In deze paragraaf herhalen we kort de belangrijkste
grootheden, eenheden en SI-eenheden. Nieuw in deze paragraaf zijn een aantal
formules om het volume van verschillende voorwerpen uit te rekenen.
In de wetenschap beschrijven
we de wereld door metingen te verrichten. Alle eigenschappen die we kunnen
meten noemen we grootheden. Voorbeelden van grootheden zijn
'lengte', 'oppervlakte', 'volume', 'tijd', 'temperatuur' en 'snelheid'. De maten
waarin we deze eigenschappen meten worden eenheden genoemd. Voorbeelden van
eenheden zijn 'meter', 'vierkante meter', 'kubieke meter', 'seconden',
'minuten', 'graden Celsius' en 'meter per seconde'.
Een eenheid is gemakkelijk te
herkennen doordat we het achter een getal kunnen plaatsen. We zeggen
bijvoorbeeld 25 meter, maar niet 25 lengte. Meter is dus een eenheid, maar
lengte niet. In het vak natuurkunde is het verplicht om bij het
eindantwoord van een berekening altijd de eenheid te noteren.
De belangrijkste eenheden voor
de lengte staan hieronder genoemd.
De belangrijkste eenheden voor
de oppervlakte zijn:
De belangrijkste eenheden voor
het volume zijn:
In de laatste afbeelding zien
we dat het volume zowel in kubieke meter als in liter kunnen
weergeven. 1 L is bijvoorbeeld exact hetzelfde als 1 dm3. Er geldt
dus:
…
$$1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$$
…
In
BINAS tabel 36 kan je formules vinden voor het volume (V) en de oppervlakte (A)
van een aantal veelvoorkomende figuren. Hieronder zien we een aantal
voorbeelden hiervan.
De belangrijkste eenheden voor
de massa zijn:
Normaal gesproken gebruiken we
echter alleen de milligram, de gram en de kilogram:
In het dagelijks leven wordt
voor de massa ook wel het woord 'gewicht' gebruikt. Dit is echter onjuist. In
het hoofdstuk over kracht zullen we het verschil tussen massa en gewicht
toelichten.
Het is belangrijk om het
begrip volume en het begrip massa goed uit elkaar te houden. Het volume van een
voorwerp beschrijft hoeveel ruimte een voorwerp inneemt. De massa beschrijft
hoe zwaar een voorwerp is. In de rechter afbeelding wordt het verschil duidelijk.
Het stuk piepschuim heeft het grootste volume, omdat het meer ruimte inneemt.
De kogel heeft de grootste massa, omdat het zwaarder is.
Een aantal eenheden zijn in
het verleden uitgeroepen tot standaardeenheden. We noemen dit ook wel de
SI-eenheden (SI is een afkorting voor ‘Système international d'unités’ oftewel ‘standaard internationale
eenheden’). De meest fundamentele SI-eenheden worden de SI-grondeenheden
genoemd. Een aantal hiervan staan hieronder in de tabel:
Grootheid
SI-grondeenheid
Afstand
meter (m)
Tijd
seconde (s)
Massa
kilogram (kg)
Temperatuur
kelvin (K)
Door de SI-grondeenheden te
combineren kunnen we alle andere SI-eenheden afleiden. Van de SI-grondeenheid
meter (m) kunnen we bijvoorbeeld de SI-eenheid vierkante meter (m2)
en kubieke meter (m3) maken. Met meter (m) en seconde (s) kunnen we
bijvoorbeeld de SI-eenheid meter per seconde (m/s) maken. We noemen dit
afgeleide SI-eenheden.
In de natuurkunde zal je
regelmatig worden gevraagd om een bepaalde meetwaarde om te rekenen naar
SI-eenheden. Hieronder zien we hiervan twee voorbeelden:
Voorbeelden
Vraag 1: Reken 500 g om
in SI-eenheden.
De SI-eenheid van de massa is kilogram. Omgerekend wordt dit
0,500 kg.
Vraag 2: Reken 20 L om in SI-eenheden.
De SI-eenheid van het volume
is de kubieke meter. We gaan liter dus omschrijven naar kubieke meter.
Omgerekend wordt dit 20 L = 20 dm3 = 0,020 m3.
Omrekenen van eenheden en SI-eenheden
1.Beschrijf het verschil tussen
massa en volume.
