MAGNETISME

ASTROFYSICA

KWANTUM

...

antwoorden

antwoorden

antwoorden

antwoorden

videolessen

videolessen

videolessen

videolessen

oefentoets

oefentoets

oefentoets

oefentoets

Hoofdstuk 2
Astrofysica

§1 Spectraalanalyse
§2 De planckkromme
§3 Dopplereffect
§4 Het HR-diagram
§5 Draadloze communicatie (geen examenstof)

§1     Spectraalanalyse

In dit hoofdstuk gaan we eigenschappen van sterren bestuderen. Dit doen we door het licht afkomstig van deze sterren te analyseren. In deze eerste paragraaf gaan we hiermee achterhalen uit welke stoffen sterren bestaan.

Als we licht van een gloeilamp door een prisma schijnen, dan krijgen we een volledige “regenboog” aan kleuren te zien. We noemen dit een continu spectrum (zie de onderstaande afbeelding).

Naast het zichtbare deel van het spectrum, is er ook straling die we met onze ogen niet kunnen zien. Links van het paarse deel van het spectrum bevindt zich bijvoorbeeld ultravioletstraling, röntgenstraling en gammastraling. Rechts van het rode deel van het spectrum hebben we infraroodstraling, microgolfstraling en radiostraling. Zoals je in de onderstaande afbeelding kan zien, is het zichtbare deel van het spectrum maar een klein deel van het gehele spectrum.

Licht bestaat uit kleine deeltjes die we fotonen noemen. Het verschil tussen verschillende kleuren licht zit hem in de frequentie (f) van de fotonen. Elk foton met een bepaalde frequentie heeft ook zijn eigen fotonenergie (E_f). Deze energie kan als volgt berekend worden:

$$E_f = hf$$ Energie (Ef) joule (J) Constante van Planck (h) 6,62606957 × 10-34 Js Frequentie van foton (f) hertz (Hz)

In het hoofdstuk trillingen hebben we gezien dat f = v/λ. Deze formule kunnen we ook toepassen op het foton. Als we voor de snelheid de lichtsnelheid (c) invullen, dan vinden we:

$$E_f = h\frac{c}{\lambda}$$ Energie (Ef) joule (J) Constante van Planck (h) 6,62606957 × 10-34 Js Lichtsnelheid (c) 2,99792458 × 108 m/s Golflengte van foton (λ) meter (m)

Als we licht van een gloeilamp op waterstof schijnen, dan zal het meeste licht hier dwars doorheen schijnen. Alleen licht met specifieke frequenties zal worden geabsorbeerd. Als gevolg worden er in het spectrum van het licht een aantal zwarte lijnen zichtbaar (zie de onderstaande afbeelding). We noemen dit absorptielijnen en het bijbehorende spectrum noemen we een absorptiespectrum.

Het geabsorbeerde licht wordt later in willekeurige richting weer uitgezonden. Het spectrum van dit licht is hieronder afgebeeld. We noemen dit een emissiespectrum.  Zoals verwacht vinden we in dit spectrum alleen de frequenties licht die eerder geabsorbeerd waren.

In het onderstaande filmpje wordt met een zogenaamde tralie het emissiespectrum van een aantal stoffen bekeken. De stoffen worden opgelicht door er een stroom doorheen te laten lopen (op deze manier werkt bijvoorbeeld ook neonverlichting). In een later hoofdstuk gaan we de werking van een tralie begrijpen.

Elke stof heeft zijn eigen unieke patroon van spectraallijnen. Als gevolg kunnen we aan de hand van het spectrum achterhalen door welke stoffen het licht geschenen is. Deze techniek wordt bijvoorbeeld gebruikt om te achterhalen uit welke stof de zon bestaat. In de kern van de zon wordt met behulp van kernfusie een continu spectrum aan licht geproduceerd. Als dit licht zich echter door de zon naar buiten werkt, worden een aantal frequenties geabsorbeerd. Hierdoor ontstaan spectraallijnen in het zonnespectrum. We noemen deze lijnen de Fraunhoferlijnen. Hieronder zien we de meest prominente absorptielijnen in het visuele gedeelte van het spectrum van de zon.

In het onderstaande filmpje kan je de Fraunhoferlijnen zelf zien. Zoals je ziet, zijn de lijnen zijn niet zo duidelijk zichtbaar als in de bovenstaande tekening is weergegeven.

Voorbeeld

Vraag: Door een blauwe LED-lamp loopt een stroom van 50 mA. Sommige elektronen die door de LED stromen zorgen voor het uitzenden van een blauw foton met een golflengte van 470 nm. Het totale vermogen van het uitgezonden licht is 0,075 W. Bereken hoeveel procent van de elektronen een blauw foton heeft uitgezonden. Antwoord: Ten eerste kunnen we het aantal elektronen uitrekenen dat door de draad stroomt. In BINAS vinden we dat de lading van een elektron gelijk is aan e = 1,602 × 10-19 C. Daarnaast betekent een stroomsterkte van 0,050 A dat er 0,050 coulomb per seconde door de LED stroomt. Het totaal aantal elektronen dat per seconde door de LED stroomt, is hiermee gelijk aan: $$\frac{0,050}{1,602 \times 10^{-19}} = 3,12 \times10^{17} \text{ elektronen per seconde}$$ We kunnen ook uitrekenen hoeveel fotonen er per seconde vrijkomen. Hiervoor berekenen we eerst de energie van één blauw foton: $$E_f = h\frac{c}{\lambda}$$ $$E_f = 6,63\times 10^{-34}\times \frac{ 3,00\times 10^8}{470\times 10^{-9}}=4,23\times 10^{-19} \text{ J}$$ Een vermogen van 0,075 W vertelt ons dat er 0,075 joule per seconde aan licht vrijkomt. Hiermee kunnen we het aantal fotonen per seconde uitrekenen: $$\frac{0,075}{4,23\times 10^{-19}} = 1,8 \times 10^{17} \text{ fotonen per seconde}$$ Nu kunnen we uitrekenen hoeveel procent van de elektronen een blauw foton uitzendt: $$\frac{1,8 \times 10^{17}}{3,12 \times10^{17}} = 0,57 = 57 \text{ %}$$

