Met behulp van de wetten van Newton kunnen we een aantal grootheden vinden die constant blijven in de tijd. We noemen dit behouden grootheden. Het bekendste voorbeeld hiervan is het behoud van energie. In deze paragraaf gaan we de belangrijke behouden grootheden uit de Newtoniaanse mechanica afleiden.

De eerste behouden grootheid kunnen we vinden met behulp van de derde wet van Newton:

$$ F_A = -F_B $$

Met de tweede wet van Newton kunnen we dit herschrijven tot:

$$ \dot{p}_A = -\dot{p}_B $$

En dit kunnen we weer herschrijven tot:

$$ \dot{p}_A + \dot{p}_B = 0$$ $$ \frac{d}{dt}(p_A+p_B) = 0 $$ $$ \dot{p}_{tot} = 0 $$

In de laatste vergelijking zien we dat de afgeleide van de totale impuls nul is. Dit kan alleen waar zijn als de totale impuls constant is. We hebben hiermee dus aangetoond dat de totale impuls een behouden grootheid is. We noemen dit het behoud van impuls.

Laten we deze wet toepassen. Hieronder zien we twee dezelfde deeltjes die botsen en daarna gezamelijk verder bewegen. We noemen dit een inelastische botsing. Bij een elastische botsing bewegen de deeltjes los van elkaar verder. De snelheid van het linker deeltje noemen we u. De snelheid van het deeltje dat tijdens de botsing ontstaat noemen we v.

Met impulsbehoud vinden we:

$$ mu + 0 = Mv $$ $$ mu = 2mv $$ $$ u = 2v $$

We hebben hier dus geleerd dat de snelheid v van het deeltje dat bij de botsing ontstaat twee keer zo klein als de oorspronkelijke snelheid u.

Nog een voorbeeld. Een deeltje ligt eerst stil en explodeert in twee gelijke delen.

Met behoud van impuls vinden we:

$$ 0 = mv_1 + mv_2 $$ $$ v_1 = -v_2 $$

Aan deze formule kunnen we zien dat beide delen met dezelfde snelheid, maar in tegengestelde richting bewegen.

Voor een tweede behoudswet definiëren we eerst het zogenaamde moment (M):

$$ M = \vec{r} \times \vec{F} $$

r is hier wederom de radiusvector en F is de kracht die op het voorwerp werkt. Het kruisje staat hier voor het kruisproduct. De definitie hiervan is:

$$ \vec{A} \times \vec{B} = AB\sin{\theta} $$

De hoek θ is hier de hoek tussen de richting van A en B. Merk op dat als A en B in dezelfde of in tegengestelde richting wijzen, dat de sinus gelijk aan nul wordt en dat hierdoor het hele kruisprodukt nul wordt.

Naast het moment definiëren we ook het impulsmoment (L):

$$ L = \vec{r} \times \vec{p} $$

Als we de afgeleide van het impulsmoment naar de tijd nemen, dan vinden we met de produktregel dat:

$$ \dot{L} = \frac{d(\vec{r} \times \vec{p} )}{dt} = \dot{\vec{r}} \times \vec{p} + \vec{r} \times \dot{\vec{p}} $$

In de tweede term zien we de afgeleide van p naar de tijd, hetgeen gelijk is aan de resulterende kracht. Dit maakt deze term gelijk aan het moment. De eerste term kunnen we uitschrijven als:

$$ \dot{\vec{r}} \times \vec{p} = m(\dot{\vec{r}} \times \vec{v}) = m(\vec{v} \times \vec{v}) = 0$$

In de laatste stap hebben we er gebruik van gemaakt dat v en v in dezelfde richting wijzen en dat de sinus in het kruisprodukt dus nul wordt. De afgeleide van het impulsmoment naar de tijd wordt dus:

$$ \dot{L} = M $$

In de situatie waarbij het moment M nul is, vinden we:

$$ \dot{L} = 0 \;\;\;\; \text{(als M = 0)} $$

In dit geval is L dus constant en dus een behouden grootheid. Maar in welke gevallen in M nul? Het moment is het kruisprodukt tussen F en r. Als F en r in dezelfde of tegenovergestelde richting wijzen, dan is het moment dus nul. Dit gebeurt bijvoorbeeld als een object een cirkelbaan maakt om de oorsprong. In dit geval wijst de radiusvector van de oorsprong naar het bewegende object en wijst de zogenaamde middelpuntzoekende kracht van het object naar de oorsprong. r en F wijzen hier dus in tegenovergestelde richting en M wordt hierdoor dus nul. We gaan hier dankbaar gebruik van maken bij het bestuderen van planeetbanen.

