In het hoofdstuk kracht hebben we geleerd over de wetten van Newton. De eerste wet werd daar als volgt geintroduceerd:

Als er geen resulterende kracht op een voorwerp werkt, dan blijft dit voorwerp eenparige en rechtlijnig bewegen

In wiskundetaal wordt dit:

$$ \vec{F}_{res} = 0 \leftrightarrow \vec{v}= 0 $$

We tweede wet vertelt ons wat er gebeurt als er wel een resulterende kracht op een voorwerp werkt. Het voorwerp ervaart in dat geval een versnelling gegeven door:

$$ \vec{F}_{res}=m\vec{a} $$

Als laatste hadden we nog de derde wet:

Als een voorwerp A een kracht uitoefent op voorwerp B, dan oefent voorwerp B altijd een evengrote kracht terug uit op voorwerp A in tegengestelde richting

In wiskundetaal wordt dit:

$$ F_{A\rightarrow B} = -F_{B\rightarrow A} $$

We zijn nu in staat deze formules iets algemener op te schrijven. Ten eerste blijkt de eerste wet overbodig. De eerste wet zit namelijk al verstopt in de algemenere tweede wet. In de tweede wet lezen we dat als de resulterende kracht nul is, dat dan de versnelling ook nul wordt. Een versnelling van nul vertelt ons echter dat het voorwerp eenparig beweegt. Dit is de eerste wet van Newton!

Ten tweede hebben we de tweede wet niet in zijn meest algemene vorm geschreven. De meest algemene vorm is:

$$ F_{res}=\dot{p} $$

De p in deze formule staat voor de impuls. Er geldt:

$$ p = mv $$

Als we de afgeleide van p nemen, dan vinden we met de productregel:

$$ \dot{p} = \frac{d(mv)}{dt} = m\dot{v} + v\dot{m} = ma + v\dot{m} $$

Naast de gebruikelijke 'ma'-term zien we ook een term met daarin de afgeleide van de massa naar de tijd. Als een voorwerp een constante massa heeft, dan wordt deze afgeleide nul en houden we de gebruikelijke tweede wet van Newton over. Er zijn echter ook situaties denkbaar waarbij de massa niet constant is. Denk bijvoorbeeld aan een raket die tijdens het opstijgen brandstof verbrand en dus lichter wordt. In dat geval zijn we dus gedwongen om de algemenere tweede wet te gebruiken.

In het reguliere hoofdstuk hebben we de tweede wet gebruikt om met de versnelling de kracht te vinden en andersom. We kunnen met deze formule echter ook alle mogelijke bewegingen vinden die een voorwerp kan maken onderhevig aan deze kracht. Laten we hiervoor beginnen met een simpel voorbeeld. Stel dat er geldt dat:

$$ F_{res} = 0 $$

Welke bewegingen horen hier allemaal bij? Om deze vraag te beantwoorden schrijven we de vergelijking eerst als volgt op:

$$ m\ddot{x} = 0 $$

De volgende stap is om de meest algemene oplossing voor x te vinden. Ik zal het antwoord hier geven en dan zullen we daarna checken dat dit antwoord ook daadwerkelijk klopt:

$$ x = c_1t + c_2 $$

c1 en c2 zijn hier twee verschillende constanten. Om te checken dat dit daadwerkelijk een oplossing is, nemen we twee keer de afgeleid:

$$ \dot{x} = \frac{d( c_1t )}{dt} + \dot{c_2} $$

De tweede term is de afgeleide van een constante en dit is nul. De eerste term werken we uit met de produktregel:

$$ \dot{x} = \dot{c}_1t + c_1\dot{t} $$

De eerste term bevat weer de afgeleide van een constante en dit is nul. De tweede term bevat een afgeleide van t naar de tijd. Dit wordt gelijk aan 1. We vinden dus:

$$ \dot{x} = c_1 $$

We zien aan deze uitspraak dat de constante c1 gelijk is aan de snelheid v. Als we nu nogmaals de afgeleide nemen, vinden we:

$$ \ddot{x} = 0 $$

Er dit is precies de vergelijking die we eerder gevonden hadden. We hebben hiermee dus aangetoond dat de beweging bij Fres = 0 altijd gegeven worden door:

$$ x = vt + c_2 $$

Alleen voor de constante c2 hebben we nog geen betekenis gevonden. Als we in deze formule t = 0 invullen, dan vinden we x0 = c2. We zien hier dus dat c2 gelik is aan de beginpositie x0. De formule wordt dus:

$$ x = vt + x_0 $$

Dit is de algemene bewegingsvergelijking die hoort bij Fres = 0. Als we voor een voorwerp x0 en de snelheid weten en invullen, dan kunnen we hiermee voor elk moment de positie uitrekenen.

