Nog voordat Newton zijn mechanica had bedacht, had Johannes Kepler een aantal patronen ontdekt in de beweging van de planeten in hun baan om de zon. We noemen dit de wetten van Kepler:

Kepler had deze patronen geobserveerd, maar niemand in zijn tijd kon deze wetten verklaren. Het was uiteindelijk Newton die met zijn mechanica liet zien waar deze drie wetten vandaan kwamen. Zijn bewijs van deze drie wetten gaven overweldigend bewijs dat de gravitatie-theorie van Newton correct was en dit maakte Newton één van de belangrijkste denkers uit de wereldgeschiedenis. In deze paragraaf volgen de Newton's voetstappen door deze wetten af te leiden.

De tweede wet van Kepler

We beginnen met de tweede wet. We beginnen bij de onderstaande afbeelding. We zien hier een planeet die een afstand AB heeft afgelegd in zijn baan om de zon.

Als we de afstand tussen A en B klein houden, dan wordt het driehoekje ABC steeds kleiner ten opzichte van de driehoek ACD. Als we de driehoek ABC verwaarlozen, dan vinden we dat het oppervlak van de driehoek ABD gegeven wordt door:

$$ A = \frac{1}{2}l \times b = \frac{1}{2}r^2\Delta\theta $$

Dit is het oppervlak dat de radiusvector overbrugt als de planeet van A naar B beweegt.

Stel de beweging van A naar B heeft een tijdsduur Δt geduurt. Dan is het oppervlak dat de radiusvector in deze tijdsduur heeft overbrugt gelijk aan:

$$ \frac{A}{\Delta t} = \frac{1}{2}r^2 \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{1}{2}r^2 \dot{\theta} $$

De volgende stap is dat we gebruik maken van het behoud van impulsmoment. We hadden in de vorige paragraaf gezien dat het impulsmoment L behouden is als M gelijk is aan nul. Voor M geldt:

$$ M = \vec{F} \times \vec{r} $$

Als we de zon in de oorsprong plaatsen en de aarde hier omheen laten bewegen, dan wijst de radiusvector altijd tegen de krachtvector in. Als gevolg is M gelijk aan nul en is het impulsmoment behouden. Voor het impulsmoment geldt:

$$ L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r}\times \vec{v}) $$

In de eerste paragraaf hebben we gezien dat:

$$ \vec{v} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta} $$

Voor de term tussen de haakjes geldt dan:

$$ \vec{r} \times \vec{v} = \vec{r} \times \dot{r}\hat{r} + \vec{r} \times r\dot{\theta}\hat{\theta} $$

De eerste term is nul, omdat de radiusvector en de eenheidsvector in dezelfde richting wijzen. De tweede term wordt:

$$ \vec{r} \times \vec{v} = \vec{r} \times r\dot{\theta}\hat{\theta} = r^2\dot{\theta}sin{90^\circ} = r^2\dot{\theta} $$

We hebben in de laatste stap gebruikt dat de radiusvector en de eenheidsvector in de draairichting altijd loodrecht op elkaar staan. Het impulsmoment wordt dus:

$$ L = mr^2\dot{\theta} $$

Als we dit combineren met de formule voor A/Δt, dan vinden we:

$$ \frac{A}{\Delta t} = \frac{L}{2m} $$

Omdat L en m constant zijn, hebben we hiermee bewezen dat het overspande oppervlakte per tijdseenheid inderdaad constant is. Dit is de tweede wet van Kepler!

De eerste wet van Kepler

Nu de eerste wet. We gebruiken hiervoor de energie en het impulsmoment:

$$ L = m(\vec{v} \times \vec{r}) $$ $$ E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mMG}{r} $$

In poolcoördinaten wordt dit:

$$ L= mr^2\dot{\theta} $$ $$ E = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - \frac{mMG}{r} $$

Als we de eerste formule in de tweede substitueren, dan vinden we:

$$ E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{mMG}{r} $$

Deze formule kunnen we nu herschrijven tot:

$$ \dot{r}^2= \frac{E}{m}+\frac{GM}{r}-\frac{L^2}{2m^2r^2} $$

Als we deze vergelijking oplossen voor r, dan vinden we:

$$ r = \frac{L^2/GMm^2}{(1+e\cos{\theta}}) $$ $$ e = \sqrt{1+\frac{2EL^2}{m^3G^2M^2}} $$

De e in de formule is een constante die we de ellipticiteit noemen. Als je deze formule uittekent voor verschillende waarde van e, dan vind je:

e = 0 Cirkelbaan
0 ≤ e < 1 Ellipsbaan
e = 1 Paraboolbaan
e > 1 Hyperbolische baan

Al deze banen komen we in de ruimte tegen. Voor de planeten zit de waarde netjes tussen 0 en 1 en daarom gaan de planeten in ellipsbanen om de zon! Dit is de eerste wet van Kepler.

De derde wet van Kepler

Een algemene wiskundige formule voor een ellipsbaan is:

$$ r = \frac{b^2/a}{1+e\cos{\theta}} $$

a is hier de langste straal van de ellips en b is de kortste straal. Als we dit vergelijken met de formule voor de ellipsbanen die we in het vorige stukje gevonden hadden, dan vinden we:

$$ \frac{L^2}{GMm^2} = \frac{b^2}{a} $$

Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ L = \sqrt{\frac{GMm^2 b^2}{a}} $$

Ook hebben we eerder gevonden dat:

$$ \frac{A}{\Delta t} = \frac{L}{2m} $$

Als we voor Δt de omlooptijd T nemen, dan wordt A de oppervlak van de hele ellips. Dit oppervlak is gelijk aan:

$$ A_{ellips} = \pi ab $$

Als we dit invullen, dan vinden we:

$$ \frac{\pi ab}{T} = \frac{\sqrt{GMm^2b^2/a}}{2m} $$

Als we beide zijden kwadrateren en omschrijven, dan vinden we:

$$ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM} $$

Dit is de derde wet van Kepler!