2.Vul de volgende tabel aan:
Massa
kilogram
Volume
…
…
Liter
3.Schrijf de volgende waarden om:
a.2,231 L = ... mL
b.56,2 mL = ... L
c.5600 cm3 = ... L
d.66,08 mL = ... dm3
e.0,0765 L = ... cm3
f.1,54 dm3 = ... mL
g.1,7 dm3 = ... mL
h.150 mm3 = ... L
i.0,23 m3 = ... cL
j.0,9 dL = ... cm3
4.Schrijf de volgende waarden om:
a.150 kg = ... g
b.0,03kg = ... g
c.23 000 g = ... kg
d.0,025 g = ... mg
e.1 250 mg = ... g
f.0,25 kg = ... mg
g.0,023 kg = ...mg
5.Schrijf de volgende maten om in
SI-eenheden:
a.340 cm3
b.15000 mm3
c.150 g
d.25 L
e.260 mL
f.550 mg
g.80 dm2
h.400 km2
i.24 uur
j.2300 ms
6.Beschrijf hoe je een hoeveelheid
liter omschrijft in SI-eenheden.
Bereken en bepalen van het volume
7.Je hebt een 1,5 literfles cola.
Hoeveel bekers van 250 cm3 kan je hiermee vullen?
8.Een aquarium bevat 60 liter
water. De lengte van het aquarium is 50 cm. De breedte is 30 cm. Hoe hoog
staat het water?
9.Bepaal het volume van de steen in
de volgende afbeelding. Geef je antwoord in kubieke centimeters.
10.Bereken het volume en de
oppervlakte van de aarde. Zoek hiervoor eerst de straal van de aarde op in
BINAS tabel 31.
11.Een hoogspanningskabel heeft een
diameter van 30 mm. De kabel is 25 km lang. Bereken het volume van de kabel.
12.Het raam in een verwarmd huis
laat per seconde per vierkante meter 200 joule door. Het raam is hieronder
weergegeven.
a.Ga na hoeveel energie er per jaar verloren gaat.
b.Het raam is 2,0 cm dik. Bereken het volume van het
glas.
In deze
paragraaf herhalen we het omschrijven van formules. Ook zullen we een aantal
formules tegenkomen die iets complexer zijn dan de formules die we vorig jaar
gezien hebben.
Stel een auto
legt een bepaalde afstand af in een bepaalde tijd. De snelheid van de auto kan
dan worden berekend met:
…
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
…
Snelheid (v)
meter per seconde (m/s)
Verplaatsing (Δx)
meter (m)
Tijdsduur (Δt)
seconde (s)
Om dit te doen hebben we een
wiskundig trucje nodig. Als in een vergelijking aan de ene kant van de '='
wordt gedeeld door een bepaald getal, dan kan je in plaats daarvan ook
de andere kant van de '=' vermenigvuldigen met ditzelfde getal.
Hieronder zien we een getallenvoorbeeld waar dit wordt
uitgevoerd:
De omgekeerde regel
geldt ook. Als we aan de ene kant van de '=' met een waarde vermenigvuldigen,
dan kunnen we ook aan de andere kant door deze waarde delen. Dit zien we
hieronder:
We kunnen dit trucje gebruiken om formules om te
schrijven in elke gewenste vorm. Dit doen we in twee stappen. Eerst zorg je dat
je een eventuele breuk in de formule wegwerkt. Daarna schrijf je
de formule om met het wiskundige trucje dat hierboven beschreven is.
Laten we dit toepassen op de formule voor de snelheid.
Stel we willen de formule omschrijven in een formule om de tijd uit te rekenen.
We voeren dan de volgende stappen uit:
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; v \times \Delta t = \Delta \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \Delta t = \frac{\Delta x}{v} $$
Met het onderstaande programma kan je oefenen met omschrijven. Merk ook op in welke problemen je komt als je niet eerst de breuk wegwerkt.
Hieronder zien
we een iets complexere formule. Met deze formule kan de kracht worden berekend
waarmee een voorwerp in een cirkelbaan gehouden kan worden:
$$ F = \frac{mv^2}{r} $$
Hieronder
schrijven we aan de linkerkant de formule om zodat we de massa (m) kunnen
uitrekenen. Rechts doen we hetzelfde voor de snelheid (v):
$$ F = \frac{mv^2}{r} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;F \times r = mv^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;
\frac{F \times r}{v^2} = m $$
$$ F = \frac{mv^2}{r} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; F \times r = mv^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\frac{F \times r}{m} = v^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \sqrt{\frac{F \times r}{m}} = v $$
Omschrijven van formules
1.
Schrijf minimaal tien formules om in de juist vorm. Ga door tot je een formule consistent binnen 10 seconden kan omschrijven.
2.Schrijf de volgende formules in
de aangegeven vorm:
A / B = C
A = ...
A / B = C
B = ...
X × Y = Z
Y = ...
X / Y = Z
Y = ...
1 / f = T
f = ...
