Hoofdstuk 2
Beweging

§1 Snelheid

In deze paragraaf gaan we leren de snelheid te berekenen. We gaan dit doen in zowel m/s als km/h.

De snelheid van een voorwerp kunnen we als volgt berekenen:

$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = v$$

Verplaatsing (Δx)	meter (m)
Tijdsduur (Δt)	seconde (s)
Snelheid (v)	meter per seconde (m/s)

De x staat voor de positie van een voorwerp. Het Δ-teken staat voor 'de toename van'. Δx staat dus voor de toename van de positie. We noemen dit ook wel de verplaatsing.

Stel dat een voorwerp verplaatst van positie x = 1 meter naar positie x = 5 meter in 8 seconden. Het voorwerp is dan natuurlijk 4 meter verplaatst. De snelheid wordt in dit geval:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

$$ v = \frac{4}{8} = 0,5 \text{ m/s} $$

De SI-eenheid voor de snelheid is meter per seconde, maar in het dagelijks leven wordt ook vaak kilometer per uur gebruikt. Het is belangrijk dat we deze eenheden in elkaar om kunnen schrijven.

Stel we willen 80 km/h omrekenen naar m/s. We rekenen dan eerst kilometer per uur om naar meter per uur:

$$ 80 \text{ km/h} = 80 000 \text{ m/h} $$

Dan rekenen we meter per uur om naar meter per seconde:

$$ \frac{80 000 \text{ m/h}}{60 \times 60} = 22 \text{ m/s} $$

Stel we willen 22 m/s omrekenen naar km/h. We rekenen dan eerst meter per seconde om naar meter per uur:

$$ 22 \text{ m/s} \times 60 \times 60 = 80 000 \text{ m/h} $$

Daarna rekenen we om naar kilometer per uur:

$$ 80 000 \text{ m/h} = 80 \text{ km/h} $$

We kunnen ook gebruik maken van de volgende regel:

$$ \text{km/h} \;\; : \;\; 3,6 \;\; \rightarrow \;\; \text{m/s} $$

$$ \text{m/s} \;\; \times \;\; 3,6 \;\; \rightarrow \;\; \text{km/h} $$
…

Stappenplan: Rekenen met snelheid

Vraag: Een leerling is aan het hardlopen. Zijn doel is om binnen drie minuten 1,0 kilometer te rennen. De leerling rent 3,0 minuten lang met een snelheid van 18 km/h. Bereken of de leerling zijn doel bereikt heeft.

Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en reken ze zoveel mogelijk om in dezelfde eenheden. In dit voorbeeld kiezen we voor meter en seconde:

$$ \Delta t = 3,0 \text{ min} = 3,0 \times 60 = 180 \text{ s} $$

$$ v = 18 \text{ km/h} = 18/3,6 = 5,0 \text{ m/s} $$

Stap 2: Schrijf de formule op en geef aan welke gegevens je weet en welk gegeven je wilt weten:

Stap 3: Schrijf de formule nu om in de juiste vorm. Doe dit systematisch. Ga niet gokken!

$$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = v \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \Delta x = v \times \Delta t $$

Stap 4: Vul de formule in:

$$ \Delta x = v \times \Delta t $$

$$ \Delta x = 5,0 \times 180 = 9,0 \times 10^2 \text{ m} $$

Stap 5: Schrijf de conclusie op. Leg uit hoe je aan deze conclusie komt. Denk ook aan de eenheid achter het antwoord:

9,0 × 10² m is minder dan 1,0 kilometer, dus de leerling heeft zijn doel niet bereikt.

