Hoofdstuk 2
Beweging
§1 Snelheid §2 Gemiddelde snelheid §3 Grafieken §4 Het (x,t)-diagram §5 Het (v,t)-diagram
§1 Snelheid
In deze paragraaf gaan we leren de snelheid te berekenen. We gaan dit doen in zowel m/s als km/h.
Als een voorwerp met een constante snelheid beweegt, dan kunnen deze snelheid uitrekenen met de volgende formule:
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
|
De x staat voor de positie van een voorwerp. Het Δ-teken staat voor "de toename van". Δx staat dus voor de toename van de positie tijdens de beweging. We noemen dit ook wel de verplaatsing. Δt staat voor de toename van de tijd tijdens de beweging. We noemen dit ook wel de tijdsduur.
Stel dat een voorwerp 4 meter verplaatst in 8 seconden. We berekenen dan als volgt de snelheid:
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{4}{8} = 0,5 \text{ m/s} $$De SI-eenheid van de snelheid is meter per seconde, maar in het dagelijks leven wordt ook vaak kilometer per uur gebruikt. Het is belangrijk dat je deze eenheden in elkaar om kan schrijven. Stel we willen 80 km/h omrekenen naar m/s. We rekenen dan eerst kilometer per uur om naar meter per uur:
$$ 80 \text{ km/h} = 80 000 \text{ m/h} $$Dan rekenen we meter per uur om naar meter per seconde:
$$ \frac{80 000 \text{ m/h}}{60 \times 60} = 22 \text{ m/s} $$Stel we willen 22 m/s omrekenen naar km/h. We rekenen dan eerst meter per seconde om naar meter per uur:
$$ 22 \text{ m/s} \times 60 \times 60 = 80 000 \text{ m/h} $$Daarna rekenen we om naar kilometer per uur:
$$ 80 000 \text{ m/h} = 80 \text{ km/h} $$We kunnen bij het omschrijven ook gebruik maken van de volgende regel:
| $$ \text{km/h} \;\; / \;\; 3,6 \;\; \rightarrow \;\; \text{m/s} $$ $$ \text{m/s} \;\; \times \;\; 3,6 \;\; \rightarrow \;\; \text{km/h} $$ |
Stappenplan: Rekenen met snelheid
|
|
Vraag: Een leerling is aan het hardlopen. Zijn doel is om binnen drie minuten 1,0 kilometer te rennen. De leerling rent 3,0 minuten lang met een snelheid van 18 km/h. Bereken of de leerling zijn doel bereikt heeft. Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en reken ze zoveel mogelijk om in dezelfde eenheden. In dit voorbeeld kiezen we voor meter en seconde: $$ \Delta t = 3,0 \text{ min} = 3,0 \times 60 = 180 \text{ s} $$ $$ v = 18 \text{ km/h} = 18/3,6 = 5,0 \text{ m/s} $$Stap 2: Schrijf de formule op en geef aan welke gegevens je weet en welk gegeven je wilt weten:
Stap 3: Schrijf de formule nu om in de juiste vorm. In dit geval willen de verplaatsing berekenen: $$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = v \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \Delta x = v \times \Delta t $$Stap 4: Vul de formule in: $$ \Delta x = v \times \Delta t $$ $$ \Delta x = 5,0 \times 180 = 900 \text{ m} $$Stap 5: Schrijf de conclusie op. Leg uit hoe je aan deze conclusie komt. Denk ook aan de eenheid achter het antwoord: 900 m is minder dan 1,0 kilometer, dus de leerling heeft zijn doel niet bereikt.
|
INSTRUCTIE:
Rekenen met snelheid
|
Zorg dat je verschillende eenheden voor de snelheid in elkaar kan omschrijven
|
|
|
Zorg dat je kan rekenen met de formule v = Δx/Δt
|
|
§2 Gemiddelde snelheid
In deze paragraaf gaan we leren rekenen met de gemiddelde snelheid. We introduceren twee formules waarmee we dit kunnen doen.