Laten we nu hetzelfde doen voor de volgende resulterende kracht:

$$ F_{res} = c_1 $$

We kunnen dit uitschrijven tot:

$$ m\ddot{x} = c_1 $$ $$ \ddot{x} = \frac{c_1}{m} $$

Ook hier ga ik weer de oplossing voor x geven in deze formule en dan gaan we daarna checken of dit correct is:

$$ x = \frac{1}{2}\frac{c_1}{m}t^2 + c_2t + c_3 $$

c3 is hier weer de beginpositie x0. We checken dat deze afleiding klopt door de afgeleide te nemen:

$$ \dot{x} = \frac{c_1}{m}t + c_2 $$

Als we t = 0 kiezen, dan vinden we v0 = c2. c2 is dus de beginsnelheid v0. Met nog een afgeleide vinden we:

$$ \ddot{x} = \frac{c_1}{m} $$

Dit is precies de versnelling die we wilden hebben, dus de oplossing klopt. De oplossing wordt:

$$ x = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0 $$

Dit is de algemene bewegingsvergelijking die hoort bij Fres=mc1. Als we voor een voorwerp x0, v0 en de versnelling a invullen, dan kunnen we hiermee voor elk moment de positie uitrekenen.

Als laatste nemen we een blokje dat vrij kan bewegen aan een veer of een horizontaal wrijvingsloos oppervlak. In dit geval is de resulterende kracht gelijk aan de veerkracht. We schrijven:

$$ F_{res} = F_{veer} $$ $$ F_{res} = -Cx $$

C is hier de veerconstante en x is de uitwijking van het blokje. Als we de linkerkant uitschrijven met behulp van de tweede wet, dan vinden we:

$$ m\ddot{x} = -Cx $$ $$ \ddot{x} = -\frac{C}{m}x $$

De oplossing voor x is in dit geval:

$$ x = k \sin{\left( \sqrt{C/m}t \right) } $$

k is hier een constante. Laten we wederom de afgeleide nemen:

$$ \dot{x} = k \sqrt{\frac{C}{m}}\cos{\left( \sqrt{C/m}t \right)} $$

Nog een afgeleide geeft:

$$ \ddot{x} = - k \frac{C}{m} \sin{ \left( \sqrt{C/m}t \right) } $$

We hebben echter aangenomen, dat x = k sin(√(C/m)t). We kunnen de bovenstaande vergelijking dus ook schrijven als:

$$ \ddot{x} = - \frac{C}{m}x $$

En dit is precies de vergelijking waaraan het blokje aan de veer moest voldoen. De oplossing klopt dus. Als we deze vergelijking plotten voor willekeurige k, C en m, dan vinden we de volgende grafiek:

We zien hier dus dat door alleen aan te nemen dat Fres = Fveer dat we automatisch vinden dat de beweging van het deeltje sinusbewegingen worden: het blokje gaat heen en weer bewegen om een evenwichtsstand.

We kunnen nog meer te weten komen over deze beweging door de bovenstaande sinus te vergelijken met de algemene formule voor een de sinus

$$ x(t) = A \sin{\left(2\pi \frac{t}{T}\right)} $$

Hier is A de amplitude en T de trillingstijd. Als we deze formule vergelijken met onze oplossing voor x, dan vinden we dat k = A en 2π/T = √(C/m). Deze laatste vergelijking kunnen we omschrijven tot:

$$ T = 2\pi\sqrt{m/C} $$

Dit is de beroemde formule voor de trillingstijd voor een deeltje aan een veer. Deze formule kom je ook zonder afleiding tegen in het hoofdstuk over trillingen. Hier komt deze formule dus vandaan.