Omschrijven van snelheden

1. De maximumsnelheid voor verkeer binnen de bebouwde kom is 50 km/h. Hoeveel m/s is dit?

2. Een sprinter rent de honderd meter met een gemiddelde snelheid van 10 m/s. Reken dit om naar km/h.

3. Een straaljager vliegt met 1500 km/h. Reken dit om naar m/s.

4. De aarde draait met een snelheid van 30 km/s om de zon. Reken deze snelheid om naar km/h.

5. Beschrijf hoe je m/s en km/h in elkaar omschrijft.

Rekenen met Δx/Δt = v

Level 1:

1. Een auto rijdt in 30 s een afstand van 600 m. Bereken de snelheid van de auto.

2. Mario rent 12 s lang met een snelheid van 6 m/s. Bereken hoeveel afstand hij heeft afgelegd.

3. Een fietser rijdt 20 minuten lang met een constante snelheid. De snelheidsmeter geeft aan dat de fietser 24 km/h rijdt. Bereken welke afstand de fietser heeft afgelegd.

4. Een auto rijdt met een snelheid van 100 km/h een afstand van 700 m. Bereken hoe lang de auto hierover doet.

5. Een werper bij honkbal werpt de bal met een snelheid van 160 km/h naar de slagman. Deze staat op een afstand van 18,45 m. Bereken na hoeveel seconden de bal bij de slagman is.

6. Een leerling is aan het hardlopen. Zijn doel is om binnen 50 seconden 200 meter te rennen. De leerling rent met een snelheid van 16 km/h. -Bereken of de leerling zijn doel bereikt heeft.

7. Een Boeing vliegt binnen 55 minuten van Amsterdam naar Londen. De afstand tussen de vliegvelden is 358 kilometer. Bereken de gemiddelde snelheid van het vliegtuig.

8. De snelheid van geluid in lucht is 340 m/s. Het onweert 8 km verderop. Bereken hoelang het duurt voordat je de donder hoort.

9. Een kogel wordt met een snelheid van 550 km/h uit een geweer weggeschoten. Al na 0,75 s raakt de kogel zijn doel. Bereken de afstand tussen geweer en doel.

Level 2:

10. Een automobilist rijdt met een snelheid van 100 km/h van Amsterdam naar Utrecht. De afstand tussen deze plaatsen is 34 km. De automobilist verlaat Amsterdam om 16:52 uur en wil om 17:12 uur in Utrecht aankomen. Komt de automobilist op tijd aan? …

11. Een etappe in de Tour de France heeft een afstand van 175 km. De geschatte aankomsttijd bij een snelheid van 44 km/h is 15:50 uur. Bereken de starttijd.

12. De aarde draait elke 365 dagen een keer om de zon heen. De snelheid van de aarde is 30 km/s. Hoeveel meter legt de aarde af in een jaar?

13. Twee leerlingen gaan een stuk fietsen. Ze vertrekken tegelijkertijd vanaf hetzelfde punt. De eerste leerling fietst met een snelheid van 3 m/s en de tweede met een snelheid van 7,5 m/s. Na 49 seconden loopt de ketting van de tweede leerling vast. Hoeveel seconden moet de eerste leerling vanaf dit moment nog fietsen totdat hij de tweede leerling inhaalt?

§2 Gemiddelde snelheid

In deze paragraaf gaan we leren rekenen met de gemiddelde snelheid. We introduceren twee formules waarmee we dit kunnen doen.

De gemiddelde snelheid van een beweging wordt gegeven door:

$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = v_{gem}$$
…

Verplaatsing (Δx)	meter (m)
Tijdsduur (Δt)	seconde (s)
Gemiddelde snelheid (v_gem)	meter per seconde (m/s)

Als een voorwerp geleidelijk versnelt of vertraagt, dan spreken we van een eenparige versnelling. In dit geval kunnen we de gemiddelde snelheid ook als volgt uitrekenen:

$$ \frac{v_{b}+v_{e}}{2} = v_{gem} \;\;\;\; \text{(eenparig)} $$
…

Beginsnelheid (v_b)	meter per seconde (m/s)
Eindsnelheid (v_e)	meter per seconde (m/s)
Gemiddelde snelheid (v_gem)	meter per seconde (m/s)

Stel dat een auto bijvoorbeeld versnelt van 10 m/s naar 30 m/s, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan:

$$ \frac{10+30}{2} = 20 \text{ m/s} $$

Let erop dat je als volgt haakjes gebruikt in je rekenmachine:

$$ (10 + 30 )/2 = 20 \;\;\;\;\;\;\; \text{ rekenmachine} $$

Voorbeeld

Opdracht:
Een auto versnelt gedurende 10 seconden van 20 naar 30 m/s. De versnelling is eenparig. Hoeveel meter heeft de auto afgelegd?