Zorg dat je kan rekenen met de lichtsnelheid

(4p) Bereken hoeveel minuten het duurt, voordat zonlicht de aarde bereikt. (4p) Bij een ruimtereis naar de maan is een reflector geplaatst op het maanoppervlak. Door een laser vanaf de aarde naar deze reflector te schieten, kan de afstand tot de maan gemeten worden. Het laserlicht doet er 2560 ms over totdat het terug is op aarde. Bereken hiermee de afstand tot de maan. (1p) Draadloze telefonie en wifi werkt met behulp van radiosignalen. Wat is de snelheid van deze radiosignalen. Sommige schepen hebben een radarinstallatie om de afstand tot voorwerpen in de omgeving te meten. Een radarinstallatie zendt hiervoor elektromagnetische signalen uit die weerkaatst worden door het voorwerp. Door de tijd tussen het uitzenden en het ontvangen van een signaal te meten, kan de afstand tot het voorwerp bepaald worden. Een veelgebruikt type radar is de pulsradar. Dit type radar zendt een kort elektromagnetisch signaal uit en ontvangt even later de echo van dit signaal. Op een bepaald moment wordt er 0,26 ms gemeten tussen het uitzenden en het ontvangen van een signaal. (3p) Bereken de afstand tot het voorwerp. (3p) Het signaal is een puls die bestaat uit een aantal opeenvolgende elektromagnetische golven. Deze golven worden gemaakt met een vaste frequentie van 9,38 GHz. Eén puls duurt 0,100 µs. Bereken uit hoeveel golven één puls bestaat. (3p) Details met afmetingen van 10% van de golflengte zijn door de pulsradar net waar te nemen. Bereken de minimale afmeting van een voorwerp dat met deze pulsradar waar te nemen is. (bron: examen HAVO 2018-1)

Zorg dat je kan rekenen met de fotonenergie en kan redeneren met spectraallijnen

(1p) In het spectrum van natrium zijn twee duidelijke absorptielijnen te zien. De eerste lijn wordt veroorzaakt door fotonen met een golflengte van 589,0 nm en de andere door fotonen met een golflengte van 589,6 nm. Laat met behulp van BINAS zien welke kleur deze fotonen hebben. In de onderstaande afbeelding is het spectrum van een ster weergegeven: (1p) Leg uit of het hier gaat om een absorptie- of een emissiespectrum. (1p) Leg uit hoe de spectraallijnen in deze ster ontstaan zijn. (1p) De vier zichtbare spectraallijnen worden allemaal veroorzaakt door hetzelfde element. Ga met behulp van BINAS na om welk element het hier gaat. In de onderstaande afbeelding is het spectrum van een nevel weergegeven, waaruit sterren zich kunnen vormen: (1p) Leg uit of het hier gaat om een absorptie- of een emissiespectrum. (1p) Leg uit hoe de spectraallijnen in deze nevel ontstaan zijn. (1p) Leg uit hoe je kan zien dat in deze nevel geen waterstof aanwezig is. (4p) Een stilstaand elektron absorbeert een foton met een golflengte van 500 nm. Bereken de snelheid die het elektron hierdoor zal krijgen. (4p) Bij het annihileren van een elektron en een positron ontstaat twee dezelfde fotonen. De energie van deze fotonen is te berekenen met: $$E=mc^2$$ Bereken de frequentie van deze fotonen. (5p) Als geleidingselektronen door een LED stromen, kunnen ze blauw licht uitzenden met een golflengte van 470 nm. Het totale vermogen aan uitgezonden licht is gelijk aan 0,075 W. Door een LED loopt een stroomsterkte van 50 mA. Bereken hoeveel procent van de geleidingselektronen dit blauwe licht heeft uitgezonden. (bron: examen VWO 2016-1)

 

§2     De planckkromme

Als atomen in een voorwerp trillen, dan zenden ze een heel spectrum aan straling uit. We noemen dit het planckspectrum. In deze paragraaf gaan we leren hoe we met behulp van dit spectrum de temperatuur van sterren kunnen bepalen.

In het hoofdstuk "Deeltjesmodel" hebben we geleerd dat atomen met een temperatuur boven de 0 kelvin continu aan het trillen zijn. In dat hoofdstuk hebben we echter niet besproken dat trillende atomen straling uitzenden. Omdat zo goed als elk materiaal een temperatuur heeft boven de 0 K, kunnen we dus stellen dat zo goed als elk materiaal in het universum straling uitzendt. Meestal bevindt deze straling zich echter buiten het zichtbare spectrum. De aarde en ook wijzelf zenden bijvoorbeeld voornamelijk infraroodstraling uit.