Als laatste bespreken we behoud van energie. We moeten hiervoor eerst de arbeid definiëren:

$$ W = \int F dx $$

Gebruikmakend van \(dx = v dt\) en \(F=ma=m\dot{v}\), vinden we:

$$ W = m \int \dot{v} v dt $$

Met de productregel zien we dat geldt dat:

$$ \frac{1}{2}\frac{dv^2}{dt} = \frac{1}{2}(v\dot{v} + \dot{v}v) = \dot{v}v $$

Als we dit in de bovenstaande formule stoppen, dan vinden we:

$$ W = \frac{1}{2} m \int \frac{dv^2}{dt}dt = \frac{1}{2}m \int dv^2 $$

Als we de integraal uitwerken vinden we:

$$ W = \frac{1}{2}mv_b^2 - \frac{1}{2}mv_e^2$$ $$ W = \Delta E_{kin}$$

Deze formule wordt het arbeid-energietheorema genoemd.

Laten we deze formule eens toepassen, bijvoorbeeld op het vallen van een bal van hoogte hb naar hoogte he. Voor de arbeid vinden de dan:

$$ W = \int_{h_b}^{h_e} F_z dh = mg \int_{h_b}^{h_e} dh = mgh_b - mgh_e $$

Het arbeid-energietheorema wordt dan:

$$ mgh_b - mgh_e = \frac{1}{2} mv_e^2 - \frac{1}{2} mv_b^2 $$

Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ mgh_b + \frac{1}{2} mv_b^2 = mgh_e + \frac{1}{2} mv_e^2 $$

We zien hier dat de zwaarte-energie en de kinetische energie tezamen aan het begin en het eind van de beweging gelijk zijn. Er geldt dus:

$$ E_z + E_{kin} = \text{constant} $$

In dit specifieke geval hebben we dus energiebehoud aangetoond. We kunnen energiebehoud echter nog algemener bewijzen. We bestuderen hiervoor een willekeurige kracht van de vorm F(x). De bijbehorende energie noemen we de potentiële energie. We gaan nu laten zien dat de potentiële energie behouden is als deze wordt gegeven door:

$$ F(x) = -\frac{dE_{pot}(x)}{dx} $$

Bij de zwaartekracht hoort bijvoorbeeld de potentiële energie gelijk aan Ez = mgh:

$$ F_z = -\frac{d(mgh)}{dh} = -mg $$

De volgende stap is om te bewijzen dat voor al deze soorten potentiële energie energiebehoud geldt. Als we de formule voor F(x) invullen in de formule voor de arbeid, dan vinden we:

$$ W = \int F(x) dx = -\int \frac{dE_{pot}(x)}{dx} dx = E_{pot,b}(x) - E_{pot,e}(x) $$

Met het arbeid-energietheorema wordt dit:

$$ E_{pot,b} - E_{pot,e} = E_{kin,e} - E_{kin,b} $$

Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ E_{kin,b} + E_{pot,b} = E_{kin,e} + E_{pot,e} $$

Er geldt dus:

$$ E_{tot} = E_{kin} + E_{pot} = \text{constant}$$


Training


  1. In de volgende afbeelding zien we twee deeltjes. Het linker deeltje heeft een grote massa M en beweegt met snelheid u en het rechter deeltje heeft een verwaarloosbare massa m en staat stil. De botsing is inelastisch. Ga na wat er met beide deeltjes gebeurt na de botsing.
  2. In de volgende afbeelding zien we twee deeltjes. Het linker deeltje heeft een verwaarloos kleine massa m en beweegt met snelheid u en het rechter deeltje heeft een grote massa M en staat stil. De botsing is inelastisch. Ga na wat er met beide deeltjes gebeurt na de botsing.
  3. Een massa M valt uitelkaar in twee gelijke delen met massa m. Ga na wat er met beide deeltjes gebeurt na de botsing.
  4. In de volgende afbeelding zien we twee deeltjes met dezelfde massa. Het linker deeltje beweegt met snelheid u en het rechter deeltje staat stil. De botsing is elastisch. Ga na wat er met beide deeltjes gebeurt na de botsing. Gebruik hiervoor zowel de wet van impulsbehoud als de wet van energiebehoud.
  5. Een wolk bestaat uit kleine druppeltjes. In sommige omstandigheden beginnen de druppels te vallen. De grotere druppels behalen een grotere snelheid en halen daarom de kleinere druppels in. Als de grote druppels hierdoor botsen tegen de kleinere druppels, versmelten de druppels met elkaar. Op deze manier kunnen wolkendruppels groeien en uiteindelijk uitgroeien tot regendruppels.

    In het onderstaande figuur is getekend hoe een druppel A met een massa van 4,2 × 1012 kg een druppel B met een massa van 0,52 × 1012 kg inhaalt. Op t = 2,0 ms versmelten de twee druppels.
    1. Toon door een berekening aan dat de snelheid van de nieuwe druppel op t = 2,0 ms in overeenstemming is met de snelheden van de oorspronkelijke druppels.
    2. Bepaal met behulp van het figuur de wrijvingskracht op de druppel op t = 2,5 ms.