Antwoord:
Eerst berekenen we de gemiddelde snelheid:…

$$v_{gem} = \frac{v_{\text{begin}}+v_{\text{eind}}}{2} $$

$$v_{gem} = \frac{20 + 30}{2} = 25 \text{ m/s}$$

Met de gemiddelde snelheid kunnen we de afstand uitrekenen:

$$\Delta x = v_{gem} \times \Delta t $$

$$\Delta x = 25 \times 10 = 250 \text{ m}$$

De auto heeft tijdens de versnelling dus 250 m afgelegd.

Rekenen met de gemiddelde snelheid

1. Een auto versnelt eenparig in 12 seconden van 10 m/s naar 35 m/s. Bereken de afstand die de auto tijdens de beweging heeft afgelegd.

2. Een auto trekt met een eenparige versnelling vanuit stilstand op tot 40 m/s en legt een afstand van 950 meter af. Bereken hoe lang de auto over de versnelling heeft gedaan.

3. Een automobilist die met een snelheid van 80 km/h rijdt, trapt op zijn rem totdat hij eenparig tot stilstand is gekomen. Het remmen duurt 4 seconden. Bereken de remweg van de bestuurder.

4. Een parachutespringer valt met een snelheid van 200 km/h. Dan trekt de springer zijn parachute open. Na 0,70 s is zijn snelheid eenparig afgenomen tot 40 km/h. Bereken hoeveel meter de parachutist in de tussentijd heeft afgelegd.’

5. Een persoon laat een bal vanuit stilstand vallen van een gebouw met een hoogte van 100 m. De bal versnelt hierdoor eenparig tot een snelheid van 44 m/s. Bereken de valtijd van de bal.

6. Een auto trekt binnen 4,0 s op met een eenparige versnelling tot een snelheid van 70 km/h. Bereken welke afstand de auto heeft afgelegd tijdens het optrekken.

§3 Grafieken

In deze paragraaf gaan we leren hoe we in de natuurkunde met behulp van meetwaarden een grafiek maken.

Een goede manier om metingen weer te geven is met behulp van tabellen en grafieken. Hieronder zien we bijvoorbeeld een tabel met daarin de valtijd van een voorwerp bij verschillende hoogten. Belangrijk is om bij elke kolom de grootheid te schrijven en daarachter tussen haakjes de eenheid. Van deze tabel kunnen we de rechter grafiek maken.

Hoogte (m)	Tijd (s)
0	0
10	1,4
20	2,0
30	2,5
40	2,9

Er zijn een aantal belangrijke regels voor het maken van grafieken in de natuurkunde:

· Schrijf altijd de grootheden en tussen haakjes de eenheden bij de assen.

· Verdeel de assen in gelijke stapjes. Maak de stapjes niet te ingewikkeld. Neem dus bijvoorbeeld niet 0 13 26 39 52 65. Dit is lastig aflezen.

· Zet alle meetpunten zo precies mogelijk in het diagram. Het maakt hier niet uit als sommige meetpunten niet mooi op een lijn liggen.

· Trek dan een vloeiende lijn die zo goed mogelijk door de meetpunten loopt. We noemen dit ook wel de trendlijn. Het komt regelmatig voor dat een aantal punten niet op de vloeiende lijn ligt. Dit komt doordat zo goed als alle metingen in zekere mate onnauwkeurig zijn. Hoe verder het punt van de lijn af ligt, hoe groter de meetfout.

Hieronder zien we nog een voorbeeld van een trendlijn. Wederom zien we hier een vloeiende lijn. Merk op dat deze lijn niet recht hoeft te lopen. Ook hier zijn duidelijk een paar meetfouten te zien. De meetwaarde met de grootste meetfout is omcirkeld.