Als de temperatuur van een voorwerp hoog genoeg wordt, dan komt er een moment dat de straling wel zichtbaar wordt. Dit zien we bijvoorbeeld in de onderstaande afbeelding. Een stuk metaal is hier sterk verwarmd en begint hierdoor te gloeien in het rode deel van het spectrum. De regenboog in de grafiek stelt het zichtbare deel van het spectrum voor.

(Afbeelding: Fir0002/Flagstaffotos; GFDL v1.2)

Het licht dat op deze manier ontstaat heeft een karakteristiek stralingsspectrum, genaamd de planckkromme of het planckspectrum. Hieronder is dit spectrum voor een aantal temperaturen weergegeven (op de website wordt dit duidelijker weergegeven met behulp van een animatie). We geven dit spectrum hieronder weer met op de horizontale as de golflengte van de straling en op de verticale as de intensiteit van deze straling. De regenboog in het diagram stelt het zichtbare deel van het spectrum voor.

Bij een lage temperatuur zit de straling bijna volledig in het infrarode deel van het spectrum. Als gevolg kunnen we deze straling niet waarnemen met onze ogen. Als de temperatuur hoger wordt, dan komt er een moment dat er genoeg rood licht wordt geproduceerd, zodat we dit met onze ogen kunnen zien. Als we de temperatuur nog meer verhogen, dan komt er een moment dat er in het hele zichtbare spectrum veel licht wordt uitgezonden. Als we alle kleuren licht tegelijk in onze ogen krijgen, dan zien we dit als wit licht. Als de temperatuur nog hoger wordt, dan gaat op een gegeven moment het blauwe licht domineren.

We zien hier dat hoe hoger de temperatuur van een object is, hoe meer de piek van de planckkromme zich naar links verplaatst (naar een kleinere golflengte). Deze relatie kunnen we ook wiskundig opschrijven. We noemen dit de wet van Wien:

$$\lambda_{max} = \frac{k_w}{T}$$ Golflengte bij de piek (λmax) meter (m) Constante van Wien (kw) 2,8977721 × 10-3 Km Oppervlaktetemperatuur (T) kelvin (K)

De temperatuur moet in deze formule worden gegeven in kelvin. Er geldt:

$$T(K) = T(^\circ C) + 273$$

Met deze formule kunnen we bijvoorbeeld de oppervlaktetemperatuur van de zon berekenen. De piek van het stralingsspectrum van onze zon ligt bij de 500 nm. De oppervlaktetemperatuur wordt hiermee:

$$T = \frac{k_w}{\lambda_{max}}$$ $$T = \frac{2,8977721 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} = 5,80 \times 10^3 \text{ K}$$

In het onderstaande filmpjes wordt het spectrum gemeten van de zon en dit wordt vergelijken met het spectrum van een aantal lampen. Merk op dat het spectrum van de zon niet netjes is als de grafiek uit de paragraaf. Dit komt omdat zowel in de zon als in de atmosfeer een aantal frequenties zonlicht wordt geabsorbeerd. Alleen het spectrum van de zon en de gloeilamp heeft de vorm van een planckkromme. Het licht in een LED en een TL-buis vormt op een compleet andere manier. Het spectrum van deze twee lampen ziet er daarom heel anders uit.

Voorbeeld

Vraag: Kosmische achtergrondstraling is straling die net na de oerknal is ontstaan. Deze straling kan in het hele heelal gemeten worden. In de onderstaande grafiek is de intensiteit van deze straling uitgezet tegen de golflengte. Bepaal de temperatuur behorende bij de achtergrondstraling. Antwoord: Het maximum van de grafiek ligt bij de λmax= 1,05 nm. Met de wet van Wien vinden we: $$T = \frac{k_w}{\lambda_{max}} = \frac{2,8978 \times 10^{-3}}{1,05 \times 10^{-3}} = 2,76 \text{ K}$$ Vraag: Bereken de totale intensiteit van alle golflengten die in het diagram zijn weergegeven. Antwoord: Op de verticale as staat de intensiteit per millimeter gegeven. Dit betekent dat voor elke millimeter aan golflengte afzonderlijk de intensiteit is gemeten. De totale intensiteit is gelijk aan al deze millimeters aan golflengte bij elkaar opgeteld. Oftewel: het oppervlak onder de grafiek. Elk hokje heeft een oppervlak van 0,2 × 10-8 × 0,5 = 0,1 × 10-8 W/m2. In totaal vinden we ongeveer 14 hokjes onder de grafiek. De totale intensiteit is dus 14 × 0,1 × 10-8 = 1,4 × 10-8 W/m2.

De SI-eenheid van de intensiteit (I) is W/m². Dit staat voor de hoeveelheid joule die per seconde op een vierkante meter valt. De intensiteit is te relateren aan het totale vermogen (P) dat een lichtbron uitzendt. We noemen het vermogen als het gaat om een lichtbron ook wel de lichtsterkte (L). Er geldt:

$$I = \frac{P_{bron}}{4\pi r^2} = \frac{L}{4\pi r^2}$$ Intensiteit (I) watt per vierkante meter (W/m2) Vermogen van de bron (Pbron) watt (W) De lichtsterkte (L) watt (W) Straal vanaf het centrum van de bron (r) meter (m)

We zien aan de formule dat de intensiteit kwadratisch afneemt met de afstand tot de bron. We noemen deze formule daarom ook wel de kwadratenwet. In de onderstaande afbeelding is goed te zien waarom de intensiteit op deze manier afneemt. Hoe verder de straling komt, over hoe groter oppervlak de straling verdeeld wordt.

