In dit
hoofdstuk gaan we de zwaartekracht bestuderen. In de eerste helft van het hoofdstuk
kijken we naar de valbeweging op aarde. Daarna gaan we zien hoe de
zwaartekracht er ook voor zorgt dat objecten in een baan om een hemellichaam
kunnen belanden. We beginnen deze paragraaf met het beschrijven van de
valbeweging van voorwerpen met en zonder wrijvingskracht.
Als een voorwerp ongehinderd valt, dan spreken we van een
vrije val. Bij een vrije val werkt dus alleen de zwaartekracht op het
voorwerp. Andere krachten zoals luchtwrijving moeten afwezig zijn of verwaarloosbaar
klein zijn. Voor een vrije val geldt dus:
$$ F_{res} = F_z $$
Als we deze vergelijking uitwerken met de formules Fres
= ma en Fz = mg, dan vinden we:
$$ ma=mg $$
Door aan beide kanten de massa weg te strepen vinden we
dan:
$$ a = g $$
Een voorwerp dat een vrije val ondergaat heeft dus altijd
een versnelling gelijk aan de valversnelling (g), ongeacht de
massa van dit voorwerp. In afwezigheid van luchtwrijving zou een veer dus even
snel moeten vallen als een hamer. Dit is getest op de maan.
Het
(v,t)-diagram van een vrije val is hieronder afgebeeld. Als we het diagram
nauwkeurig aflezen, dan vinden we inderdaad de valversnelling (g):
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$
$$ a = \frac{49,05}{5,00} = 9,81 \text{ m/s}^2 $$
…
In het volgende (v,t)-diagram zien we een val waarbij de
luchtwrijvingskracht niet te verwaarlozen is. Zoals je kunt zien wordt de
versnelling steeds kleiner. Ook uit dit diagram kunnen we echter de
valversnelling vinden. Dit doen we door op t = 0 s de raaklijn te nemen. Op dit
punt is de snelheid van het voorwerp namelijk nog nul en is er dus ook geen
luchtwrijvingskracht. Als gevolg hebben we op dit moment te maken met een vrije
val en geldt dus ook a = g.
Beschrijven van valbewegingen met en zonder
wrijvingskracht met (x,t)- en (v,t)-diagrammen
1.Schets een (x,t)- en
een (v,t)-diagram van een vallende steen zonder luchtwrijvingskracht.
2.Schets een (x,t)- en een (v,t)-diagram van een vallende steen met
luchtwrijvingskracht.
Bepalen van de valversnelling met behulp van een
(v,t)-diagram met en zonder wrijvingskracht
3.In het onderstaande (x,t)- en
(v,t)-diagram wordt een valbeweging beschreven.
a.Leg uit hoe je aan beide diagrammen kunt zien dat de wrijvingskracht
niet te verwaarlozen is.
b.Bepaal de snelheid van het voorwerp op t = 0 s.
c.Bepaal de versnelling van het voorwerp op t = 0 s.
4.De maan heeft geen atmosfeer. Teken
een (v,t)-diagram van de val van een steen op de maan.
5.In het onderstaande diagram is de
beweging van een parachutespringer weergegeven.
a.Verklaar de vorm van alle delen van deze grafiek.
Geef ook telkens aan of de zwaartekracht groter, kleiner of gelijk is aan de
wrijvingskracht.
b.Beweegt de parachutist tussen punt B en C naar boven
of naar beneden? Leg je antwoord uit.
c.Vergelijk de luchtwrijvingskracht werkende op de
springer op punt A (parachute dicht) met punt C (parachute open). Leg uit dat
de wrijvingskracht in beide gevallen gelijk is.
(bron: examen VWO 2002-1)
6.(VWO) Een persoon maakt twee
parachutesprongen van verschillende hoogten. Beide sprongen zijn in het
onderstaande diagram weergegeven. In beide gevallen ging de parachute open op
een hoogte van 700m.
a.Na het openen van de parachute lopen de grafieken
even steil. Verklaar waarom dit gebeurt.
b.We bestuderen nu de sprong van de parachutespringer
die van een hoogte van 5000 meter gesprongen is. Leg uit of de
wrijvingskracht op deze springer op een hoogte van 1500 meter groter, kleiner
of gelijk is aan de wrijvingskracht op 500 meter.
7.In het onderstaande (v,t)-diagram
wordt een parachutesprong weergegeven.
a.Bepaal met behulp van de grafiek de valversnelling g.
b.Bepaal de topsnelheid van de springer.
c.Bepaal van welke hoogte de springer gesprongen is.
8.Het onderstaande (v,t)-diagram
beschrijft een sprong van een volleybalspeler.
Ga na of de
wrijvingskracht die de springer ondervindt tussen t = 0,1 en t = 0,4 s verwaarloosbaar
is.
(bron: examen VWO 2015-1)
In de onderstaande afbeelding zien we een zogenaamde
bungeetrampoline. Een persoon kan hier met behulp van twee elastische koorden
en een trampoline erg hoog springen. Hieronder zien we het (v,t)-diagram van
een persoon in het apparaat.
a.Geef een tijdstip waarbij de springer zich op zijn hoogste en zijn
laagste punt bevindt. Leg uit hoe je op je antwoord komt.
b.Bepaal de maximale hoogte die de springer bereikt.
c.Bepaal de maximale snelheid en de maximale versnelling die de persoon
ondergaat bij het afzetten tegen de trampoline.
d.Ga na of de persoon op het hoogste punt nog steeds een kracht van de
elastische koorden ondervindt of dat deze op dat moment niet gespannen zijn.