3.Beschrijf de stappen die nodig
zijn om een formule om te schrijven in een andere vorm.
4.De formule voor de snelheid wordt
gegeven door:
$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Schrijf deze formule om zodat hier de verplaatsing
(Δx) mee berekend kan worden.
5.Een auto rijdt 1200 meter met een
snelheid van 25 m/s. Bereken met de bovenstaande formule hoe lang de auto
hier over doet. Schrijf hiervoor eerst de formule om in de juiste vorm.
6.De formule voor de zwaartekracht
(Fz) wordt gegeven door:
$$F_z = mg$$
Geef de formule voor massa (m) en geef de formule
voor de valversnelling (g).
7.De formule voor een weerstand (R)
van een stroomdraad wordt gegeven door:
$$R= \frac{U}{I}$$
Geef de formule voor de spanning (U) en de formule
voor de stroomsterkte (I).
8.De formule voor de kracht (F)
waarmee een voorwerp in een cirkelbaan gehouden kan worden is gelijk aan:
$$ F = \frac{mv^2}{r} $$
Geef de formule voor de massa (m), de formule voor
baanstraal (r) en de formule voor de snelheid (v).
9.De formule voor de snelheid (v)
van een voorwerp dat in een cirkelbaan beweegt is:
$$ \frac{2\pi r}{T} = v $$
Geef de formule voor de omlooptijd (T) en de formule
voor baanstraal (r).
10.De formule voor het volume (V)
van een bol is:
$$ \frac{4}{3}\pi r^3 = V $$
Geef de formule voor de straal (r).
11.De formule voor de
gravitatiekracht (Fg) is:
$$ F_g = \frac{GMm}{r^2} $$
Geef de formule voor de gravitatieconstante (G), de
formule voor massa (M) en de formule voor de afstand (r).
In deze paragraaf herhalen
we het concept dichtheid. We gaan nu ook gebruik maken van de formules voor het
volume uit paragraaf 2.
Niet alle stoffen zijn even zwaar. Een kubieke centimeter
goud is bijvoorbeeld zwaarder dan een kubieke centimeter aluminium. We
beschrijven dit verschil met de zogenaamde dichtheid.
Een kubieke centimeter goud heeft bijvoorbeeld
altijd een massa van 19,3 gram. We zeggen daarom dat de dichtheid van
goud gelijk is aan 19,3 g/cm3. Aluminium heeft bijvoorbeeld
altijd een dichtheid van 2,7 g/cm3. Aluminium heeft dus een kleinere
dichtheid dan goud. Als we in het dagelijks leven zeggen dat goud 'zwaarder' is
dan aluminium, dan bedoelen we eigenlijk dat de dichtheid van goud groter is
dan van aluminium.
We kunnen de dichtheid van een stof als volgt berekenen:
…
$$\rho = \frac{m}{V}$$
…
massa (m)
kilogram (kg)
volume (V)
kubieke meter (m3)
dichtheid (ρ, spreek dit uit als 'rho')
kilogram per kubieke meter (kg/m3)
In SI-eenheden wordt de dichtheid gegeven in kg/m3,
maar zoals we in de tekst gelezen hebben, wordt ook regelmatig gebruik gemaakt
van g/cm3. Als je met kg/m3 werkt, dan moet je
vanzelfsprekend de massa in kg invullen en het volume in m3. Als je
met g/cm3 werkt, dan moet je de massa in g invullen en het volume in
cm3.
De dichtheden van een heel aantal stoffen kan je opzoeken
in BINAS. De eenheid boven de tabel is hier 103kgm-3.
De tienmacht vertelt ons dat we de waarde uit de tabel nog met 103
moeten vermenigvuldigen. kgm-3 is een andere schrijfwijze van kg/m3.
Stappenplan dichtheid
Vraag: Wat is de massa van 1,2 dm3 ijzer?
Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en zoek de
dichtheid op:
V = 1,2 dm3
ρ = 7870
kg/m3
m = ?
Stap 2: Schrijf de gegevens om in SI-eenheden:
V = 0,0012 m3
Stap 3: Schrijf de formule ρ=m/V om in de juiste vorm:
We willen de
massa m uitrekenen. De formule wordt:
\(m = \rho \times V\)…
Stap 4: Vul de formule in en reken het antwoord uit. Denk eraan
de eenheid achter het antwoord te schrijven.
0,0012 × 7870
= 9,4 kg
Begrijp het begrip dichtheid
1.De dichtheid van aluminium is 2,7
g/cm3. Wat betekent dit?
2.Beschrijf het verschil tussen
massa, volume en dichtheid.