(Afbeelding: Borb; CC BY-SA 3.0)

De intensiteit van de zon op aarde noemen we de zonneconstante. De waarde hiervan is te vinden in BINAS 32C. Ook de lichtsterkte van de zon is in deze tabel te vinden. We gebruiken voor de lichtsterkte van de zon het symbool L_☉.

We kunnen het vermogen (P) van een lichtbron ook relateren aan de oppervlaktetemperatuur (T). Deze relatie wordt de wet van Stefan-Boltzmann genoemd:

$$P_{bron} = L = \sigma A T^4 $$ Vermogen van de bron (Pbron) watt (W) Lichtsterkte (L) watt (W) De constante van Stefan-Boltzmann (σ) 5,670373 × 10-8 W/m2/K4 Oppervlak van de bron (A) vierkante meter (m2) Oppervlaktetemperatuur (T) kelvin (K)

Ter afsluiting nog een paar veelgebruikte afstandsmaten in de sterrenkunde. Afstanden in het zonnestelsel meten we vaak in astronomische eenheden (AE). 1 AE is gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon, oftewel 1,49598 × 10¹¹ m. Afstanden tot sterren worden vaak gemeten in lichtjaar. Dit is de afstand die licht in een jaar aflegt, oftewel 9,461 × 10¹⁵ m. Beide afstanden kan je ook opzoeken in BINAS.

Zorg dat je kan rekenen met de wet van Wien

(2p) Welke gegevens van een ster kan je achterhalen met een absorptiespectrum? (3p) Hieronder zien we het spectrum van onze zon. Bepaal hieruit de oppervlaktetemperatuur van de zon in graden Celsius. (Afbeelding: Sch; CC BY-SA 3.0) (5p) Het menselijk lichaam zendt infraroodstraling uit. Laat met behulp van een schatting en een berekening zien dat dit het geval is. (3p) Bij een brandende gloeilamp heeft de gloeidraad een temperatuur van 2,5 × 103 K. Leg met een berekening uit waarom het rendement van een gloeilamp zo laag is. Van de ster Wega is de stralingsintensiteit in het zichtbare gebied als functie van de golflengte bepaald (zie de onderstaande afbeelding). (4p) Toon met behulp van het diagram aan dat de temperatuur van Wega hoger is dan 7000 K. (4p) De stralingsintensiteit die we van Wega meten is 2,9 × 10-8 Wm-2. Een percentage hiervan ligt in het zichtbare gebied. Bepaal dit percentage. (bron: examen VWO 2011-pilot) De WMAP doet metingen aan de zogenaamde kosmische achtergrondstraling. Dit is straling die kort na het ontstaan van het heelal gevormd is en nu overal in het universum te meten is. Hieronder zijn de metingen in een diagram weergegeven: (6p) Bepaal de orde van grootte van de hoeveelheid fotonen met een golflengte tussen 1,0 en 2,0 mm die per seconde op een vierkante meter terechtkomen. (3p) Bepaal de temperatuur behorend bij de achtergrondstraling. (bron: examen VWO 2015-pilot)

Zorg dat je kan rekenen met de wet van Stefan-Boltzmann en de kwadratenwet

(4p) In een gloeilamp met een vermogen van 24 W zit een gloeidraad met een lengte van 25 mm en een diameter van 0,20 mm. Bereken de temperatuur van de gloeidraad. (2p) Een gloeilamp brandt eerst met een temperatuur van 2000 K en dan met 4000 K. Beredeneer met welke factor het vermogen is toegenomen. (3p) Op aarde ontvangen we maximaal 1,368 × 103 W/m2 aan licht van de zon. Dit wordt de zonneconstante genoemd. Gebruik de afstand tot de zon en reken hiermee uit hoeveel energie de zon per seconde uitzendt. (4p) Een ster bevindt zich op een afstand van 27 lichtjaar vanaf de aarde en heeft een lichtsterkte 10 maal zo groot als dat van de zon. Bepaal de intensiteit van deze ster gezien vanaf de aarde. (4p) De zon zendt per seconde 2,0 × 1038 neutrino's uit. Bereken hoeveel neutrino's er per seconde op de aarde terecht komen. (4p) De ster Wega heeft gemeten vanaf de aarde een intensiteit van 2,9 × 10-8 W/m2. Het uitgestraald vermogen van Wega is groter dan dat van de zon. Bereken hoeveel maal zo groot. (3p) Een ster met dezelfde kleur als de zon heeft een 81x zo grote lichtsterkte. Beredeneer hoeveel groter de diameter van deze ster is ten opzichte van de zon. (5p) De ster Betelgeuze heeft ongeveer dezelfde temperatuur als de ster Proxima Centauri. Toch is Betelgeuze vanaf de aarde gezien 109x feller. Bereken hoeveel keer de straal van Betelgeuse groter is ten opzichte van Proxima Centauri.

 

§3     Dopplereffect

Als voorwerpen naar je toe bewegen of van de je af bewegen terwijl ze golven uitzenden, dan is een verandering in de frequentie van deze golven meetbaar. We noemen dit het dopplereffect. In deze paragraaf gaan we dit effect bestuderen.