Als je de grafiek afleest, dan is het belangrijk niet naar de meetpunten te kijken, maar naar de trendlijn. De individuele meetpunten kunnen immers meetfouten bevatten.

Tekenen van grafieken en tabellen op basis van meetwaarden

1. Een leerling laat water uit een grote bak stromen en meet om de paar seconden hoeveel water er nog in de bak zit. De leerling zet zijn metingen in het volgende diagram.

a. Teken de grafiek in het bovenstaande diagram.

b. Omcirkel de twee grootste meetfouten.

2. Geef bij de volgende diagrammen aan wat er ontbreekt of niet klopt:

3. Noteer vier dingen waar je op moet letten bij het maken van een grafiek in de natuurkunde.

4. Hieronder zien we een grafiek van de massa en het volume van een aantal stukjes van hetzelfde soort glas.

a. Wat is de dichtheid van dit glas?

b. Waarom staan de meetpunten niet helemaal precies op een lijn?

5. Een leerling heeft vier voorwerpen van een onbekend materiaal. De leerling meet de massa en het volume van deze voorwerpen en schrijft de meetgegevens in deze tabel:

	massa (kg)	volume (m³)
	10	0,017
	30	0,052
	60	0,103
	80	0,138

a. Maak een diagram bij deze tabel met op de horizontale as de massa en op de verticale as het volume.

b. Omcirkel de grootste meetfout.

c. Van welk materiaal zouden deze voorwerpen gemaakt kunnen zijn?

6. Een leerling heeft een aantal voorwerpen die van hetzelfde materiaal zijn gemaakt. Hij meet van deze voorwerpen de massa en het volume en zet deze gegevens in een tabel:

	massa (kg)	volume (dm³)
	5	0,6
	8	0,9
	10	1,4
	13	1,5
	18	1,6
	20	2,4
	27	3,0

a. Maak een grafiek van deze tabel met op de horizontale as de massa en op de verticale as het volume.

b. Omcirkel de twee metingen met de grootste meetfout.

c. Van welk materiaal kunnen deze voorwerpen gemaakt zijn?

7. Teken een grafiek waarin je het verband weergeeft tussen de massa en het volume van lood. Zet op de horizontale as de massa in kg en laat dit lopen van 0 tot 30 kg in stapjes van 10 kg.

8. Een heliumballon stijgt op in de atmosfeer. Bevestigd aan de ballon zit een klein apparaatje waarmee om de paar kilometer de dichtheid van de lucht in de atmosfeer gemeten wordt. De meetgegevens staan in de onderstaande tabel:

	Hoogte (km)	Dichtheid lucht (kgm^-3)
	2,5	0,94
	5,0	0,69
	7,5	0,50
	10,0	0,37
	12,5	0,27
	15,0	0,19

a. Teken de grafiek met op de horizontale as de hoogte en op de verticale as de dichtheid.

b. De ballon heeft een massa van 2,0 gram en is met 3,0 liter helium gevuld. Bepaal met behulp van de grafiek hoe hoog de heliumballon maximaal zal opstijgen.

§4 Het (x,t)-diagram

Behalve met formules, kunnen we beweging ook beschrijven met grafieken. In deze paragraaf gaan we kijken naar de zogenaamde (x,t)-diagrammen.

Een (x,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de positie (x). Hieronder is een aantal bewegingen beschreven met behulp dit type diagram. Links zien we een grafiek die horizontaal loopt. De positie x verandert hier niet in de tijd. Het voorwerp staat hier dus stil. In de tweede afbeelding zien we een voorwerp dat zich geleidelijk verplaatst. Elke seconde wordt er evenveel meter afgelegd. We spreken hier van een constante snelheid of een eenparige beweging.

In de onderstaande linker afbeelding zien we een grafiek die steeds steiler gaat lopen. We zien dat in de eerste drie seconden slechts 0,5 meter wordt afgelegd en dat in de laatste drie seconden wel 4,5 m wordt afgelegd. Hoe steiler de lijn dus loopt, hoe sneller het voorwerp verplaatst. We hebben hier dus te maken met een versnelling. Rechts zien we een grafiek die steeds minder steil gaat lopen. Hier hebben we dus te maken met een vertraging.