Als de snelheid van een voorwerp niet constant is, dan vinden we met de formule uit de vorige paragraaf de gemiddelde snelheid:
$$v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
|
Als een voorwerp geleidelijk versnelt of vertraagt, dan spreken we van een eenparige versnelling. In dit geval kunnen we de gemiddelde snelheid ook als volgt uitrekenen:
$$v_{gem} = \frac{v_{b}+v_{e}}{2} \;\;\;\; \text{(eenparige versnelling)} $$
|
Stel dat een auto bijvoorbeeld eenparig versnelt van 10 m/s naar 30 m/s, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan:
$$ v_{gem} = \frac{v_b+v_e}{2} = \frac{10+30}{2} = 20 \text{ m/s} $$Let erop dat je als volgt haakjes gebruikt in je rekenmachine:
$$ (10 + 30 )/2 = 20 \;\;\;\;\;\;\; \text{ rekenmachine} $$|
Voorbeeld
|
|
Opdracht: Een auto versnelt gedurende 10 seconden van 20 naar 30 m/s. De versnelling is eenparig. Bereken hoeveel meter de auto heeft afgelegd. Antwoord: Eerst berekenen we de gemiddelde snelheid: $$v_{gem} = \frac{v_{\text{begin}}+v_{\text{eind}}}{2} $$ $$v_{gem} = \frac{20 + 30}{2} = 25 \text{ m/s}$$Met de gemiddelde snelheid kunnen we de afstand uitrekenen. Hiervoor schrijven we eerst de formule in de juist vorm: $$ v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \;\;\rightarrow \;\; \Delta x = v_{gem} \times \Delta t $$Nu vullen we de formule in: $$\Delta x = v_{gem} \times \Delta t $$ $$\Delta x = 25 \times 10 = 250 \text{ m}$$De auto heeft tijdens de versnelling dus 250 m afgelegd.
|
INSTRUCTIE:
Gemiddelde snelheid
|
Zorg dat je kan rekenen met de formules vgem = Δx/Δt en vgem = (vb+v2)/2
|
|
§3 Grafieken
In de volgende paragrafen gaan we beweging beschrijven met behulp van grafieken. Om dit goed te kunnen doen, gaan we eerst leren hoe je in de natuurkunde met behulp van meetwaarden een grafiek maakt.
Een goede manier om metingen weer te geven is met behulp van tabellen en grafieken. Hieronder zien we bijvoorbeeld een tabel met daarin de valtijd van een voorwerp bij verschillende hoogten. Belangrijk is om bij elke kolom de grootheid te schrijven en daarachter tussen haakjes de eenheid.
|
Hoogte (m) |
Tijd (s) |
|
0 |
0 |
|
5 |
1,0 |
|
10 |
1,4 |
|
15 |
1,7 |
|
20 |
2,0 |
|
25 |
2,3 |
|
30 |
2,1 |
|
35 |
2,7 |
|
40 |
2,9 |
Van deze tabel maken we de volgende grafiek:
Er zijn een aantal belangrijke regels voor het maken van een dergelijke grafiek:
- Schrijf altijd de grootheden en tussen haakjes de eenheden bij de assen.
- Verdeel de assen in gelijke stapjes. Maak de stapjes niet te ingewikkeld. Neem dus bijvoorbeeld niet 0, 13, 26, 39, 52, 65 enzovoorts. Dit is lastig aflezen.
- Zet alle meetpunten zo precies mogelijk in het diagram.
- Trek dan een vloeiende lijn die zo goed mogelijk door de meetpunten loopt. We noemen dit ook wel de trendlijn. Merk op dat deze lijn niet recht hoeft te lopen. Het komt regelmatig voor dat een aantal punten niet op de vloeiende lijn ligt. Dit komt doordat zo goed als alle metingen in zekere mate onnauwkeurig zijn. Hoe verder het punt van de lijn af ligt, hoe groter de meetfout. In het bovenstaande voorbeeld zien we bijvoorbeeld een meetfout bij een hoogte van 30 meter.
- Als je de grafiek afleest, dan is het belangrijk niet naar de meetpunten te kijken, maar naar de trendlijn. De individuele meetpunten kunnen immers meetfouten bevatten.