In de onderstaande animatie zien we een voorwerp dat golven uitzendt. In de animatie op de website is een voorwerp te zien dat golven uitzendt. Als het voorwerp beweegt, dan kan je zien dat de golven in de bewegingsrichting dichter op elkaar zitten en de golven tegen de bewegingsrichting in verder van elkaar af. Als je golven ontvangt van een voorwerp dat naar je toe beweegt, zal je daarom een kleinere golflengte en een grotere frequentie meten. Als je golven ontvangt van een voorwerp dat van je af beweegt, dan zal je juist een grotere golflengte en een kleinere frequentie meten. Dit wordt het dopplereffect genoemd. In het dagelijks leven merken we dit effect bijvoorbeeld als een ambulance met sirene langsrijdt. De toon klinkt hoger als de ambulance naar je toe rijdt en lager als de ambulance van je wegrijdt.

In het onderstaande filmpje is dit effect gedemonstreerd:

Ook bij licht kunnen we het dopplereffect meten. Voor zichtbaar licht zorgt dit voor een kleine kleurverandering. Als een lichtbron naar je toe komt, dan wordt de golflengte kleiner en als gevolg schuift het licht meer op naar de blauwe kant van het spectrum. We noemen dit blauwverschuiving. Als een lichtbron van je af beweegt, dan wordt de golflengte groter en als gevolg schuift het licht meer op naar de rode kant van het spectrum. We noemen dit roodverschuiving.

Dit effect is nauwkeurig te meten door naar de verplaatsing van de absorptielijnen te kijken. Deze schuiven namelijk ook mee met het spectrum. Dit zien we bijvoorbeeld in het onderstaande spectrum:

Door te meten hoeveel de spectraallijnen verplaatst zijn, kunnen we de snelheid bepalen waarmee lichtbronnen van ons af of naar ons toe bewegen. Er geldt:

$$v_{rad} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}c $$ De radiële snelheid van het voorwerp (vrad) meter per seconde (m/s) Toename van de golflengte (Δλ) meter (m) De oorspronkelijke golflengte (λ0) meter (m) Snelheid van het licht (c) 3,0 × 108 m/s

Let er op dat we met deze formule alleen de component van de snelheid berekenen waarmee een lichtbron van ons af of naar ons toe beweegt. We noemen deze component ook wel de radiële snelheid (zie de onderstaande afbeelding). Zijwaartse beweging van een ster kunnen we met het dopplereffect dus niet waarnemen.

Voorbeeld

De helft van de sterren die we 's nachts zien blijken bij nadere inspectie dubbelsterren te zijn (twee sterren die om elkaar heen draaien). De sterren zitten in sommige gevallen zo dicht bij elkaar dat we ze zelfs met een telescoop niet direct van elkaar kunnen onderscheiden. Dankzij het dopplereffect kunnen we dit onderscheid wel maken. Als twee sterren om elkaar heen draaien, dan kan het zijn dat telkens de ene ster naar de aarde toe beweegt en de andere ster van de aarde af (zie de onderstaande linker afbeelding). Dankzij het dopplereffect zien we dan telkens twee absorptielijnen, waar we er normaal maar één zouden verwachten. De ene lijn is door roodverschuiving de ene kant op verschoven en de andere door blauwverschuiving de andere kant op. In het rechter diagram zijn de posities van de twee absorptielijnen in de tijd weergegeven: Vraag: Op sommige momenten staan beide absorptielijnen in het diagram op dezelfde plek. Leg uit wanneer dit gebeurt. Antwoord: In de onderstaande situatie beweegt geen van de sterren van de aarde af of naar de aarde toe. De radiële snelheid is hier dus nul en als gevolg is er voor beide sterren geen dopplereffect te meten. Op deze momenten zijn beide absorptielijnen dus op hun oorspronkelijke locatie te vinden. Vraag: Geef een moment aan in het diagram dat overeenkomt met de positie van de sterren zoals links naast het diagram is afgebeeld. Antwoord: In deze positie is de snelheid van beide sterren volledig radieel (ster A beweegt naar de aarde toe en ster B beweegt van de aarde af). De radiële snelheid is op dat moment dus maximaal en het dopplereffect is hier dus ook maximaal. Ster A beweegt naar de aarde toe. De golflengte van het signaal dat op aarde aankomt zal hier dus maximaal verkleint zijn. Dit gebeurt o.a. op tijdstip t = 0 s. Vraag: Bereken met het diagram de baanstraal van ster A. Antwoord: Eerst berekenen we de snelheid van ster A: $$v_A = \frac{\Delta \lambda}{\lambda}c$$ $$v_A = \frac{410,21 - 410,17}{410,17}\times 3,0\times 10^8 = 2,9 \times 10^4 \text{ m/s}$$ De trillingstijd kunnen we aflezen uit het diagram (T = 1,4 × 106 s). Met deze trillingstijd kunnen we de baanstraal berekenen: $$v = \frac{2\pi r}{T}$$ $$r = \frac{vT}{2\pi}$$ $$r_A =\frac{2,9 \times 10^4 \times 1,4 \times 10^6}{2\pi} = 6,5 \times 10^9 \text{ m}$$

Als we naar verre melkwegstelsels kijken, dan blijken deze eigenlijk allemaal roodverschoven te zijn (zie de onderstaande afbeelding). Verre melkwegstelsels bewegen dus allemaal van ons af. Ook geldt dat hoe verder deze stelsels van ons af staan, hoe sneller ze van ons af bewegen. Wetenschapper Edwin Hubble concludeerde uit deze metingen dat het heelal aan het uitdijen is. Met behulp van de algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein werd duidelijk dat het de ruimte zelf is die uitzet en alle melkwegstelsels uit elkaar drijft. Als licht zich door een uitdijende ruimte beweegt, wordt het opgerekt. De golflengte neemt hierdoor toe en het licht wordt daardoor roder.

