximale tijdverschil Δt dat gemeten zal worden. (bron: examen VWO 2016 voorbeeldopgaven)

BINAS:
5	Elektronvolt
7	Massa van proton, neutron en elektron
7	Atomaire massa-eenheid (u)
25	Isotopen (halveringstijd, type straling en stralingsenergie per deeltje)
27D2	Stralingsnormen
28F	Halveringsdiktes
29	Beknopte beschrijving methoden medische beeldvorming