Je mag ervan uitgaan dat de wrijvingskrachten verwaarloosbaar zijn.
(bron: examen VWO 2011-1)
In deze paragraaf gaan we het concept vrije val
gebruiken om gewichtloosheid te begrijpen.
Een voorwerp in vrije val is gewichtsloos. Om dit
principe te begrijpen is het eerst noodzakelijk om de gewichtkracht (Fg)
te begrijpen. De gewichtkracht wordt ook wel het gewicht genoemd. In het
dagelijks leven wordt gewicht vaak uitgedrukt in kilogram, maar dit is onjuist.
Gewicht is een kracht en wordt dus uitgedrukt in newton.
Het gewicht is de kracht die een voorwerp uitoefent op
zijn ondersteuning of ophangpunt. In de linker onderstaande
afbeelding zien we een blok dat op de grond ligt. De aarde trekt het blok naar
beneden (dit is de zwaartekracht). Als gevolg duwt het blok tegen de grond aan
(dit is het gewicht). In de rechter afbeelding zien we een soortgelijk
voorbeeld. De aarde trekt het blok naar beneden (dit is de zwaartekracht). Als
gevolg trekt het blok aan het touw (dit is het gewicht).
In de linker onderstaande afbeelding ligt een blok met
een massa van 100 kg op de grond. De zwaartekracht die op dit blok werkt is Fz
= mg = 100 × 9,81 = 981 N. Omdat de zwaartekracht ervoor zorgt dat het blok
tegen de grond wordt getrokken, is het gewicht hier ook gelijk aan 981 N.
In de middelste afbeelding ondergaat het blok een vrije val. De massa van het
blok is nog steeds 100 kg en de zwaartekracht is volgens de formule Fz
= mg ook nog steeds 100 × 9,81 = 981 N. Het blok duwt nu echter niet tegen een
ondergrond en als gevolg is de gewichtkracht nul. Het voorwerp wordt in deze
omstandigheid daarom ook wel gewichtloos genoemd.
We kunnen beter begrijpen waarom we hier het woord gewichtloos gebruiken als we
hetzelfde blok laten vallen in een vallende afgesloten ruimte (zie de rechter
afbeelding). Zowel het blok als deze ruimte zal versnellen met valversnelling g
en het blok zal daarom ook niet tegen de ondergrond van de kamer duwen. Als
gevolg lijkt het blok te zweven in de kamer alsof er helemaal geen
zwaartekracht is. Dit noemen we gewichtloosheid. Dit
effect kan je in het volgende filmpje goed zien:
Een voorwerp is zelfs gewichtloos als het omhoog gegooid
wordt. De omhooggaande beweging is dus ook onderdeel van de vrije val. Ook hier
ervaart het voorwerp dus gewichtloosheid.
Het verschil tussen zwaartekracht en gewicht is ook
duidelijk te ervaren in een lift. Hieronder zien we links een lift die omhoog
versnelt. Er werkt in dit geval dus een resulterende kracht omhoog. Deze kracht
wordt geleverd door een extra grote normaalkracht. Het is deze kracht die
ervoor zorgt dat we ons iets ‘zwaarder’ voelen als een lift omhoog versnelt. In
de tweede afbeelding versnelt een lift naar beneden en werkt er dus ook een
resulterende kracht naar beneden. Als gevolg wordt de normaalkracht nu kleiner
dan normaal. Het is dit effect dat ervoor zorgt dat we ons iets ‘lichter’
voelen als een lift naar beneden versnelt. In de rechter afbeelding zien we een
lift die vrij valt.
Rekenen aan de valbeweging en redeneren met
gewichtloosheid
1.In Bremen staat een zogenaamde
valtoren waarin voorwerpen over een afstand van 110 meter kunnen vallen in
een vacuüm ruimte. Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een voorwerp op
het moment dat de toren nog gevuld was met lucht. Op tijdstip t = 5,1 s heeft
het voorwerp de 110 meter afgelegd.
a.Aan de grafiek is te zien dat het voorwerp tijdens de val
luchtweerstand ondervond. Teken in het diagram hoe de grafiek eruit zou zien
zonder luchtwrijving. Laat de grafiek eindigen op het tijdstip dat de 110
meter is afgelegd.
b.In plaats van het voorwerp van bovenaf te laten vallen, kan het
voorwerp ook van onderaan omhoog worden afgeschoten. Dit wordt gedaan met een
soort katapult. In het rechter (h,t)-diagram is de beweging van het voorwerp
te zien vanaf het moment dat het loskwam van de katapult. Gedurende welke
momenten is het voorwerp gewichtloos?
c.De katapult heeft er 0,40 seconde over gedaan om het voorwerp vanuit
stilstand op snelheid te brengen. Bereken de gemiddelde kracht die de
katapult op het voorwerp heeft uitgeoefend. Het voorwerp heeft een massa van
1,5 kg.
(bron: examen VWO 2008-2)
Rekenen met gewichtkracht
2.Hieronder is links een lift
weergegeven die omhoog versnelt en rechts een lift die omlaag versnelt.
Geef in beide gevallen aan of je je lichter of zwaarder voelt dan
normaalgesproken het geval is. Leg dit telkens uit door de krachten werkende
op de persoon te schetsen.
3.Hieronder is het (a,t)-diagram
van de beweging van een persoon met een massa van 75 kg in een lift
weergegeven.
a.Geef aan op welke momenten de lift stilstaat, constant beweegt,
versnelt of vertraagt. Je mag ervan uitgaan dat de lift op tijdstip t = 0 s
stilstond.
b.Bereken voor elk deel van de grafiek de resulterende kracht werkende
op de persoon.
c.De persoon stond tijdens de beweging op een weegschaal. Geef voor elk
moment aan welke waarde de weegschaal aangeeft.
