De hoeveelheid energie die nodig is om de temperatuur van het voorwerp te verhogen, meten we met een joulemeter. Een joulemeter is eigenlijk niets anders dan een geïsoleerd bakje met daarin een verwarmingselement en een thermometer. In dit voorbeeld is de joulemeter gevuld met water. Dit water zal door het warmte-element verwarmd worden.

Het water in de joulemeter warmt op door de elektrische energie die via het stopcontact wordt toegevoegd. Hoeveel het water opwarmt kunnen we aflezen op de thermometer. Op deze manier kunnen we uitvinden hoeveel energie nodig is om een bepaalde hoeveelheid water een bepaalde hoeveelheid graden Celsius op te warmen.

De elektrische energie kunnen we berekenen met twee formules uit het hoofdstuk elektriciteit. Als eerste hebben we: $$ P = U \times I $$
Vermogen (P) Watt (W)
Spanning (U) Volt (V)
Stroomsterkte (I) Ampère (A)

P is het zogenaamde vermogen en dit wordt gemeten in Watt. Watt staat op zijn beurt weer voor de hoeveelheid energie die per seconde. Als het verwarmingselement dus een vermogen van 500W heeft, dan wordt er dus 500J aan elektrische energie per seconde aan warmte toegevoegd aan het water.

Als we als spanningsbron de netspanning gebruiken (het stopcontact), dan is de spanning altijd 230V.

Met het vermogen kunnen we als volgt de energie berekenen die in een bepaalde tijdsduur wordt gebruikt: $$ P = \frac{\Delta E}{\Delta t} $$
Vermogen (P) Watt (W)
Tijd (t) Seconde (s)
Energie (E) Joule (J)

Met de volgende formule kunnen we dan de temperatuurstijging (ΔT) berekenen:

$$ Q = c m \Delta T $$
Warmte (Q) joule (J)
Soortelijke warmte (c) jouler per kilogram per Kelvin (J/kg/K)
Massa (m) kilogram (kg)
Temperatuursverandering (ΔT) Kelvin (K)

De temperatuursverandering is gegeven in de SI-eenheid Kelvin, maar we vinden hetzelfde antwoord als we de temperatuursverandering in graden Celsius invoeren. Of het nu immers een temperatuurstijging van 0 naar 10 °C of van 273K naar 283K maakt, de temperatuurstijging is in beide gevallen 10.

De soortelijke warmte is een materiaaleigenschap waarvan de waarde voor een aantal stoffen in BINAS staat. De eenheid is joule per kilogram per kelvin. Het vertelt ons dus hoeveel joule aan energie we nodig hebben de temperatuur van een kilogram van een stof te verwarmen met één kelvin (of met één graden Celsius).

De formule wordt ook vaak gebruikt in combinatie met de formule voor de dichtheid. We vinden dan:

$$ Q = c \rho V \Delta T $$
Warmte (Q) joule (J)
Dichtheid (ρ) kilogram per kubieke meter (kg/m3)
Volume (V) kubieke meter (m3)
Temperatuursverandering (ΔT) Kelvin (K)

Tot nu toe zijn we er van uitgegaan dat onze joulemeter perfect geïsoleerd is. In de praktijk is dit natuurlijk niet het geval. Een deel van de warmte zal de joulemeter dus verlaten. Sommige energie die het warmte element levert zal dus nuttig gebruikt worden en sommige energie zal worden verspild. Het percentage energie dat nuttig gebruikt wordt noemen we het rendement.

Een ander voorbeeld waarvoor we de formule kunnen gebruiken is bijvoorbeeld voor het opwarmen van een kamer. We gebruiken hiervoor meestal een verwarming en het water in deze verwarming wordt meestal opgewarmd doordat elders in het gebouw het water verwarmd wordt door de verbranding van aardgas. In Nederland gaat dit vaak om Grongings aardgas. In BINAS kan je voor dit gas en andere brandstoffen de zogenaamde stookwaarde vinden. Dit vertelt ons hoeveel joule er vrijkomt bij het verbranden van een kubieke meter aardgas. Voor Gronings aardgas is dit 32 x 106 J/m3.

