Introductie

Dit hoofdstuk is een studie naar de meest fundamentele wetten waar het universum op werkt: de mechanica. Mechanica geeft ons een nauwkeurige beschrijving van beweging en kracht en met deze twee begrippen kunnen we alle fenomenen in de wereld om ons heen verklaren.

De eerste succesvolle mechanica was de mechanica van Newton. In de reguliere hoofdstukken hebben we gezien dat de wetten van Newton regels zijn waaraan alle beweging in de natuur zich dient te houden. Met deze wetten en een aantal specifieke krachten zoals de zwaartekracht of de elektrische kracht, kunnen we enorm veel van de wereld begrijpen. Dit begrijpen ga zo ver dat we in veel situaties met de wetten van Newton zelfs kunnen voorspellen hoe de wereld werkt. Een goed voorbeeld is de ontdekking van Neptunus. Deze planeet is ontdekt door een onverklaarbare afwijking in de baan van Uranus. Met behulp van de wetten van Newton werd berekend dat deze afwijking veroorzaakt zou kunnen worden door een andere nog onontdekte planeet. Er werd berekend waar deze planeet zou moeten zijn om deze afwijking te veroorzaken. Toen hier werd gekeken, bleek er daadwerkelijk een planeet te zijn!

De Newtoniaanse mechanica was dus heel succesvol. Als hier zelfs een planeet mee gevonden kon worden, dan moest deze theorie wel de volledige waarheid zijn. Aan het begin van de 19de eeuw bleek dit echter niet zo simpel. Voor erg kleine objecten bleken de wetten van Newton niet te werken. Hiervoor was een andere mechanica nodig: de kwantummechanica. Voor objecten die heel snel gingen of heel zwaar zijn, bleken de wetten ook niet te kloppen. Hiervoor werd de relativistische mechanica ontwikkeld.

Naast deze verschillende mechanica werden er ook een aantal equivalente alternatieven gevonden. Zo konden de wetten van Newton ook worden vervangen voor de zogenaamde Euler-Lagrange vergelijking die in plaats van krachten werkt met energie. Berekeningen in de Newtoniaanse en de Euler-Lagrange mechanica geven dezelfde antwoorden, maar soms is de een gemakkelijker te gebruiken en soms de ander. Ook de kwantummechanica heeft een equivalent alternatief, kenmerkend voor zijn gebruik van de zogenaamde padintegralen.

In dit hoofdstuk gaan we deze onderwerpen uitgebreid bespreken. Voordat we echter beginnen hebben we een beetje nieuwe wiskunde nodig. Daar zal deze paragraaf over gaan.


Differentiëren

Zoals je weet geven we de positie van een voorwerp aan met letter x. Als we willen weten hoeveel de positie verandert op een bepaald moment, dan tekenen we een raaklijn en berekenen we:

$$ v = \frac{dx}{dt} $$

De snelheid v vertelt ons dus hoeveel x verandert in de tijd. We zeggen hier ook wel dat de snelheid de afgeleide is van de positie. Als we de afgeleide nemen van een variabele, dan noemen we dit ook wel differentiëren.

Omdat we de rechter uitdrukking van de bovenstaande vergelijking vaak gaan gebruiken, korten we deze als volgt af:

$$ v = \frac{dx}{dt} \equiv \dot{x} $$

Hoeveel de snelheid verandert in de tijd noemen we de versnelling. We zeggen hier ook wel dat de versnelling de afgeleide is van de snelheid. Er geldt:

$$ a = \frac{dv}{dt} \equiv \ddot{x} $$

De afgeleide kunnen we op deze manier gebruiken voor alle variabelen die veranderen in de tijd. Stel dat je bijvoorbeeld de verwarming in je kamer hoger zet, dan kan je op elk moment de temperatuur meten. Je kan ook de afgeleide van de temperatuur nemen. Dit vertelt ons hoeveel de temperatuur verandert binnen een bepaalde tijd. De afgeleide van de temperatuur schrijven we dan als:

$$ \dot{T} $$

Soms wil je ook weten hoe een vermenigvuldiging van twee variabelen verandert in de tijd. Neem bijvoorbeeld twee willekeurige variabelen p en q:

$$ \frac{d(pq)}{dt}$$

De noemer kunnen we uitschrijven tot:

$$ d(pq) = p_eq_e - p_by_b = d(p) q_{gem} + d(q) p_{gem} $$

Je kan nagaan dat dit klopt door de rechterzijde uit te werken. De gehele breuk wordt:

$$ \frac{d(pq)}{dt} = \dot{p} q_{gem} + \dot{q}p_{gem} $$

Als we de raaklijn oneindig klein maken, dan komt pb, pe en pgem allemaal op hetzelfde punt p te liggen. We kunnen de bovenstaande uitspraak daarom versimpelen tot:

$$ \frac{d(pq)}{dt} = \dot{p} q + \dot{q}p $$

We noemen dit de productregel.