In dit hoofdstuk gaan we de theorie uit het hoofdstuk
'beweging' en 'kracht' uitbreiden, zodat we hier ook cirkelbewegingen mee
kunnen beschrijven. Dit stelt ons in staat om bijvoorbeeld de beweging van de
aarde om de zon te kunnen begrijpen. In deze paragraaf bestuderen we het
'beweging'-deel van de cirkelbeweging. In de volgende paragraaf kijken we naar de
kracht die hiervoor nodig is.
In
hoofdstuk beweging en kracht hebben we rechtlijnige bewegingen bestudeerd. In
dit hoofdstuk gaan we dit uitbreiden door voorwerpen te bestuderen die een bocht
maken. Denk bijvoorbeeld aan een auto die de bocht door gaat of de beweging van
de aarde om de zon. Om bochten goed te begrijpen bestuderen we eerst de cirkelbeweging.
Hieronder zien we bijvoorbeeld een massa m, die een cirkelbeweging maakt
om het middelpunt M. De afstand tussen m en M blijft gedurende de
beweging constant. We noemen deze afstand de baanstraal (r).
Zoals altijd vinden we de snelheid van deze massa door de
afgelegde afstand te delen door de tijdsduur. De afgelegde weg van één
omwenteling is gelijk aan de omtrek van de cirkel (2πr). De tijd
die nodig is voor een omwenteling noemen we de omlooptijd (T). De
snelheid van massa m wordt dus gegeven door:
…
$$ v_{baan} = \frac{2\pi r_{baan}}{T} $$
Baansnelheid (vbaan)
meter per seconde (m/s)
Baanstraal (rbaan)
meter (m)
Omlooptijd (T)
seconde (s)
In tabel 31 van BINAS kan je een hele hoop gegevens
vinden over de banen van verschillende planeten en manen. Let er bij de
opdrachten goed op of je de straal van de planeet nodig hebt (de afstand van
het middelpunt van de planeet tot het oppervlak) of de baanstraal van de planeet
(de afstand van het midden van de planeet tot het midden van de zon).
Een ander bekend voorbeeld van een object dat in een
cirkelbaan draait is een satelliet. De satellieten worden bijvoorbeeld
gebruikt om tv-kanalen te ontvangen met een satellietschotel. Om er voor te
zorgen dat de satellietschotel telkens naar de satelliet blijft wijzen, is het
nodig dat de satelliet precies meedraait met de aarde. Deze satellieten hebben
dus een omlooptijd van 24 uur. Satellieten met deze omlooptijd worden geostationaire
satellieten genoemd.
Naast de omlooptijd, gaan we in deze paragraaf ook
rekenen met het toerental, hetgeen vaak gemeten wordt in rpm (dit
staat voor revolutions per minute of in het Nederlands 'omwentelingen
per minuut'). Stel dat een wasmachine een toerental heeft van 1500 rpm, dan
kunnen we met behulp van een verhoudingstabel gemakkelijk de omlooptijd T in
seconden vinden:
1500 omwentelingen
1 omwenteling
60 seconden
... seconden
We vinden dan T = 1 × 60 / 1500 = 0,04000 s.
Rekenen met de baansnelheid
1.Een steen wordt rondgeslingerd
aan een touw. De touw heeft een lengte van 2,0 meter. De steen maakt elke
0,50 seconden een rondje. Bereken de snelheid van de steen.
2.Een elektron in een
waterstofatoom beweegt met een gigantische snelheid van 2,1877 × 106
m/s om de atoomkern. Het elektron bevindt zich op een afstand van 5,29177211
× 10-11 m van de atoomkern. Hoe lang duurt één omwenteling?
3.Bereken de snelheid waarmee de
aarde om de zon draait. Gebruik hier BINAS tabel 31.
4.Bereken de snelheid van een
persoon op de evenaar ten gevolge van de draaiing van de aarde om zijn eigen
as.
5.Leg uit welke afstand uit BINAS
je hebt moeten gebruiken in vraag 4 en welke in vraag 5.
6.Het internationale ruimtestation
bevindt zich op 400 km boven het aardoppervlak en heeft een snelheid van 7,9
km/s.
a.Bereken de omlooptijd van het station.
b.Waar moest je in de vorige vraag op letten bij het rekenen met de
hoogte boven het aardoppervlak.
c.Bereken hoeveel rondjes het ruimtestation per dag om de aarde maakt.
7.Geostationaire satellieten
bevinden zich op 35786 km boven het aardoppervlak en maakt een baan boven de
evenaar. Een dergelijke satelliet heeft de eigenschap dat het met de aarde
meedraait en zo dus altijd boven hetzelfde plekje op aarde staat. Bereken de
snelheid van deze satellieten.
8.(VWO) Amsterdam bevindt zich op
52° noorderbreedte. Bereken de snelheid die een persoon in Amsterdam heeft
ten gevolge van de draaiing van de aarde.
9.In de volgende afbeelding zien we
de rotatiekromme van een melkwegstelsel. Deze grafiek vertelt ons de snelheid
van sterren in het melkwegstelsels op verschillende afstanden van het
middelpunt van het stelsel. Deze afstanden worden gemeten in kiloparsec
(kpc).
a.Leg uit waar de verticale lijnen door de meetpunten voor staan.
b.Leg uit waar de grafiek (de doorgetrokken lijn) voor staat.
c.Bereken de omlooptijd van de gemiddelde ster op een afstand van 12,0
kpc.