Als we rekenen met de stookwaarde, dan is het vaak handig om verhoudingstabellen te gebruiken. Stel we willen bijvoorbeeld weten hoeveel Gronings aardgas we moeten verbranden om 1,3 x 105 J aan warmte te genereren. We vinden dan:
32 × 106 joule 1,3 × 105 joule
1 m3 0,0041 m3




Training
    Rekenen met Q=cmΔT, P=UI en E=Pt.
  1. Een blokje koper met een massa van 165 gram heeft een temperatuur van 20°C. Bereken hoeveel warmte moet worden toegevoerd om de temperatuur te laten stijgen tot 35°C.
  2. Een brok zilver van 22 gram en 20°C wordt sterk afgekoeld. Het zilver staat hierbij 500J aan warmte af. Bereken de eindtemperatuur.
  3. Bereken hoeveel warmte je aan 8 gram water moet toevoeren om dit water een temperatuurstijging van 20 graden Celsius te geven.
  4. Een hete ijzeren kogel met een massa van 220 g heeft een temperatuur van 190°C. In de eerste minuut van het afkoelen staat de kogel 5566J aan warmte af. Bereken de temperatuur van de kogel na deze minuut.
  5. Een gouden ring van 22 g wordt verwarmd van 20°C naar 35°C. Hierbij wordt 42 J aan warmte toegevoerd. Bereken de soortelijke warmte van de ring.
  6. Een hoeveelheid water staat 4000J aan warmte af als het afkoelt van 40°C naar 25°C. Bereken de massa van het water.
  7. Een thermometer hangt in een huiskamer. De thermometer bestaat uit 4,5g glas en 2,5g alcohol. De kamertemperatuur stijgt van 15°C naar 22°C. De soortelijke warmte van de glassoort is 800 J/kg/°C. Bereken hoeveel warmte de gehele thermometer opneemt.
  8. Een stuk koper en een stuk hout worden door direct zonlicht verwarmd. Het zand krijgt een hogere temperatuur. Leg uit waarom.
  9. Bereken hoeveel energie het kost op een liter water van 20 graden Celsius aan de kook te brengen.
  10. Je brengt 2,0L water aan de kook in een stalen pan met een massa van 0,75 kg. Bereken hoeveel energie het kost om het water aan de kook te brengen. Neem hier aan dat er geen energie verloren gaat naar de omgeving, maar dat wel energie nodig is om de pan zelf op te warmen.
  11. In werkelijkheid is een joulemeter niet perfect geïsoleerd. Een deel van de warmte die we toevoegen zal dus niet gebruikt worden voor het opwarmen van de vloeistof in de joulemeter, maar zal naar buiten toe ontsnappen. Leg uit of de soortelijke warmte die we met een joulemeter meten hierdoor hoger of lager komt te liggen dan de werkelijke waarde.
  12. NOTEER IN HET ONLINE LOGBOEK welke feiten en strategiën je nodig had voor het rekenen met de warmte. Schrijf hier in ieder geval iets over de betekenis van de constante c en de bijbehorende eenheid. Laat ook duidelijk blijken dat je begrijpt dat je de formule voor Q moet gebruiken bij vragen waarbij een voorwerp afkoelt of opwarmt. Noteer hier ook iets over het gebruik van ρ=m/V in de formule voor de warmte. Wat moet je nog meer echt onthouden voor de toets?
  13. Bij een hete luchtballon worden vaak propaanbranders gebruikt, waarmee de lucht in de ballon opgewarmd wordt. Als gevolg neemt de massa van het lucht in de ballon af en gaat de luchtballon opstijgen.
    1. Leg uit waarom de massa van de lucht in de ballon kleiner wordt als de branders aan staan.
    2. Leg uit hoeveel de massa moet afnemen voordat de ballon gaat opstijgen.
    3. Bij het vullen wordt lucht met een temperatuur van 20 graden Celsius. Daarna gaan de branders aan en wordt de lucht verwarmd tot 56 graden Celsius. Op een bepaald moment zit er 6,0 x 102 kg lucht in de ballon en wordt er 53 dm3 aan propaangas verbrand.
      Bereken hoe lang de branders aan staan. Je mag ervan uitgaan dat alle warmte ten goede komt aan het opwarmen van de lucht in de ballon.
  14. Een schuifje van polyetheen met een massa van 4,5 mg wordt voor 0,90 s verwarmd. De temperatuur neemt hierdoor 0,60 graden Celsius toe. Bereken het gemiddelde (netto) vermogen dat tijdens deze 0,90 s door het schuifje is opgenomen.
  15. Veel huishoudens gebruiken in de keuken heet water uit een combiketel die op zolder staat (zie het onderstaande figuur). Voordat het hete water uit de combiketel de keukenkraan bereikt, moet eerst het koude water wegstromen dat zich nog in de leiding bevindt. Voor een bepaald huis is de binnendiameter van de heetwaterleiding 12,0 mm, de lengte van de leiding tussen de combiketel en de keukenkraan is 11 m en per dag laat men gemiddeld twintig keer het koude water uit de leiding wegstromen in afwachting van warm water.