3.Hieronder zie je drie blokjes die
uit hetzelfde stuk hout zijn gesneden.
a.Welke blokjes hebben dezelfde massa? Leg je antwoord
uit.
b.Welke blokjes hebben hetzelfde volume? Leg je
antwoord uit.
c.Welke blokjes hebben dezelfde dichtheid? Leg je antwoord
uit.
4.Stel je wil de dichtheid van een
voorwerp meten. Leg uit hoe dit moet. Vertel hierbij welke metingen je moet
verrichten, hoe je deze metingen uitvoert, welke berekeningen je maakt en
welke eenheid je achter het antwoord zet.
5.Leg uit waar je op moet letten
bij het aflezen van de dichtheid uit BINAS.
6.Vergelijk de dichtheid van een
kilogram aluminium en 40 kilogram aluminium.
7.Een koperen voorwerp heeft
hetzelfde volume als een ijzeren voorwerp. Welk voorwerp heeft de grootste
massa?
8.Een koperen voorwerp heeft
dezelfde massa als een ijzeren voorwerp. Welk voorwerp heeft het grootste
volume?
Rekenen met dichtheid
9.Bereken in de volgende drie
gevallen de dichtheid:
Massa
Volume
Dichtheid
2,3 g
0,8 cm3
...... g/cm3
2000 g
0,550 dm3
...... g/cm3
2500 mg
665 mL
...... kg/m3
10.Een plank heeft een massa van 1,0
kg. De plank is 2 cm dik, 10 cm breed en 80 cm lang. Bereken de dichtheid van
de plank in kilogram per kubieke meter.
11.In de onderstaande afbeelding
wordt een steentje ondergedompeld. Het steentje heeft een massa van 15 gram.
Bepaal de dichtheid.
12.Een voorwerp heeft een massa van
200 gram en een volume van 76,9 cm3. Van welke stof is dit
voorwerp gemaakt?
13.Bereken de massa van 0,0050 m3
koper.
14.Bereken de massa van 1,5 dm3
koper.
15.Bereken het volume van 20 gram
aluminium.
16.Een lege kamer heeft een lengte
van 8,0 m, een breedte van 5,0 meter en een hoogte van 2,5 meter. Wat is de
massa van de lucht in de kamer?
17.Bereken de gemiddelde dichtheid
van de aarde. Gebruik hiervoor gegevens uit BINAS.
18.Een koperen stroomdraad heeft een
diameter van 2,0 mm en een lengte van 40,0 m. Bereken de massa van de draad.
19.Een aluminium kabel heeft een
massa van 188 gram en een diameter van 2,5 mm. Wat is de lengte van de kabel?
In deze paragraaf herhalen
we kort de theorie achter drijven en zinken. Ook gaan we deze theorie toepassen
om te begrijpen waarom zware boten toch blijven drijven.
Met de dichtheid kunnen we o.a. voorspellen of een
voorwerp zal drijven of zinken. Als een voorwerp een grotere dichtheid
heeft dan de omringende vloeistof, dan zal het voorwerp zinken. Als het een lagere
dichtheid heeft, dan blijft het drijven.
Piepschuim heeft bijvoorbeeld een lagere dichtheid dan
water en blijft dus drijven (zie de onderstaande afbeelding). Dit geldt zelfs
als je een gigantisch stuk piepschuim van duizenden kilogram in het water zou
leggen. Het omgekeerde is waar voor een stukje metaal. Dit heeft een grotere
dichtheid en als gevolg daarvan zal zelfs het lichtste stukje metaal zinken.
Hieronder zien we een gigantisch containerschip met een
grote massa. Hoe kan het dat dit schip blijft drijven?
We gaan dit begrijpen met behulp van een simpel
voorbeeld. Stel we hebben een stalen plaat van 7800 kg met een lengte van 5,0
meter, een breedte van 10,0 meter en een dikte van 2,0 centimeter. Het volume
van de plaat is in dat geval 5,0 × 10,0 × 0,020 = 1,0 m3. De
dichtheid wordt dan:
Deze dichtheid is veel groter dan de dichtheid van water
(998 kg/m3) en als gevolg daarvan zal de plaat dus zinken.
Nu bouwen we een dun muurtje aan de randen van de stalen
plaat. We maken het muurtje 16,0 cm hoog en zorgen dat het muurtje zo dun is
dat het zo goed als niets weegt (zie de onderstaande afbeelding).
Het totale volume van onze boot is nu 5,0 × 10,0 × 0,160
= 8,0 m3. De dichtheid wordt in dit geval:
Dit is kleiner dan de dichtheid van water (998 kg/m3)
en als gevolg daarvan zal de boot dus drijven! Een klein muurtje van 16 cm is
dus al genoeg om een stalen plaat van 7800 kg te laten drijven! Met behulp van
dit principe worden ook containerschepen ontworpen.