Het feit dat melkwegstelsels van elkaar af bewegen, wil zeggen dat ze vroeger veel dichter bij elkaar zaten. De ruimte was vroeger dus ook veel kleiner. Wetenschappers denken nu dat de hele ruimte ooit vanuit één punt ontstaan is. Deze theorie wordt de oerknal genoemd.

Het feit dat melkwegstelsels van elkaar af bewegen, wil zeggen dat ze vroeger veel dichter bij elkaar zaten. De ruimte was vroeger dus ook veel kleiner. Wetenschappers denken nu dat de hele ruimte ooit vanuit één punt ontstaan is. Deze theorie wordt de oerknal genoemd.

Zorg dat je kan rekenen en redeneren met het dopplereffect

(2p) Een ambulance met sirene rijdt eerst in jouw richting en rijdt dan van je weg. Leg in beide situaties uit hoe de frequentie, de toonhoogte en de golflengte van het waargenomen geluid verandert. (2p) Leg uit wanneer roodverschuiving en blauwverschuiving plaatsvindt. (3p) Leg uit of je blauw- of roodverschuiving verwacht door de uitdijing van het heelal. Een gaswolk beweegt met grote snelheid door de ruimte. Het UV-licht dat door deze wolk uitgezonden wordt, wordt op aarde als paars licht waargenomen. (2p) Leg uit of we hier te maken hebben blauw- of roodverschuiving. (1p) Leg uit of de gaswolk van ons af of naar ons toe beweegt. Een spectraallijn van calcium bevindt zich bij stilstand op 393,3 nm. In een ver melkwegstelsel is deze lijn verschoven naar de 392,0 nm. (2p) Leg uit of dit melkwegstelsel van ons af of naar ons toe beweegt. (3p) Bereken de radiële snelheid van dit melkwegstelsel. (1p) Een leerling beweert dat de kans groot is dat de werkelijke snelheid van het melkwegstelsel hoger ligt dan de snelheid die in de vorige vraag berekend is. Leg uit dat deze leerling gelijk heeft. In de onderstaande afbeelding is een deel van het spectrum van de ster Arcturus en van de zon te zien. (2p) Leg uit of Arcturus van ons af of naar ons toe beweegt. (3p) Bereken hiermee de radiële snelheid van Arcturus. (4p) Sommige melkwegstelsels bevatten veel hete gassen die zorgen voor emissielijnen. We zien dit bijvoorbeeld in de onderstaande afbeelding. De lijn H-α is de eerste lijn uit de balmerserie van waterstof. Bereken met hoeveel procent van de lichtsnelheid dit melkwegstelsel van ons af beweegt. (1p) De meeste sterren roteren om hun as. Dit heeft als gevolg dat de spectraallijnen van deze sterren breder worden. Leg uit hoe dit komt. Een spectraallijn heeft normaalgesproken een golflengte van 12,0000 cm. Dezelfde spectraallijn wordt gevonden in het spectrum van een melkwegstelsel. Aan de linkerkant van dit melkwegstelsel zit de lijn bij 21,1588 cm, in het midden bij 21,1536 cm en aan de rechter kant bij 21,1484 cm. (1p) Leg uit dat deze gegevens doen suggereren dat het melkwegstelsel roteert om zijn eigen as. (4p) Bereken de radiële snelheid waarmee dit melkwegstelsel in zijn geheel van ons af beweegt. (4p) Bereken de radiële rotatiesnelheid van het melkwegstelsel. Als twee sterren om elkaar heen draaien, dan kan het zijn dat telkens de ene ster naar de aarde toe beweegt en de andere ster van de aarde af (zie de onderstaande linker afbeelding). Dankzij het dopplereffect zien we dan telkens twee absorptielijnen, waar we er normaal maar één zouden verwachten. In het rechter diagram zijn de posities van twee absorptielijnen in de tijd weergegeven: (1p) Leg uit waarom er twee absorptielijnen zichtbaar zijn. (1p) Op sommige momenten staan beide absorptielijnen in het diagram op dezelfde plek. Leg uit wanneer dit gebeurt. (2p) Geef een moment aan in het diagram dat overeenkomt met de positie van de sterren zoals links naast het diagram is afgebeeld. (6p) Bereken met het diagram de baanstraal van ster A.

 

§4     Het HR-diagram

Met behulp van de lichtsterkte en de temperatuur van sterren kunnen we een zogenaamd Hertzsprung-Russell diagram maken. In dit diagram is de evolutie van sterren goed zichtbaar.

Als we een diagram maken waarin we de temperatuur en de lichtsterkte van sterren tegen elkaar uitzetten, dan vinden we een vast patroon. Dit diagram is hieronder afgebeeld en wordt het Hertzsprung-Russell diagram genoemd. Op de horizontale as staat de logaritme van de temperatuur (log(T)). De inverse van de logaritme is de tienmacht. Als we bijvoorbeeld een ster aflezen bij log(T) = 4,0, dan vinden we als volgt de bijbehorende temperatuur:

$$T = 10^{4,0} = 1,0 \times 10^4 \text{ K}$$

Op de verticale as staat log(L/L_☉). L/L_☉ is de lichtsterkte van de ster gedeeld door de lichtsterkte van de zon en geeft dus aan welke factor de lichtsterkte groter is dan de zon. Als we een ster aflezen bij log(L/L_☉) = 2,6, dan vinden we:

$$\frac{L}{L_{\odot}} = 10^{2,6} = 4,0 \times 10^2$$

Deze ster heeft dus een intensiteit die 4,0 × 10² keer zo groot is als de zon.