Rekenen met het toerental
10.Een wasmachine heeft een
toerental van 1500 rpm. De diameter van de wasmachine is 50 cm. Bereken de
snelheid waarmee de wasmachine ronddraait. Let hier op het verschil tussen de
diameter en de straal.
11.Een spiraalboor heeft een
diameter van 8 mm. Bij het boren door staal draait de boor met een snelheid
van 35 m/min.
a.Bereken het toerental van de boor.
b.Zal bij het boren in hout het toerental groter of
kleiner worden? En hoe zit dit met de omlooptijd? Licht je antwoord toe.
12.Een elektron in een
waterstofatoom beweegt met een gigantische snelheid van 2,1877 × 106
m/s om de atoomkern. Het elektron bevindt zich op een afstand van 5,29177211
× 10-11 m van de atoomkern. Hoeveel omwentelingen per minuut maakt
het elektron?
In deze paragraaf bestuderen we de kracht die nodig is
om een object in een cirkelbaan te houden. We noemen dit de middelpuntzoekende
kracht.
In de vorige paragraaf hebben we geleerd over cirkelbewegingen,
maar hoe krijgen we een voorwerp in een cirkelbaan? Dit doen we door een kracht
uit te oefenen loodrecht op de bewegingsrichting van het voorwerp. We zien dit
gebeuren in de onderstaande linker afbeelding. Rechts is een voorwerp afgebeeld
dat in een cirkelbaan beweegt. Merk op dat de kracht wederom loodrecht op de
bewegingsrichting staat en dat de kracht hierdoor naar het middelpunt van de
cirkelbaan wijst. We noemen een dergelijke kracht daarom ook wel een middelpuntzoekende
kracht (Fmpz).
We kunnen deze beweging als volgt begrijpen. Volgens de
eerste wet van Newton bewegen ongehinderde voorwerpen met een constante
snelheid en in een rechte lijn. We noemen dit ook wel een eenparige
beweging. Een voorwerp dat een cirkelbeweging maakt, zou dus 'het liefst'
op elk moment rechtdoor willen bewegen. De middelpuntzoekende kracht trekt het
voorwerp echter elk moment terug richting het middelpunt van de cirkel. Op deze
manier blijft het voorwerp in zijn cirkelbaan.
In de extra paragraaf aan het eind van dit hoofdstuk
zullen we bewijzen dat voor het maken van een cirkelbeweging de grootte van
deze kracht altijd gelijk moet zijn aan:
Het is belangrijk om te realiseren dat de
middelpuntzoekende kracht niet een 'nieuwe soort kracht' is. Het is de kracht
die nodig is om een voorwerp in zijn baan te houden en dit kan in principe door
elke kracht gedaan worden. Als we een steen horizontaal rondslingeren aan een
touw, dan is het bijvoorbeeld de spankracht in het touw dat er voor
zorgt dat de steen in zijn baan blijft. We zeggen in dat geval de
middelpuntzoekende kracht geleverd wordt door de spierkracht.
Als op een bepaald moment de middelpuntzoekende kracht
zou wegvallen, dan zou het voorwerp (volgens de eerste wet van Newton)
wegschieten in de richting die het op dat moment heeft. Het voorwerp schiet dan
dus weg langs een raaklijn van de cirkelbaan (zie de onderstaande linker
afbeelding).
Een ander voorbeeld is het draaien van de aarde om de
zon. Ook hier werkt een middelpuntzoekende kracht. In dit geval wordt deze
kracht geleverd door de gravitatiekracht. Zonder deze kracht zou de aarde in
een rechte lijn wegschieten van de zon. Er werkt ook een middelpuntzoekende
kracht als een auto een bocht maakt. In dit geval wordt de middelpuntzoekende
kracht geleverd door de wrijvingskracht tussen de wielen en de weg.
Deze extra wrijvingskracht wordt veroorzaakt doordat de
bestuurder de voorwielen van de auto draait. De auto 'wil' rechtdoor, maar de
wrijvingskracht forceert de auto in een cirkelbeweging. In de onderstaande
afbeelding kan je zien dat auto's zo ontworpen zijn dat de wrijvingskracht op elk
wiel naar hetzelfde middelpunt wijst.
Als inzittende van een auto lijkt het alsof je bij
het maken van een bocht naar de buitenbocht wordt geduwd. Dit is echter een
illusie! Wat er gebeurt, is dat de inzittenden in een rechte lijn willen
voortbewegen, terwijl de auto de bocht om gaat. Het is dus niet zo dat je naar
de buitenbocht wordt geduwd, maar juist dat de auto je de bocht in trekt!
Hetzelfde geldt voor het horizontaal rondslingeren van
een steen aan een touw. Het lijkt alsof de steen een kracht naar buiten
uitoefent, maar in werkelijkheid probeert de steen alleen maar rechtdoor te
bewegen en is het jouw spierkracht die de steen in de cirkelbaan houdt.
Als een vliegtuig een bocht wil maken, dan moet het
vliegtuig zorgen voor een kracht loodrecht op de bewegingsrichting. Dit doet
een vliegtuig door te kantelen (zie de onderstaande linker afbeeldingen). Op de
vleugels werkt namelijk een liftkracht die altijd loodrecht op de vleugels
werkt. Door te kantelen krijgt deze liftkracht een component in de horizontale
richting. Deze horizontale component staat loodrecht op de bewegingsrichting
van het vliegtuig en zal dus fungeren als een middelpuntzoekende kracht.