    1. Bereken het volume van het water dat in dit huis per jaar wegstroomt doordat men op heet water wacht.
    2. Om iets aan deze verspilling van water te doen, is de zogenoemde thermofort bedacht. De thermofort is een soort thermosfles die onder het aanrecht op de heetwaterleiding is aangesloten (zie de rechterkant van de bovenstaande afbeelding). In de thermofort wordt heet water opgevangen. Als de bewoner opnieuw de heetwaterkraan opent, stroomt de thermofort leeg. Daarbij mengt het hete water (79 graden Celsius) uit de thermofort zich met het eerst nog koude water (17 graden Celsius) uit de leiding, zodat er handwarm water beschikbaar is. Het hete water uit de thermofort en het koude water mengen zich in de verhouding 1 : 1.
      Bereken de temperatuur van het 'handwarme' water dat uit de kraan komt.
    3. Ondanks de goede isolatie koelt het water in de thermofort toch langzaam af. Om het warmteverlies tegen te gaan, is in de thermofort een verwarmingselement met een vermogen van 2,0 Watt gemonteerd. Het verwarmingselement is dag en nacht ingeschakeld. 1 kWh (zie BINAS) elektrische energie kost 0,13 euro. Bereken de jaarlijkse energiekosten voor het verwarmingselement.
    4. Zonder verwarmingselement zou de temperatuur ongeveer 1 graad Celsius per uur dalen. Neem aan dat zich steeds 1,5 liter water in de thermofort bevindt. Toon aan dat het vermogen van het verwarmingselement voldoende is om het warmteverlies door afkoeling te compenseren.
  16. In een wijk in Nederland worden 370 woningen gebouwd die de warmte van het asfalt van een naburige verkeersweg gebruikt. De gemiddelde eengezinswoning heeft op jaarbasis ongeveer 30 gigajoule nodig voor verwarming. De opbrengst van het asfalt is ongeveer 0,75 gigajoule per vierkante meter per jaar, waarvan 80% voor de huizen gebruikt kan worden.
    1. Bereken met behulp van een schatting de lengte van het wegdek die nodig is voor de verwarming van deze wijk. Geef aan welke grootheid je moet schatten.
    2. Het asfalt wordt verwarmd door de straling van de zon. Veronderstel dat op een zonnige middag het gemiddelde vermogen van de zonnestraling die op een vierkante meter asfalt valt gelijk is aan 6,0 x 102 W en dat al deze zonne-energie gelijkmatig wordt opgenomen door een laag asfalt van 15 cm dikte.
      Bereken de temperatuurstijging van het asfalt per uur indien er geen warmte aan de omgeving wordt afgestaan.
  17. Onder een wegdek is een buizenstelsel aangelegd waardoor water kan worden gepompt. Zodra de temperatuur van het asfalt boven de 30 graden Celsius komt, laat men koud water door de buizen stromen. Het wegdek wordt dan gekoeld terwijl het water wordt opgewarmd. Het warme water wordt opgeslagen in ondergrondse zandlagen en kan in de winter weer worden opgepompt om het asfalt te verwarmen. De warmte die overblijft, wil men benutten voor de verwarming van huizen. De resultaten van de eerste proefmetingen zijn zeer hoopgevend. Op zonnige dagen, wanneer het wegdek gekoeld wordt, levert het asfalt een gemiddeld vermogen van 80 W/m2. In een jaar brengt 1,0 m2 asfalt zo'n 5,4 x 108 J op.
    1. Bereken het aantal uren per jaar dat het wegdek gekoeld wordt.
    2. Op de dagen dat het gekoeld wordt, werkt het wegdek als een zonnecollector. Tijdens die dagen valt er per seconde gemiddeld 200 J stralingsenergie van de zon op 1,0 m2 asfalt. Bereken het rendement van het wegdek als zonnecollector.
    3. Tijdens het koelen van het asfalt stijgt de temperatuur van het water dat er langs stroomt van 7,0 naar 23 graden Celsius. Bereken hoeveel kilogram water op deze manier in één jaar door 1,0 m2 asfalt kan worden verwarmd. Neem aan dat daarbij geen warmte verloren gaat.
    4. Van de energie die in het warme water is opgeslagen, is 20% nodig voor het verwarmen van het wegdek in de winter. De rest kan worden gebruikt voor het verwarmen van woningen. Het wegdek heeft een oppervlakte van 1,8x104 m2.
    5. Voor het verwarmen van een goed geïsoleerde woning is gemiddeld 3,5x1010 J per jaar nodig. Bereken het aantal woningen dat men kan verwarmen met de warmte die uit het wegdek gewonnen wordt.
    6. Noem twee voordelen van het op deze manier verwarmen van woningen ten opzichte van het verwarmen met behulp van aardgas.
  18. Een leerling doet 1,4 kg water van 16 graden Celsius in de waterkoker.
    1. Bereken de hoeveelheid warmte die dit water moet openen om het aan de kook te krijgen.
    2. De leerling wil nu het rendement van de waterkoker bepalen. Daarvoor moet hij nog een meting doen. Geef aan welke formule de leerling moet gebruiken om het rendement te bepalen en welke meting hij nog moet doen.
  19. Een nachtstroomkachel is een hackel die bestaat uit grote blokken speksteen die door een elektrisch verwarmingselement van binnenuit worden opgewarmd. Het opwarmen gebeurt 's nachts omdat elektrische energie dan goedkoper is. Overdag geven de stenen hun warmte langzaam weer af. Het verwarmingselement van de afgebeelde kachel heeft een vermogen van 5,6 kW. Het verwarmen van de stenen duurt gemiddeld 4,0 uur. Per jaar gebeurt dat zo'n 200 keer. Een kWh kost 's nachts 0,11 euro.
    1. Bereken de energiekosten in een jaar voor deze kachel.
    2. De massa van de spekstenen van de afgebeelde kachel is 700 kg. In de eerste 30 minuten stijgt de temperatuur van de spekstenen met 12 graden Celsius. Je mag aannemen dat dan alle warmte door de stenen is opgenomen en er nog geen warmte aan de omgeving is afgestaan.
      Bereken de soortelijke warmte van speksteen.
    3. Als de temperatuur van de stenen 80 graden Celsius is, wordt deze temperatuur gehandhaafd totdat de nachtstroomperiode eindigt. De stenen koelen daarna af. In het onderstaande diagram is het temperatuurverloop van de stenen weergegeven.