De zon is begrijpelijkerwijs getekend bij log(L/L_☉) = 0. Hier geldt namelijk:

$$\frac{L}{L_{\odot}} = 10^{0} = 1 $$

We vinden hier een resultaat dat we hadden kunnen verwachten. De lichtsterkte van de zon is gelijk aan 1x de lichtsterkte van de zon.

In het diagram kunnen we ook de straal van de sterren aflezen. Ook dit werkt met een logaritmische schaal:

Stel een ster bevindt zich op log(R/R_☉) = 1,2, dan geldt er:

$$\frac{R}{R_{\odot}} = 10^{1,2} = 16 $$

Deze ster heeft dus een straal 16x zo groot als de straal van de zon.

Let op dat deze logaritmische schaal in BINAS is weergegeven zoals hieronder te zien is. Je hebt echter de bovenstaande notatie nodig om nauwkeurig de straal af te kunnen lezen van sterren die zich niet mooi op de rasterlijnen bevinden.

Sterren in verschillende fasen van hun ontwikkeling zijn te vinden op verschillende plekken in het HR-diagram. Laten we daarom de evolutie van sterren even doorspreken. Sterren ontstaan uit grote gas- en stofwolken die we nevels noemen (zie de onderstaande afbeelding).

(Afbeelding: James Webb Telescope; PD)

Als de ster eenmaal stabiel is, zit hij in de zogenaamde hoofdreeks die te zien is in het HR-diagram. Ook de zon bevindt zich, samen met 90% van de sterren, in deze hoofdreeks. Gedurende deze fase wordt waterstof in de kern van de ster gefuseerd tot helium. Bij deze fusie komt energie vrij waarmee de ster vanuit het binnenste een druk uitoefent naar buiten (zie de onderstaande afbeelding). In de hoofdreeks geldt dat deze druk in evenwicht is met de zwaartekracht die juist zorgt voor een druk richting het midden van de ster.

Als het waterstof in de kern van de ster op is, dan valt de druk vanuit het binnenste van de ster weg en krijgt de zwaartekracht de overhand. Als gevolg stort de ster in elkaar. Dit zorgt voor een enorme toename van de temperatuur groot genoeg om helium in de kern te fuseren tot koolstof en zuurstof (zie de onderstaande afbeelding).

Bij deze fusiereacties komt zoveel energie vrij, dat de ster enorm uitzet. Door het extreme uitzetten koelt de ster aan het oppervlak zo af dat deze rood licht gaat uitzenden. Een ster met een massa minder dat 8 M_☉ noemen we in deze fase een rode reus en een ster met een massa groter dan 8 M_☉ noemen we in deze fase een rode superreus. Ook deze sterren zijn in het HR-diagram duidelijk te herkennen. Onze zon zal over zo’n 5 miljard jaar een rode reus worden. In de onderstaande afbeelding zien we hoe groot deze rode reus zal zijn ten opzichte van de zon in zijn huidige vorm. De rode reus wordt zo groot dat de planeet Mercurius door de zon zal worden opgeslokt.

Als ook helium opraakt, stort de ster geheel in elkaar. Bij een rode reus wordt in dat geval  de kern in elkaar gedrukt tot een klein zwaar object dat een witte dwerg wordt genoemd. In het geval van de zon zal ongeveer de helft van de massa worden samengedrukt tot een klein object met een diameter iets kleiner dan de aarde (zie de onderstaande afbeelding). Als gevolg heeft de witte dwerg een enorme dichtheid. Een kubieke decimeter van het materiaal waar een witte dwerg van gemaakt is weegt zo’n miljoen kilogram.

De buitenste lagen van de ster schieten naar buiten en vormen een nieuwe nevel, genaamd een planetaire nevel (zie de twee onderstaande afbeeldingen).

(Afbeelding: Hubble Space Telescope; PD)

Als een superreus ineenstort, is de implosie veel krachtiger. Als de massa van de superreus kleiner is dan ongeveer 40 M_☉, dan stort de ster ineen tot een neutronenster. Dit is een object waarbij de zwaartekracht zo groot is dat elektronen in de atoomkern worden geduwd. Als de elektronen botsen met de protonen in de kern ontstaan neutronen. Een neutronenster heeft een diameter van slechts 10-20 km. Een kubieke decimeter van het materiaal waarvan de ster gemaakt is, weegt nu 10¹⁴ kg! Als de massa van een superreus groter is dan 40 M_☉, dan ontstaat een zwart gat. Dit is een object zo zwaar dat zelfs licht er niet aan kan ontsnappen.

De buitenste lagen van de superreus worden met enorm veel energie de ruimte ingeschoten. Dit wordt een supernova genoemd. Bij deze explosie komt zoveel energie vrij dat ook zwaardere elementen van het periodiek systeem vormen. Deze elementen vormen dan weer een nevel waaruit weer nieuwe sterren gevormd kunnen worden. Alle atomen zwaarder dan waterstof zijn ooit in een vroegere ster gevormd. Veel van de atomen waar ons lichaam uit gemaakt is, zijn dus ooit gevormd in het binnenste van een ster. Daarom wordt weleens gezegd dat wij zijn gemaakt uit "sterrenstof".