Om het gemakkelijker te maken voor auto's om de bocht
door te komen wordt een soortgelijk effect gebruikt. Het wegdek wordt een
beetje gekanteld, zodat de normaalkracht van de weg een horizontale component
krijgt en kan fungeren als middelpuntzoekende kracht. Zonder deze normaalkracht
zou alleen de wrijvingskracht de middelpuntzoekende kracht kunnen leveren en
als deze kracht niet voldoende is, dan vliegt de auto uit de bocht.
Achterhaal welke soort kracht de middelpuntzoekende
kracht levert in verschillende situaties
1.Geef in de volgende situaties aan
welke kracht de middelpuntzoekende kracht levert:
a.Een steen wordt horizontaal rondgeslingerd aan een touw.
b.De aarde wordt in zijn baan gehouden om de zon.
c.Een fietser gaat de bocht door.
d.Kleding wordt rondgedraaid in een wasmachine.
e.Een elektron wordt in zijn baan gehouden in een atoom.
2.Leg uit wat er bedoeld wordt met
dat de middelpuntzoekende kracht geen 'nieuwe soort kracht' is.
3.Een auto maakt een bocht naar
links en jij zit op een stoel rechtsachter in de auto. Doordat de auto deze
bocht maakt, hebt je het gevoel dat je uit de bocht geduwd wordt.
a.Leg uit wat er werkelijk aan de hand is. Waarom voelt het dan toch
zo?
b.Schets welke kant je op zou vliegen als de auto een scherpe bocht maakt
en er geen deuren zaten om je in de baan te houden.
4.Een fietser rijdt door de regen.
Het wiel draait snel genoeg dat druppels van het wiel af schieten. Teken op
verschillende plaatsen op het wiel in welke richting de druppels wegschieten.
Rekenen met de formule voor de middelpuntzoekende kracht
5.Bereken de gravitatiekracht
waarmee de maan in zijn baan om de aarde wordt gehouden. Bereken hiervoor
eerst de snelheid van de maan met de formule uit de vorige paragraaf
(2πr/T = v).
6.Bereken de middelpuntzoekende
kracht die werkt op een persoon met een massa van 80 kg op de evenaar ten
gevolg van de draaiing van de aarde om zijn eigen as.
7.Het internationaal ruimtestation
heeft een massa van 4,2 × 105 kg en ondervindt een zwaartekracht
van 3,9 × 106 N. Het ruimtestation bevindt zich in een baan 400 km
boven het aardoppervlak. Bereken hoe lang het duurt voordat het ruimtestation
een rondje om de aarde gemaakt heeft.
8.Een proton wordt een magneetveld
in geschoten en begint een cirkelbaan te maken. De magnetische kracht
werkende op het proton is 8,36 × 10-24 N en de cirkelbaan heeft
een straal van 2,00 cm. De omlooptijd van het proton is 12,7 ms. Bereken
hiermee de massa van het proton.
9.Een elektron beweegt binnen 1,52
× 10-16 s om de atoomkern in een waterstofatoom. De snelheid van
het elektron is 2,1877 × 106 m/s. Bereken hiermee de elektrische
kracht waarmee het elektron wordt aangetrokken tot de atoomkern.
10.Hieronder zien we een
indoorwielrenner. Zoals je kunt zien loopt de wielrenbaan in de bochten
schuin.
a.Leg uit waarom de helling schuin is gemaakt. Leg dit uit met behulp
van de krachten die er werken.
b.De voorste wielrenner heeft een massa van 70 kg. Bepaal aan de hand
van de foto de middelpuntzoekende kracht die op deze wielrenner werkt. Maak
hiervoor eerst een tekening van de krachten die er werken.
11.In de film Elysium
wordt een ringvormig ruimtestation beschreven. Door de snelle rotatie van het
schip kunnen mensen op de binnenwand van het schip lopen alsof er
zwaartekracht werkt.
a.Leg uit hoe men met de draaiing van het schip
zwaartekracht kan simuleren.
b.Geef aan in welk van de onderstaande afbeeldingen de krachten correct
zijn weergegeven.
12.(VWO) Een blokje aan een slinger
maakt cirkelbewegingen zoals hieronder is aangegeven. De slinger heeft een
lengte L van 20,6 cm en de hoogte h van 20 cm. De massa van het blokje is 200
g en de hoek θ is 12°. Bereken de snelheid van het blokje. De afbeelding
is niet op schaal weergegeven.
a.De snelheid van het blokje hangt niet af van de massa. Laat dit zien.
Leid hiervoor eerst af dat:
$$ v = \sqrt{gr\tan\alpha} $$
b.Bereken de snelheid van het blokje.
13.Als een vliegtuig rechtdoor
vliegt, dan is de zwaartekracht die op het vliegtuig werkt in evenwicht met
de liftkracht die loodrecht op de vleugels werkt. Als het vliegtuig kantelt,
dan zal het vliegtuig een bocht maken en ook een beetje dalen. Leg beide
fenomenen uit aan de hand van de krachten die er werken.
(bron: examen VWO 2017-1)
14.Hieronder zien we een slinger die
heen en weer beweegt. De lengte van het touw is 1,0 m, het blokje heeft een
massa van 80 g.
a.Bij zijn maximale uitwijking is de middelpuntzoekende kracht die op
het blokje werkt nul. Leg dit uit.
b.Op het laagste punt werkt er zowel een spankracht als een
zwaartekracht. Leg uit dat de spankracht groter moet zijn dan de
zwaartekracht.
c.De massa gaat met een snelheid van 0,40 m/s door het laagste punt.
Bereken de spankracht in het touw.
