Stel we bestuderen een klein stukje dx van een lang touw waar transversale golven door lopen. Het linker deel van dit stukje bevindt zich op positie xb en het rechter deel op positie xe (zie de onderstaande afbeelding). Op dit kleine stukje touw werken dan twee spankrachten Fs,b en Fs,e.

Omdat het touw alleen transversaal trilt, bewegen de deeltjes waar het touw uit bestaat alleen in verticale richting. In horizontale richting staat de deeltjes dus stil, hetgeen betekent dat de horizontale componenten van deze twee spankrachten aan elkaar gelijk moet zijn. Met behulp van de hoeken B en E vinden we dan:

$$ F_{s,x} = F_{s,b} \cos{B} $$ $$ F_{s,x} = F_{s,e} \cos{E} $$

In verticale richting kan wel een resulterende kracht werken. Er geldt dus:

$$ F_{s,e}\sin{E} - F_{s,b}\sin{B} = ma$$

De versnelling van het lijnstukje in de verticale richting kunnen we ook schrijven als de tweede afgeleide van de uitwijking naar de tijd. De massa van het lijnstukje kunnen we ook schrijven als ρdx. ρ is hier de dichtheid van het lijnstukje (in kilogram per meter). We vinden hiermee:

$$ F_{s,b}\sin{E} - F_{s,b}\sin{B} = \rho dx \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

Als we beide zijden door Fs,x delen, dan vinden we:

$$ \frac{ F_{s,e}\sin{E}}{ F_{s,e} \cos{E}} - \frac{ F_{s,b}\sin{B}}{ F_{s,b} \cos{B}} = \frac{\rho dx}{F_{s,x}} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

Met de regel sin(a)/cos(a) = tan(a) vinden we:

$$ \tan{E} - \tan{B} = \frac{\rho dx}{F_{s,x}} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

De tangens is ook gelijk aan de helling. Er geldt:

$$ \tan{E} = \frac{du_e}{dx_e} $$ $$ \tan{B} = \frac{du_b}{dx_b} $$

We vinden hiermee:

$$ \frac{du_e}{dx_e} - \frac{du_b}{dx_b} = \frac{\rho dx}{F_{s,x}} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

De linkerkant kunnen we nu versimpelen tot:

$$ d\left( \frac{du}{dx} \right) = \frac{\rho dx}{F_{s,x}} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$ $$ \frac{d \left( \frac{du}{dx} \right) }{dx} = \frac{\rho}{F_{s,x}} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$
$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \frac{\rho}{F_{s,x}} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

Dit wordt de golfvergelijking in 1D genoemd. Elke 1D golf - zoals een golf in een touw - moet aan deze vergelijking voldoen. Andersom kunnen we ook zeggen dat de oplossing van deze vergelijking alle mogelijke golfbewegingen in een touw beschrijft. Bijzonder is dat we met deze vergelijking als we de vorm van een golf op een bepaald moment weten, dat we daarmee kunnen berekenen hoe de golf er in de toekomst uit zal zien. We kunnen dan dus een animatie maken van hoe de golf zich zal ontwikkelen. In de onderstaande animatie zien we een simpel voorbeeld:

We kunnen de vergelijking nog iets simpelere opschrijven. Hiervoor bestuderen we een oplossing van de vergelijking:

$$ u(x,t) = \sin{\left( x - \sqrt{\frac{F_{s,x}}{\rho}} t \right)} $$

In de opdrachten zal je aantonen dat dit inderdaad een oplossing is van de golfvergelijking. Als we deze grafiek plotten op tijdstip t = 0 en tijdstip t = t, dan blijkt de sinus een afstand opgeschoven gelijk aan:

$$ \Delta x = \sqrt{\frac{F_{s,x}}{\rho}}t $$

Als we deze formule vergelijken met Δx/Δt = v, dan vinden we:

$$ v = \sqrt{\frac{F_{s,x}}{\rho}} $$

Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ \frac{1}{v^2} = \frac{\rho}{F_{s,x}} $$

We kunnen hiermee de golfvergelijking schrijven als:

$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

We kunnen een soortgelijke afleiding ook doen voor een 2D golf. Een voorbeeld hiervan is een golvend wateroppervlak of de golven die ontstaan in het bekken van een drumstel. De 2D versie wordt:

$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

Een 3D versie wordt:

$$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

Voorbeelden van een 3D golven zijn geluidsgolven en elektromagnetische golven (licht).


Training
  1. Laat zien dat de volgende formnule een oplossing is van de golfvergelijking: $$ u(x,t) = \sin{\left( x - \sqrt{\frac{F_s}{\rho}} t \right)} $$