Hieronder staan de verschillende paden van de evolutie van een ster nog eens samengevat.

(Afbeelding: R.N. Bailey; CC BY 4.0-mod)

Zorg dat je het HR-diagram kan aflezen en dat je sterevolutie kan beschrijven

We bestuderen de ster Aldebaran in het Hertzsprung-Russell diagram. (2p) Bepaal met behulp van het diagram de temperatuur van de ster. (2p) Bepaal met behulp van het diagram de lichtsterkte van de ster ten opzichte van de zon. (2p) Bepaal met behulp van het diagram de straal van de ster ten opzichte van de zon. We bestuderen de ster Sirius in het Hertzsprung-Russell diagram. (2p) Bepaal met behulp van het diagram de temperatuur van de ster. (2p) Laat met behulp van het diagram zien dat de lichtsterkte 25× zo sterk is als de zon. (6p) Bereken met behulp van de lichtsterkte de straal van de ster. Kijk daarna of deze waarde overeenkomt met de waarde in het Hertzsprung-Russell diagram. In de onderstaande afbeelding zien we de banen van sterren in het midden van ons melkwegstelsel. Al deze sterren bewegen om een onzichtbaar object heen waarvan we nu weten dat het een zwart gat is. Ster S0-16 komt erg dicht bij het onzichtbare object, op slechts een afstand van 45 AE. De snelheid van de ster is op dat moment 1200 km/s. (Afbeelding: ESO; CC BY 4.0) (4p) Bereken de massa van het onzichtbare object en laat hiermee zien dat het inderdaad om een zwart gat moet gaan. (2p) Een object is een zwart gat als het een straal heeft kleiner dan de zogenaamde schwarzschildstraal: $$ r_{schwarzschild} = \frac{2GM}{c^2} $$ Bereken deze straal voor het zwarte gat in ons melkwegstelsel. (3p) Als je het object dichter nadert dan de schwarzschildstraal, dan kan zelfs licht niet meer aan het zwarte gat ontsnappen. Leidt de bovenstaande formule af met behulp van formules uit BINAS. Over ongeveer 6 miljard jaar zal ongeveer 50% van de massa van de zon in elkaar worden geperst tot een witte dwerg. (4p) Deze witte dwerg zal een diameter krijgen ongeveer gelijk aan die van de maan. Bereken met deze informatie de dichtheid van de witte dwerg. (3p) Bereken de massa van een eetlepel van de stof waaruit een witte dwerg bestaat. Ga ervan uit dat een eetlepel gelijk is aan 15 mL. (5p) Een ster van 10 zonsmassa's wordt een neutronenster met een diameter van ongeveer 20 kilometer. Bereken opnieuw de dichtheid en de massa van een eetlepel. De ster Sirius A, die vanaf de aarde goed te zien is, blijkt bij nadere beschouwing onderdeel van een dubbelstersysteem. De tweede ster, Sirius B, is een witte dwerg die op de onderstaande afbeelding zichtbaar is. (Afbeelding: NASA; PD) (2p) Sirius bevindt zich op een afstand van 8,6 lj. Reken dit om naar meter. (4p) De afstand tussen beide sterren is 19,8 AE en de sterren bewegen om elkaar heen met een periode van 50,1 aardse jaren. Beide sterren roteren om een gemeenschappelijk zwaartepunt. Sirius B bevindt zich twee keer zo ver als Sirius A van dit zwaartepunt. Bereken hiermee de massa van Sirius B. De ster Betelgeuze in het sterrenbeeld Orion is een zogenaamde rode superreus. De rode kleur van deze ster is zelfs met het blote oog goed te zien. (2p) Stel dat Betelgeuze en de zon van plek zouden wisselen. Welke planeetbanen bevinden zich dan binnen de omvang van Betelgeuze? (1p) Leg met behulp van de kleur van Betelgeuze uit of de oppervlakte temperatuur groter of kleiner zal zijn dan dat van de zon. (3p) De piek van de stralingskromme van Betelgeuze licht bij een golflengte van 878,1 nm. Bereken hiermee de temperatuur van de ster. Check daarna je antwoord met BINAS. (3p) Uit waarnemingen blijkt dat voor de meeste sterren een verband bestaat tussen de lichtsterkte van de ster en de massa. Er geldt: $$ \frac{P_{ster}}{P_{zon}} = \left( \frac{M_{ster}}{M_{zon}} \right)^{3,5} $$ Als de massa van een ster groter is dan 8 keer de massa van de zon, dan zal de ster aan het eind van zijn leven ontploffen als een supernova. Ga met behulp van de bovenste formule na of dit voor Betelgeuze ook zal gelden. (4p) Tijdens zijn supernova zal Betelgeuze per seconde grofweg evenveel energie produceren als de zon in tien miljard jaar zal doen. Als gevolg zal de ster ook op aarde enorm sterk oplichten. Bereken de stralingsintensiteit van deze supernova in verhouding tot de stralingsintensiteit van de zon op aarde.

BINAS:
7	Constante van Planck, constante van Wien, constante van Stefan-Boltzmann en lichtsnelheid
19A	Het zichtbare spectrum in kleur
19B	Het volledige spectrum
21	Energieniveaus waterstof
23	Planck-krommen
31	Gegevens planeten
32B	Gegevens sterren
32C	Gegevens zon (inclusief astronomische eenheid (AE), vermogen en zonneconstante)
33	Hertzsprung-Russeldiagram