§5 Gewichtloosheid II (VWO)
In deze paragraaf kijken we nogmaals terug naar het
begrip gewicht en gewichtloosheid. Deze keer passen we het toe op de
cirkelbeweging. We gaan hiermee begrijpen waarom voorwerpen in een baan om de
aarde gewichtloosheid ervaren.
De middelpuntzoekende kracht kan ervoor zorgen dat een
persoon gewichtloosheid ervaart. Dit kunnen we begrijpen met het
volgende voorbeeld. In de onderstaande afbeelding zien we een aantal achtbaankarretjes
door de bocht gaan. Als een karretje stil zou staan boven op deze bocht, dan
zou een persoon in dit karretje met zijn volledige zwaartekracht tegen zijn
stoel drukken. Als het karretje met een behoorlijke snelheid deze bocht maakt,
dan is er een middelpuntzoekende kracht nodig om de persoon in zijn baan te
houden. Deze kracht wordt geleverd door de zwaartekracht van de persoon. Een
deel van de zwaartekracht van de persoon zal nu dus niet gebruikt worden om de
persoon tegen de stoel te drukken, maar zal gebruikt worden als
middelpuntzoekende kracht. Als gevolg voelt de persoon zich nu lichter.
Als de kar nog sneller gaat bewegen, dan komt er een
moment dat de zwaartekracht gelijk wordt aan de middelpuntzoekende kracht. De volledige
zwaartekracht wordt nu dus gebruikt als middelpuntzoekende kracht en er is dus
geen kracht meer over waarmee de persoon tegen de stoel drukt. Als gevolg
ervaart de persoon nu gewichtloosheid.
Hetzelfde effect vindt plaats in een satelliet in zijn
baan om de aarde. We krijgen een satelliet in een baan om de aarde door het een
snelheid mee te geven, waarbij de middelpuntzoekende kracht gelijk wordt aan de
zwaartekracht. Als gevolg is de satelliet gewichtloos en valt hierdoor niet
meer terug naar de aarde. De satelliet bevindt zich nu in een baan om de
aarde.
Reken met de middelpuntzoekende kracht en gewichtloosheid
1.Een persoon in een
achtbaankarretje gaat over de kop.
a.De persoon gaat net snel genoeg dat de persoon op het hoogste punt
even gewichtloos is. Is de middelpuntzoekende kracht nu groter dan, kleiner
dan of gelijk aan de zwaartekracht? Is er nu een normaalkracht aanwezig? Zo
ja, geef dan ook de richting van de normaalkracht.
b.De persoon gaat nu sneller de looping door dan in vraag a. Is de
middelpuntzoekende kracht nu groter dan, kleiner dan of gelijk aan de
zwaartekracht? Is er nu een normaalkracht aanwezig? Zo ja, geef dan ook de
richting van de normaalkracht.
2.Leg uit in welke omstandigheden
men gewichtloosheid ervaart bij het maken van een cirkelbeweging.
3.Een persoon van 70 kg gaat met
zijn vliegtuig over de kop. Zijn cirkelvormige baan heeft een straal van 20
meter. Hij gaat snel genoeg dat zijn stoel een normaalkracht op hem uitoefent
van 200N. Bereken de snelheid waarmee het vliegtuig gaat.
4.Het is ook mogelijk om als mens
door een kleine looping te rennen. De looping in de onderstaande afbeelding
heeft een diameter van 2,8m.
Bereken de minimale snelheid die de persoon moet
hebben om door de looping te rennen zonder te vallen. Laat hiervoor eerst
zien dat:
$$ v_{min} = \sqrt{gr} $$
5.Een persoon van 80 kg bevindt
zich op de evenaar.
a.Laat met een berekening zien dat de middelpuntzoekende kracht die op
de persoon werkt gelijk is aan 2,7 N.
b.Hoe groot is de normaalkracht die de grond op de persoon uitoefent in
dat geval?
c.Hoe snel zou de aarde moeten draaien om de persoon gewichtloos te
maken?
6.In de onderstaande afbeelding
zien we een dubbelplanetoïde, bestaand uit twee brokstukken die om elkaar
heen draaien. De grote wordt α genoemd en de kleine β.
In de onderstaande tabel staan een aantal gegevens van α:
Massa
2,6 × 1012
kg
Diameter
1,5 km
Gravitatieversnelling
4,3 × 10-4
m/s2
Rotatietijd om eigen as
2,5 h
a.α draait zo snel dat losliggende stenen op de planetoïde lichter
aanvoelen dat je met alleen de zwaartekracht zou verwachten. Leg uit hoe de
draaiing van de planetoïde hiervoor zorgt.
b.Bereken hoeveel procent een losliggende steen op α lichter
aanvoelt dan je met de zwaartekracht alleen zou verwachten.
c.Als de planetoïde nog sneller zou bewegen, dan zouden losliggende
stenen zweven op het oppervlak van de planetoïde. Bij welke omlooptijd
gebeurt dit?
(bron: examen VWO 2014-pilot)
§6 De algemene gravitatiekracht
In deze paragraaf gaan we begrijpen hoe objecten in
een baan om een hemellichaam terecht kunnen komen. We zullen ook de benodigde
formules opstellen om deze baan te beschrijven.
Voor Newton’s ontdekkingen, dachten wetenschappers dat de
natuurwetten op aarde anders waren dan de natuurwetten in de ruimte. In de
ruimte zien we objecten namelijk vaak in cirkelbanen bewegen, terwijl dit op
aarde slechts zelden gebeurt. Newton liet echter zien dat met dezelfde formule
zowel het vallen van voorwerpen op aarde als de planeetbanen verklaard konden
worden. Newton's redenering was als volgt. Stel dat we een gigantisch kanon op
aarde zouden bouwen (zie de onderstaande animatie). Stel dat we dan een kogel zo snel af
schieten dat de valbeweging van de kanonskogel dezelfde bocht maakt als de
kromming van de aarde. In dat geval zou de kogel altijd vallen, maar nooit
dichter bij de aarde komen. De kogel zal dan in een baan om de aarde bewegen,
zoals ook de maan dat doet. Newton liet hiermee zien dat hij met de
zwaartekracht de baan van de maan kon verklaren!
