In dit hoofdstuk gaan we de computer gebruiken voor het beschrijven van natuurkundige processen. We doen dit met behulp van wiskundige modellen. In deze paragraaf introduceren we een programma waarmee dergelijke modellen te maken zijn.

In dit hoofdstuk gaan we leren modelleren. Laten we met een simpel voorbeeld van een model beginnen. Stel een leerling heeft op een bepaald tijdstip 15 euro in zijn spaarpot en krijgt elke week 2 euro zakgeld. Met een model kunnen we dan een grafiek maken waarbij we de hoeveelheid geld in zijn spaarpot uitzetten tegen de tijd. Klik op 'play' om het resultaat te zien:

Links van de grafiek zien we twee kolommen. In de rechter kolom vullen we de zogenaamde startwaarden in. Hier vullen we voor alle relevante grootheden de beginwaarde in. Ook noteren we hier contanten die we nodig hebben. We lezen:

Met de eerste regel zorgen we dat we de tijd starten op tijdstip t = 0. Met de tweede regel bepalen hoe groot een tijdstapje dt is. Met de laatste twee regels bepalen we hoeveel geld er aan het begin in de spaarpot zit en hoeveel zakgeld elke week gegeven wordt.

In de linker kolom noteren we de zogenaamde modelregels. Hier schrijven we een aantal wiskundige operaties op, waarmee het programma kan uitrekenen wat de waarde van de relevante grootheden gaat zijn een tijdstapje dt later. Elk tijdstapje worden al deze regels dus doorlopen. We noemen dit herhaaldelijk doorlopen van de regels een iteratief proces. Bij dit model lezen we:

In de eerste regel wordt de tijd t een tijdstapje dt vooruit gezet. De = die we in deze modelregels zien heeft niet de gebruikelijke betekenis. Bij modelleren staat het '='-teken voor het woord 'wordt'. In woorden is de eerste modelregel dus;

De tweede modelregel vertelt ons dat het nieuwe waarde in de spaarpot gelijk wordt aan de huidige bedrag plus het zakgeld.

Nog een voorbeeld. Een leerling heeft 50 euro en koopt hiervan elke dag een broodje van 3,30 euro. Als hij echter minder dan 20 euro over heeft, dan gaat hij iets zuiniger aan doen en koopt hij een broodje van slechts 1,40 euro. Als zijn geld op is, dan kan hij natuurlijk niks meer uitgeven. Op dit moment willen we dan ook dat de grafiek stopt. Het model ziet er dan als volgt uit:

Bij de modelregels wordt nu gebruik gemaakt van de als-dan-anders-stelling:

Hier staat dat als er meer dan 20 euro in de spaarpot zit, dat de gemaakte kosten per dag dan 3,3 euro zijn. Als er minder dan 20 euro in de spaarpot zit, dan worden de kosten 1,4 euro. In de regel die hierop volgt wordt uitgerekend hoeveel geld de persoon overhoudt na deze tijdstap nog overhoudt:

Merk op dat de volgorde hier belangrijk is! Eerst moeten de kosten per dag bepaald worden en pas dan kan je uitrekenen hoeveel geld de persoon aan het eind van die dag overhoudt.

Uiteindelijk geven we het stop-commando als het geld op is:

Let op dat we hier gebruik maken van een '<'-teken en niet van het '='-teken. Dit doen we omdat we werken in tijdstapjes dt en de kans klein is dat na een van deze tijdstapjes de persoon precies nul euro over zal hebben. Als gevolg zou bij gebruik van het '='-teken de grafiek gewoon doorlopen onder de horizontale as. Het '<'-teken zorgt ervoor dat het proces stopt zodra er een negatieve waarde bereikt wordt.

Ter afsluiting van deze paragraaf, vind je hieronder een lijstje met wiskundige symbolen die je bij het modelleren kan gebruiken voor een aantal wiskundige operaties:

Vermenigvuldigen *
Delen /
Macht ^
Wortel sqrt
Inverse sinus asin



Training
    Beheersen van de basisoperaties van modelleren
  1. Beschrijf wat de modelregel 't=t+dt' betekent.
  2. Een persoon heeft 150 euro op de bank en krijgt een jaarlijkse rente van 2,1%. Maak een model waarmee een grafiek gemaakt kan worden waarmee de hoeveelheid geld wordt uitgezet tegen de tijd.
  3. Een bacteriekolonie neemt bij aanwezigheid van genoeg voedsel en ruimte elke dag met 20% toe. Een bepaalde soort bacteriekolonie kan niet boven de 1,0 miljoen bacteriën uitgroeien. Maak een model waarmee een grafiek gemaakt kan worden waarmee je de groei van deze kolonie tegen de tijd uitzet. Zorg ervoor dat de grafiek stopt als de 1,0 miljoen bacteriën bereikt is.
  4. Leg uit waarom je het '>'-teken moest gebruiken in de als-dan-stelling in de vorige vraag en niet gewoon het '='-teken.
  5. Met een thermostaat wordt de temperatuur in een woonkamer gemeten. Deze thermostaat bepaald dan op basis van een ingestelde temperatuur op de verwarming in de woonkamer aan- of uitgezet moet worden. Als de bewoner de verwarming aan zet is het 15 graden Celsius. Als de verwarming aan staat, neemt de temperatuur in de kamer 0,4 graden Celsius per uur toe. Als de verwarming uit staat, neemt de temperatuur 0,2 graden Celsius af.
    De bewoner heeft de temperatuur op 21 graden Celsius ingesteld. Dat wil zeggen dat de thermostaat de verwarming uitzet als deze boven de 21 graden komt. Als de temperatuur dan weer onder de 21 graden komt, dan wordt de verwarming weer aangezet. Maak dit model.
  6. Een radioactieve bron bevat 100 radioactieve deeltjes. Elke dag vervalt 5 procent van deze deeltjes door het uitzenden van straling. Maak een model waarbij je de overgebleven deeltjes uitzet tegen de tijd.
  7. Een radioactieve bron bevat wederom 100 radioactieve deeltjes (n1). Elke dag vervalt 5,0 procent van deze deeltjes door het uitzenden van straling. Elke keer dat een deeltje vervalt, ontstaat er echter ook een ander radioactief deeltje (n2). Deze deeltjes zijn op tijdstip t = 0 nog niet aanwezig. Elke dag vervalt slechts 1,0 procent van deze deeltjes. Maak een model waarbij je de hoeveelheid deeltjes n2 uitzet tegen de tijd.