Met behulp van een (x,t)-diagram kunnen we ook de snelheid uitrekenen. In het onderstaande diagram is de verplaatsing Δx gelijk aan 4,0 meter. De tijdsduur Δt van de beweging is 6,0 seconden. De snelheid is dus gelijk aan:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

$$ v = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}$$

Herkennen en schetsen van bewegingen in een (x,t)-diagram

1. Behaal 15 punten:
&

2. Noteer waar je op moet letten bij het aflezen van een (x,t)-diagram. Hoe herken je stilstand, constante snelheid, versnelling en vertraging?

3. Beschrijf de beweging van de voorwerpen in de volgende (x,t)-diagrammen.

4. Schets de volgende (x,t)-diagrammen:

a. Mario rent een tijdje met constante snelheid vooruit. Daarna gaat hij versnellen.

b. Mario staat eerst stil, maar dan gaat hij steeds sneller rennen. Als hij zijn gewenste snelheid bereikt heeft rent hij met constante snelheid verder.

c. Mario rent even met constante snelheid. Dan gaat hij steeds langzamer rennen tot hij stil staat. Hij blijft dan even uitrusten, maar daarna gaat hij weer versnellen.

d. Mario gooit zijn pet recht omhoog de lucht in. Uiteindelijk valt de pet op de grond.

e. Mario laat zijn pet uit zijn hand vallen. Uiteindelijk valt de pet op de grond.

Bepalen van de snelheid met behulp van een (x,t)-diagram

5. Bereken de snelheid van de voorwerpen die in de volgende (x,t)-diagrammen beschreven zijn.

6. Hiernaast zien we het (x,t)-diagram die de beweging van een parachutespringer beschrijft. De x staat hier voor de hoogte van de springer.

a. Bepaal op welke hoogte de parachute werd geopend. Leg uit hoe je op dit antwoord bent gekomen.

b. Bereken de beginsnelheid van de springer. Leg uit hoe je op dit antwoord bent gekomen.

c. Bereken de maximale snelheid die de springer bereikt. Leg uit hoe je op dit antwoord bent gekomen.

§5 Het (v,t)-diagram (VWO)

In deze paragraaf bespreken we de zogenaamde (v,t)-diagrammen. Ook hiermee kunnen we beweging beschrijven.

Een (v,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de snelheid (v). Hieronder is een aantal voorbeelden afgebeeld. Links zien we een grafiek waarbij de snelheid de gehele beweging gelijk is aan 0 m/s. De auto staat in dit geval dus stil. In de tweede afbeelding zien we een auto waarbij de snelheid de gehele tijd 2,0 m/s blijft. Hier hebben we dus te maken met een constante snelheid.

In de linker onderstaande afbeelding zien we een diagram waarbij de snelheid toeneemt. Er is hier dus sprake van een versnelling. Rechts neemt de snelheid juist af. Hier hebben we dus te maken met een vertraging. Let erop dat een vertraging niet betekent dat het voorwerp achteruit gaat. In dit geval gaat het voorwerp vooruit, maar steeds langzamer!

…

Herkennen van bewegingen in een (v,t)-diagram

1. Behaal ook hier 15 punten. Let op! Nu zitten (x,t)- en (v,t)-diagrammen door elkaar!

2. Noteer waar je op moet letten bij het aflezen van een (v,t)-diagram. Hoe herken je stilstand, constante snelheid, versnelling en vertraging. Noteer ook hoe je achteruit beweging weergeeft.

3. Beschrijf de beweging in de volgende diagrammen. Geef telkens aan of het voorwerp versnelt of vertraagt. Geef ook aan of het voorwerp vooruit of achteruit beweegt.

Beweging in een (v,t)-diagram schetsen

4. Schets de volgende v,t-diagrammen:

a. Mario gaat eerst met constante snelheid vooruit. Dan staat hij stil.

b. Mario begint langzaam te rennen met een constante snelheid. Na een tijdje versnelt hij.