Newton begreep ook dat alle voorwerpen in het universum
elkaar aantrekken doormiddel van de gravitatiekracht. De
gravitatiekracht is een ander woord voor de zwaartekracht, maar meestal
gebruiken we het woord 'zwaartekracht' voor het beschrijven van vallende
voorwerpen op aarde en het woord 'gravitatiekracht' voor het beschrijven van de
beweging van hemellichamen. In de extra paragraaf in dit hoofdstuk zullen we
bewijzen dat deze kracht gegeven wordt door:
…
$$ F_g = \frac{GMm}{r^2}$$
…
Gravitatiekracht (Fg)
newton (N)
Gravitatieconstante (G)
6,67 × 10-11 Nm2kg-2
Grootste massa (M)
kilogram (kg)
Kleinste massa (M)
kilogram (kg)
Afstand tussen de massamiddelpunten (r)
meter (m)
Als we deze formule gelijkstellen aan de al bekende
formule Fz=mg,
dan vinden we:
$$ mg = \frac{GMm}{r^2} $$
Als we de massa m aan beide kanten wegstrepen, dan vinden
we dat de valversnelling g te berekenen is met:
…
$$ g = \frac{MG}{r^2} $$
…
Valversnelling (g)
meter per seconde per seconde (m/s2)
Grootste massa (M)
kilogram (kg)
Gravitatieconstante (G)
6,67 × 10-11 Nm2kg-2
Afstand tussen de massamiddelpunten (r)
meter (m)
Met deze formule kunnen we de massa van de aarde bepalen.
We schrijven de formule eerst als volgt om:…
Omgekeerd kan de formule nu ook worden gebruikt om g uit
te rekenen op een willekeurige afstand van de aarde. Op het aardoppervlak
vinden we natuurlijk de vertrouwde waarde 9,81 m/s2:
Als een object een cirkelbaan maakt om bijvoorbeeld de
aarde, dan weten we dat er een middelpuntzoekende kracht werkt die geleverd
wordt door de gravitatiekracht. In dit geval geldt dus:
$$ F_{mpz} = F_g $$
$$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} $$
We kunnen hier aan beide kanten een m en een r wegstrepen
en daarna kunnen we de formule herschrijven tot:
…
$$ v_{baan} = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$
…
Baansnelheid (vbaan)
meter per seconde (m/s)
Gravitatieconstante (G)
6,67 × 10-11 Nm2kg-2
Grootste massa (M)
kilogram (kg)
Baanstraal (r)
meter (m)
VWO
Als we de bovenstaande formule
combineren met vbaan=2πr/T,
dan vinden we:
Deze formule wordt de derde
wet van Kepler genoemd.
Laten we de derde wet van Kepler eens toepassen op het bewegen van de aarde
om de zon. Met deze formule kunnen we de massa van de zon uitrekenen! Het
enige dat we nodig hebben is de afstand van de aarde tot de zon (149,6×109
m) en de omlooptijd van de aarde (365 dagen):
We kunnen deze formule ook
gebruiken om de omlooptijden van satellieten om de aarde uit te rekenen. Het
internationale ruimtestation (ISS) bevindt zich bijvoorbeeld 300 km boven het
aardoppervlak. De afstand r van het centrum van de aarde tot de satelliet is
dus:
1.Laat met behulp van de formule
van de gravitatiekracht zien dat de eenheid van G geschreven kan worden als
Nm2kg-2 en als m3kg-1s-2.
2.Cavendish bepaalde de constante G
door de kracht te meten tussen een loden bol met een massa van 0,73 kg een
andere loden bol met een massa van 158kg. De bollen werden op een afstand van
230 mm van elkaar opgehangen. De kracht die Cavendish mat was gelijk aan 1,5
× 10-7N. Bereken hiermee de constante G.
3.Bereken de gravitatiekracht
werkende op een persoon van 80 kg in het internationaal ruimtestation (400 km
boven het aardoppervlak).
4.Hieronder zien we de baan van de
satelliet WMAP. De satelliet heeft een massa van 840 kg en bevindt zich op 1,5
miljoen kilometer afstand van de aarde. De baan van WMAP is zo gemaakt dat
deze precies meedraait met de aarde. De zon, de aarde en WMAP blijven dus op
één lijn liggen.
a.Laat zien dat de middelpuntzoekende kracht die werkt op WMAP gelijk
moet zijn aan 5,0 N om hem in deze baan te houden.
b.Deze kracht wordt geleverd door de zwaartekracht van de aarde en de
zon tezamen. Ga na welke van de twee gravitatiekrachten hieraan de grootste
bijdrage levert.
(bron: examen VWO 2015-pilot)
Rekenen met de wet van Kepler, de formules voor de
baansnelheid en de valversnelling
5.(VWO) Leid de wet van Kepler af.
6.In deze opdracht bestuderen we
twee manieren waarop de massa van de maan gemeten is.
a.In 1966 lukte het de Russen voor het eerst om het ruimtevaartuig Luna
10 in een baan om de maan te krijgen. Luna 10 bevond zich 682 km boven het
maanoppervlak en de omlooptijd was 178 minuten. Gebruik deze data om de massa
van de maan uit te rekenen. Kijk daarna in BINAS of je de juist waarde
gevonden hebt.
b.In 1969 lukte het de Amerikanen om op de maan te landen. Ze vonden
dat op het oppervlak van de maan de valversnelling gelijk was aan 1,62 m/s2.