Bereken of voorwerpen drijven of zinken
1.In de onderstaande afbeelding
zien we dat een moer van ijzer gewoon blijft drijven op het metaal kwik. Wat
zegt dit over de dichtheden van ijzer en kwik? Ga met behulp van BINAS na of dit
klopt.
2.De zoutconcentratie van de dode
zee is erg groot. Dit zorgt ervoor dat mensen hier erg goed op drijven. Wat
zegt dit over het verschil tussen de dichtheid van zoet en zout water?
3.Een voorwerp heeft een volume van
350 mL en een massa van 340 gram.
a.Drijft dit voorwerp in water of niet?
b.Zonnebloemolie heeft een dichtheid van 0,92 g/cm3.
Drijft dit voorwerp in zonnebloemolie of niet?…
4.Een plank heeft een massa van 10
kg. De plank is 2,0 cm dik, 10 cm breed en 80 cm lang.
a.Bereken of de plank blijft drijven.
b.We zagen een kwart van de plank af. Bereken of de
plank nu blijft drijven.
c.Verklaar het antwoord van vraag b.
5.In een experiment in de klas
wordt de dichtheid van een leerling bepaald. Eerst wordt met een weegschaal
de massa van de leerling bepaald. De leerling blijkt 45 kg te wegen. Dan
wordt er een bak met water de klas in gereden. De bak heeft een lengte van
1,0 m en een breedte van 60 cm. Het water komt 40 cm hoog. De leerling stapt
nu in de bak water en gaat helemaal kopje onder. Als de leerling heeft
uitgeademd wordt de nieuwe hoogte van het water gemeten. Dit blijkt 47,3 cm
te zijn.
a.Bereken de dichtheid van de leerling.
b.Ga ook na of de leerling drijft of zinkt.
c.Leg uit of je het antwoord bij vraag b verwacht had.
6.Een scubadiver gebruikt een
buoyancy control device (BCD) om in het water te zinken of drijven. Om te
zinken laat de duiker lucht uit de BCD stromen.
a.Leg uit dat dit ervoor kan zorgen dat de duiker
zinkt.
b.Om weer boven water te komen laat de duiker wat
lucht van de zuurstoffles in de BCD stromen. Leg uit waarom dit werkt.
c.De BCD kan ook gebruikt worden om net te blijven
zweven op dezelfde plek onder water. Leg uit hoe dit werkt.
Bereken of een boot drijft of zinkt
7.Een boot van staal wordt in het
water gelegd. De boot heeft een massa van 15000 kg. De boot heeft de vorm van
een balk. De lengte is 5,0 m, de breedte 3,0 m en de hoogte 90 cm. Bereken of
deze boot zinkt of drijft.
8.Een ijzeren plaat heeft een
lengte van 5,0 m, een breedte van 2,5 m en een dikte van 5 centimeter. Om de
plaat wordt een muurtje gemaakt met een verwaarloosbare massa.
a.Bereken de massa van de ijzeren plaat.
b.Hoe hoog moet het muurtje zijn wil de boot net
blijven drijven?
9.In de onderstaande grafiek kunnen
we de luchtdichtheid aflezen bij verschillende hoogten in de atmosfeer.
Een persoon gebruikt deze diagram om een schatting te
maken hoe hoog hij kan reizen met zijn hete luchtballon. Een hete luchtballon
is een grote ballon waarbij de lucht aan de binnenkant verwarmd wordt met een
grote vlam.
a.Leg uit waarom een hete luchtballon bij het
verwarmen gaat opstijgen.
b.De luchtballon heeft een volume (met lucht) van 500
m3 en een massa van 450 kg. Bereken hoe hoog de ballonvaarder maximaal met deze
ballon kan komen.
10.(VWO) Een duikboot heeft een
volume van 1900 m3. In een duikboot zitten een aantal kamers waar water in en
uit gepompt kan worden. Als deze kamers leeg zijn, dan heeft de duikboot een
massa van 1 400 000 kg. Hoeveel liter water moet er minimaal in deze kamers
worden gepompt als de duikboot wil zinken?
11. (VWO) Een ijzeren plaat heeft
een lengte van 5,0 m, een breedte van 2,5 m en een dikte van 5 centimeter. Om
de plaat wordt een muurtje gebouwd van 1,0 meter. De massa van het muurtje zelf
is verwaarloosbaar. De boot wordt gevuld met zand. Bereken bij hoeveel zand
de boot voor het eerst zal zinken.