INSTRUCTIE:
Grafieken tekenen
|
Zorg dat je grafieken en tabellen kan tekenen op basis van meetwaarden
| ||||||||||||||||||||||||
|
§4 Het (x,t)-diagram
Behalve met formules, kunnen we beweging ook beschrijven met grafieken. In deze paragraaf gaan we kijken naar de zogenaamde (x,t)-diagrammen.
Een (x,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de positie (x). Hieronder zijn een aantal bewegingen beschreven met behulp van dit type diagram. Links zien we een grafiek die horizontaal loopt. De positie x verandert hier niet in de tijd. Het voorwerp staat hier dus stil. In de tweede afbeelding zien we een voorwerp dat zich geleidelijk verplaatst. Elke seconde wordt er evenveel meter afgelegd. We spreken hier van een constante snelheid of van een eenparige beweging.
In de onderstaande linker afbeelding zien we een grafiek die steeds steiler gaat lopen. We zien dat in de eerste drie seconden slechts 0,5 meter wordt afgelegd en dat in de laatste drie seconden wel 4,5 m wordt afgelegd. Hoe steiler de lijn dus loopt, hoe sneller het voorwerp verplaatst. We hebben hier dus te maken met een versnelling. Rechts zien we een grafiek die steeds minder steil gaat lopen. Hier hebben we dus te maken met een vertraging.
|
Voorbeeld
|
|
Opdracht: In het onderstaande (x,t)-diagram is de beweging van een stuiterbal weergegeven. Beschrijf deze beweging in detail.
Antwoord: In de eerste seconde loopt de grafiek steeds steiler. We hebben hier dus te maken met een versnelling. De stuiterbal gaat hier ook naar beneden. Op tijdstip t = 1,0 s komt de bal tegen de grond aan en gaat daarna omhoog. In de tweede seconde loopt de grafiek steeds minder steil. Hier hebben we dus te maken met een vertraging. De stuiterbal gaat hier ook omhoog. Op tijdstip t = 2,0 s loopt de grafiek een moment horizontaal. Hier staat de stuiterbal dus een moment stil. In de derde seconde hebben we net als in de eerste seconde te maken met een versnelling naar beneden.
|
Met behulp van een (x,t)-diagram kunnen we ook de snelheid uitrekenen. In het onderstaande diagram is de verplaatsing Δx gelijk aan 4,0 meter. De tijdsduur Δt van de beweging is 6,0 seconden. De snelheid is dus gelijk aan:
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}$$
INSTRUCTIE:
(x,t)-diagram
|
Zorg dat je bewegingen in een (x,t)-diagram kan tekenen en beschrijven
|
|
|
Zorg dat je de snelheid kan bepalen met behulp van een (x,t)-diagram
|
|
|
Zorg dat je kan redeneren met stroboscopische foto's
|
|
§5 Het (v,t)-diagram
In deze paragraaf bespreken we de zogenaamde (v,t)-diagrammen. Ook hiermee kunnen we beweging beschrijven.
Een (v,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de snelheid (v). Hieronder zijn een aantal voorbeelden afgebeeld. Links zien we een grafiek waarbij de snelheid van een voorwerp de gehele beweging gelijk is aan 0 m/s. Het voorwerp staat in dit geval dus stil. In de tweede afbeelding zien we een voorwerp waarbij de snelheid de gehele tijd 2,0 m/s blijft. Hier hebben we dus te maken met een constante snelheid.
Linksonder zien we een diagram waarbij de snelheid van een voorwerp toeneemt. Er is hier dus sprake van een versnelling. Rechts neemt de snelheid juist af. Hier hebben we dus te maken met een vertraging. Let erop dat een vertraging niet betekent dat het voorwerp achteruit gaat. In dit geval gaat het voorwerp vooruit, maar steeds langzamer!
INSTRUCTIE:
(v,t)-diagram
|
Zorg dat je bewegingen in een (v,t)-diagram kan tekenen en beschrijven
|
|
|
Beweging in een (v,t)-diagram schetsen
|
|