      Het afkoelen van de spekstenen is op drie manieren getekend. Leg uit welke grafiek (A, B of C) hoort bij het afkoelen van de stenen.
  20. Tijdens het touwtjespringen zetten de spieren energie uit voedsel om in arbeid en warmte. De bokser Rocky produceert op deze manier per seconde 150 joule arbeid en 620 joule warmte.
    1. Bereken het rendement waarmee zijn spieren energie uit voedsel omzetten in arbeid.
    2. Als Rocky dikke kleren aantrekt en zich goed isoleert, kan zijn lichaam de warmte niet afstaan. Zijn lichaamstemperatuur loopt dan op waardoor hij gaat zweten. Neem aan dat hij bij een temperatuurstijging van 0,50 graden Celsius begint te zweten. Neem ook aan dat de geproduceerde warmte zich gelijkmatig over het lichaam verspreidt en dat de (gemiddelde) soortelijke warmte van zijn lichaam 3,5x103 J/kg/K is. Rocky heeft een massa van 73,40 kg.
    3. Bereken hoe lang het duurt voordat hij begint te zweten.
    4. Als hij aan het zweten is, wordt alle warmte die vrijkomt (620 J/s), afgevoerd door het verdampen van het zweet. Zijn lichaam houdt dan een constante temperatuur. Voor het verdampen van 1,0 kg zweet is 2,3x106 J warmte nodig. Hoeveel neemt zijn massa af na een uur zweten.
  21. Tijdens hardlopen verbranden de spieren voedingsstoffen en zetten de energie die daarbij vrijkomt om in arbeid en warmte. Uit onderzoek blijkt dat een goed getrainde marathonloper op deze manier per seconde 1,50 kJ omzet in 0,30 kJ arbeid en 1,20 kJ warmte.
    1. Bereken het rendement waarmee de spieren van deze marathonloper energie uit voedsel omzetten in arbeid.
    2. De normale lichaamstemperatuur van de atleet is 36,9 graden Celsius. Door de warmte die vrijkomt, loopt zijn lichaamstemperatuur op naar 39,5 graden Celsius. Het blijkt dat een marathonloper bij deze lichaamstemperatuur optimaal presteert. Door in te lopen (de warming up) zorgt de atleet ervoor dat zijn temperatuur al bij de start 39,5 graden Celsius is. De (gemiddelde) soortelijke warmte van het lichaam is 3,47x103 J/kg/K.
    3. De massa van de atleet is 74,8 kg. Bereken de tijd, in minuten, die hij minimaal moet inlopen.
    4. Tijdens het lopen blijft zijn lichaamstemperatuur 39,5 graden Celsius. De geproduceerde warmte wordt dan (vrijwel) geheel afgevoerd door het verdampen van zweet. Voor het verdampen van 1,0 kg zweet is 2,3x106 J nodig. De atleet loopt de marathon in 2 uur en 10 minuten.
      Bereken de hoeveelheid vocht die hij tijdens de marathon moet drinken om het vochtverlies door zweten te compenseren.
  22. Voor het verwijderen van oud behang verhuurt een doe-het-zelfzaak een afstoomapparaat. Zo'n apparaat heeft een cilindervormige ketel met een ingebouwd elektrisch verwarmingselement.