Gebruik ook deze waarde om de massa van de maan te vinden.
7.Wat is de omlooptijd van
geostationaire satellieten?
8.(VWO) Geostationaire satellieten
zijn satellieten die meedraaien met de rotatie van de aarde om zijn eigen as.
Bereken op welke hoogte boven het aardoppervlak deze satellieten geplaatst
moeten worden.
9.De maan Oberon van Uranus heeft
een omlooptijd van 13,5 dagen. De afstand van Uranus tot zijn maan is 5,826 ×
105 km. Bereken hiermee de massa van Uranus. Kijk daarna wederom
in BINAS om te kijken of je de juiste waarde gevonden hebt.
10.In de koude oorlog wilden de
Amerikanen zo veel mogelijk te weten komen over de satellieten van de Russen.
De snelheid van de satellieten en de hoogte van de satellieten boven het
aardoppervlak kon men snel achterhalen. Het vinden van de massa van de
satellieten bleek echter niet mogelijk. Laat aan de hand van een berekening
zien dat de massa geen invloed heeft op de beweging van de satelliet en dus
ook niet te meten is.
11.(VWO) Een satelliet die door de
buitenste lagen van de atmosfeer rondcirkelt, ondervindt een kleine
wrijvingskracht. Als hij geen aandrijfmotor heeft, zal hij daardoor in een
steeds lagere baan rond de aarde gaan cirkelen en uiteindelijk op de aarde
neerstorten (zie de onderstaande grafiek).
Op een bepaald moment bevindt de satelliet zich op een hoogte van 400 km
boven de aarde. Bepaal op dit moment het hoogteverlies per omwenteling om de
aarde. Bereken hiervoor eerst hoe lang een omwenteling op deze hoogte duurt.
(bron: examen VWO 2011-2)
12.(VWO) De ringen van Saturnus
bestaan uit vele kleine ijs- en rotsblokken die in een baan om Saturnus
bewegen.
a.Laat met een formule zien dat de deeltjes in de ring dicht bij
Saturnus de deeltjes verder weg telkens inhalen.
b.In veel gevallen zouden deze ijs- en rotsblokjes door de
zwaartekracht samentrekken en een maan vormen. De zwaartekracht van Saturnus
maakt dit echter onmogelijk. Hieronder zien we bijvoorbeeld zo'n rotsblok.
Omdat het rotsblok in een cirkel om Saturnus draait, weten we dat de
gravitatiekracht die in het massamiddelpunt van het rotsblok werkt gelijk is
aan de middelpuntzoekende kracht (zie de onderstaande afbeelding).
Op positie L en N in de afbeelding is de gravitatiekracht echter niet gelijk
aan de middelpuntzoekende kracht. Laat zien dat de gravitatiekracht op punt L
groter is dan de middelpuntzoekende kracht en dat op punt N de middelpuntzoekende
kracht groter is dan de gravitatiekracht. Leg hiermee uit dat Saturnus met
deze krachten de steen uit elkaar probeert te trekken.
c.In verticale richting wordt de steen juist in elkaar gedrukt. Laat
met behulp van een tekening van krachten zien waarom dit gebeurt.
(bron: examen VWO 2012-pilot)
13.(VWO) De valversnelling is niet
overal op aarde precies gelijk. Dit komt o.a. door de aanwezigheid van
bergen. Om deze variaties te meten zijn twee satellieten, GRACE A en GRACE B,
gelanceerd. De twee satellieten draaien achter elkaar aan om de aarde op een
hoogte van 485 km met een onderlinge afstand van normaal gesproken 220 km.
Kleine afwijkingen in de zwaartekracht beïnvloeden de onderlinge afstand
tussen de satellieten.
a.Laat met een berekening zien dat de satellieten per etmaal 15 rondjes
maken om de aarde.
b.Hieronder zien we GRACE A en B over een gebergte bewegen. Leg uit dat
de berg ervoor zorgt dat de afstand tussen A en B eerst iets groter wordt en
daarna weer de oorspronkelijke waarde aanneemt.
c.Op een gegeven moment bewegen de twee GRACE satellieten over de
Himalaya. De Himalaya wordt in de afbeelding aangegeven als een massa MH. In
de getekende positie ondervinden beide satellieten elk een (zeer kleine)
extra versnelling aH door de gravitatiekracht van MH.
Voor de grootte van de onderlinge (relatieve) versnelling in de x-richting
tussen de twee satellieten geldt:
$$a_{rel,x} = GM_1\frac{d}{r^3}$$
Toon
dit aan.
d.In de onderstaande afbeelding is de onderlinge versnelling uitgezet
tegen de tijd voor de beweging over de Himalaya: Bepaal met dit figuur de
massa van de Himalaya.
In
hoofdstuk beweging en kracht hebben we rechtlijnige bewegingen bestudeerd. In
dit hoofdstuk gaan we dit uitbreiden door voorwerpen te bestuderen die een bocht
maken. Denk bijvoorbeeld aan een auto die de bocht door gaat of de beweging van
de aarde om de zon. Om bochten goed te begrijpen bestuderen we eerst de cirkelbeweging.
Hieronder zien we bijvoorbeeld een massa m, die een cirkelbeweging maakt
om het middelpunt M. De afstand tussen m en M blijft gedurende de
beweging constant. We noemen deze afstand de baanstraal (r).