    1. De ketel wordt voor een deel gevuld met water. Daarna wordt het verwarmingselement aangesloten op de netspanning. Na enige tijd begint het water te koken. Op de ketel is een slang aangesloten. Via deze slang komt hete stoom in een soort platte open doos met handvat. Deze wordt geplaatst tegen het behang dat afgestoomd moet worden. Het behang wordt vochtig en is dan gemakkelijk te verwijderen. De ketel wordt voor 50% gevuld met water van 20 graden Celsius. De ketel mag beschouwd worden als een cilinder met een lengte van 43 cm en een diameter van 18 cm. Verwaarloos het volume van het verwarmingselement.
      Bereken de massa van het water in de ketel.
    2. Een leerling wil in zijn kamer het oude behang afstomen. De netspanning in huis is 230 V. Op het afstoomapparaat staat '2,4 kW; 230 V'. Als het apparaat gevuld is met 4,0 kg water van 20 graden Celsius duurt het 11 minuten voordat het water kookt. De hoeveelheid water die tijdens het opwarmen verdampt, mag verwaarloosd worden.
      Bereken het rendement van het opwarmproces van het water.
  23. Wanneer je warme chocomel bestelt in een café, wordt de chocomel verwarmd door er waterdamp van 120 graden Celsius doorheen te blazen. Eerst koelt de waterdamp af tot 100 graden Celsius. Dan condenseert de waterdamp tot vloeibaar water. Hierbij komt 2260J aan energie vrij. Dan daalt de temperatuur van het waterdamp verder af tot 50 graden Celsius. Neem aan dat de soortelijke warmte van chocomel gelijk is aan die van melk.
    1. Bereken hoeveel energie 1,0 gram water afstaat als het in de chocomel afkoelt van 120 naar 50 graden Celsius.
    2. Laat zien dat je met deze energie 14,6 gram chocomel kunt verwarmen van 6,0 naar 50,0 graden Celsius.
  24. NOTEER IN HET ONLINE LOGBOEK welke feiten en strategiën je nodig had voor het rekenen met de warmte. Wat moet je nog meer echt onthouden voor de toets?
    • Zorg dat je kan rekenen met de stookwaarde.
  25. Een kamer is 8,0 meter lang, 5,0 meter breed en 2,5 meter hoog. De temperatuur in de kamer is 6,0 graden Celsius en je wilt de temperatuur verhogen naar 20 graden Celsius. Je gebruikt hiervoor een verwarming die werkt op aardgas.
    1. Bereken hoeveel kubieke meter aardgas hiervoor minimaal moet worden verbrand.
    2. Waarom gebruiken we in de vorige vraag het woord 'minimaal'.
  26. Als het in de winter vriest, kunnen de wissels van treinsporen bevriezen. Om dit tegen te gaan worden wisselverwarmingen geïnstalleerd. De meeste wisselverwarmingen in Nederland werken op aardgas. Dit type verwarming bestaat uit een gasleiding van enkele meters lang, waarop een aantal branders is gemonteerd. Door het verbranden van het gas wordt het rooster in de brander roodgloeiend. De warmte passeert dan de punten A en B die in het onderstaande figuur zijn weergegeven.
    1. Geef voor beide punten aan welke vormen van warmtetransport er optreden.
    2. De gasverwarming voert per meter spoorstaaf 1,0 kW aan warmte toe. De spoorstaven hebben een massa van 60 kg per meter en zijn gemaakt van koolstofstaal.
      Bereken hoe lang het minstens duurt om met deze gasverwarming een meter spoorstaaf op te warmen van 0 tot 10 graden Celsius. Neem aan dat de spoorstaaf homogeen verwarmd wordt.
    3. Tijdens het weeralarm van 17 december 2010 lag bijna heel Nederland onder een dik pak sneeuw. Alle 5200 gasgestookte wissels werden die dag (gemiddeld) 10 uur verwarmd. Het totale vermogen van alle branders op één wissel is 11,2 kW. Een gemiddeld Nederlands huishouden gebruikt 1,85 x 103 m3 gas per jaar.
      Bereken hoeveel jaar een gemiddeld Nederlands huishouden zou kunnen doen met de hoeveelheid (Gronings) aardgas die op 17 december 2010 voor de wisselverwarming werd gebruikt.
  27. Een energiebedrijf van Amsterdam heeft onlangs een 'warmtekracht'-installatie in bedrijf genomen. Deze installatie bestaat uit vier gasgeneratoren die zowel elektrische energie als warmte leveren. Het opgewekte elektrisch vermogen is 2600 kW, bij een spanning van 230 volt. De elektrische energie wordt aan het elektriciteitsnet toegevoerd. Valt de spanning van het elektriciteitsnet in de Rembrandttoren weg, dan levert de installatie noodstroom aan het gebouw. Ook zorgt de installatie voor de warmtevoorziening van het gebouw. De warmtekrachtinstallatie bespaart elk jaar 1,1 miljoen kubieke meter Gronings aardgas in vergelijking met een conventionele energievoorziening. Bovendien heeft de installatie een buffertank van 450 kubieke meter water. Hierin kan warmte worden opgeslagen. In een folder over deze installatie staat een schema van de energiestroom op jaarbasis:

    1. Bereken hoeveel uren per jaar de installatie het gegeven elektrisch vermogen levert.
    2. Bereken het totale rendement van de installatie.
    3. Op een bepaald moment heeft het water in de buffertank een temperatuur van 15 graden Celsius. Bereken de hoeveelheid warmte die in de tank wordt opgeslagen als dit water wordt verwarmd tot een temperatuur van 70 graden Celsius.
    4. De warmtekrachtinstallatie heeft een veel hoger rendement dan een energiecentrale zonder warmtekrachtkoppeling (een conventionele centrale). Noem daarvan de reden.
  28. NOTEER IN HET ONLINE LOGBOEK welke feiten en strategiën je nodig had voor het rekenen met de stookwaarde. Wat moet je nog meer echt onthouden voor de toets?
  29. (VWO) We hebben een bad met daarin 140 kg water met een temperatuur van 16 graden Celsius. We willen dit bad opwarmen tot 34 graden Celsius door het bad met warm water bij te vullen. Dit warme water heeft een temperatuur van 70 graden Celsius.
    1. Hoeveel liter warm water hebben we nodig?
    2. In deze berekening hebben we een aantal factoren verwaarloosd. Noem er twee.
  30. (VWO) We hebben een bad met daarin 140 kg water met een temperatuur van 16 graden Celsius. We voegen 60 kg water toe met een temperatuur van 70 graden Celsius. Wat wordt de eindtemperatuur, aannemende dat er geen warmte verloren gaat aan de omgeving.