Een algemenere vorm van de productregel wordt de kettingregel genoemd. Stel we hebben een functie f(x,y). Als we deze functie differentiëren naar de tijd, dan vinden we:

$$ \frac{df(x,y)}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} $$

We maken hier onderscheid tussen 'd' en '∂'. De afgeleide met het '∂'-teken wordt een partiële afgeleide genoemd. Bij een partiële afgeleide naar bijvoorbeeld x, mogen we alle andere variabelen beschouwen als een constante.

Als we dezelfde functie afleiden naar x, dan vinden we met deze regel:

$$ \frac{df(x,y)}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} $$

Een variant van de kettingregel is:

$$ \frac{\partial f(x,y)}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} $$

In deze paragraaf gaan we ook de afgeleide bepalen van de sinus en de cosinus van een bepaalde variabele. Zonder dit af te leiden, geef ik hier het resultaat:

$$ \frac{d}{dt}\cos(\theta) = -\dot{\theta}\sin(\theta) $$ $$ \frac{d}{dt}\sin(\theta) = \dot{\theta}\cos(\theta) $$

Integreren

Het omgekeerde van differentiëren wordt integreren genoemd. Omdat bijvoorbeeld de afgeleide naar de tijd van de functie t gelijk is aan 1, vinden we dat de integraal van 1 gelijk is aan t. We schrijven dit als volgt op:

$$ \int 1 \; dt = t $$

Net als differentiëren een algemene manier is ook naar de helling van een grafiek te bepalen, zo is integreren een manier om het oppervlak onder een grafiek te bepalen. Als we dit oppervlak daadwerkelijk willen vinden, dan moeten we aangegeven van waar tot waar we het oppervlak willen weten. Stel dat we het oppervlak onder de grafiek van t1 tot t2 willen weten, dan schrijven we:

$$ \int_{t_1}^{t_2} 1 \; dt = t \; \Bigg\rvert_{t_1}^{t_2} $$

De rechter uitspraak kunnen we uitschrijven door in de functie voor de streep eerst t = t2 te kiezen en dan t = t1 en dan de gevonden waarden van elkaar af te trekken. Er geldt dus:

$$ t \; \Bigg\rvert_{t_1}^{t_2} = t_2 - t_1 $$

Het is ook mogelijk om een afgeleide binnen een integraal te halen. Dit wordt de zogenaamde Leibniz regel genoemd:

$$ \frac{d}{dx} \int f \; dt = \int \frac{\partial f}{\partial x} dt $$

Een regel die we vaak zullen gebruiken is de partiële integratie. Er geldt:

$$ \int_{t_1}^{t_2} f(t)\dot{g}(t) \;\; dt = f(t)g(t) \; \Bigg\rvert_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \dot{f}(t)g(t) \;\; dt $$

Als we de grenzen van de eerste term aan de rechter zijde uitwerken, dan vinden we:

$$ f(t)g(t) \; \Bigg\rvert_{t_1}^{t_2} = f(t_2)g(t_2) - f(t_1)g(t_1) $$

Beweging in poolcoördinaten

Laten we het nu hebben over coördinatenstelsels. Meestal geven we de locatie van een punt in een diagram door de x- en de y-coördinaat te noemen. We schrijven (x,y). We noemen dit cartesische coördinaten. Er zijn echter vele andere manieren om een coördinaat te schrijven. Een bekend alternatief zijn de poolcoördinaten. Hier wordt een punt in een diagram niet aangegeven met een x en een y, maar met de afstand vanaf de oorsprong (r) en de hoek met de x-as (θ). We zien dit in de onderstaande afbeelding weergegeven. Een coördinaat wordt in dit geval dus (r,θ).

Een positie wordt ook vaak beschreven met een zogenaamde radiusvector (\(\vec{r}\). Dit is een vector die wijst van de oorsprong naar een bepaalde coördinaat. De bovengenoemde lengte r is de lengte van deze vector. In Cartesische coordinaten schrijven we:

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Ook vectoren die niet in de oorsprong beginnen kunnen we op deze wijze weergeven. Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar een aantal vectoren met lengte 1. We noemen dit eenheidsvectoren. We geven een eenheidsvector aan met een dakje op de letter. Een eenheidsvector in de x- en y-richting wordt bijvoorbeeld geschreven worden als:

$$ \hat{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ \hat{y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Met deze eenheidsvectoren kunnen we de radiusvector ook herschrijven in een andere vorm:

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = $$

Met behulp van de eenheidsvectoren wordt dit:

$$ \vec{r} = x\hat{x} + y\hat{y} $$

De eerste term geeft ons een vector in de x-richting van lengte x en de tweede term een vector in de y-richting van lengte y.

In de onderstaande afbeelding kan je zien hoe we deze vector kunnen schrijven in poolcoördinaten. Er geldt:

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos{\theta} \\ r\sin{\theta} \end{pmatrix}$$

In de opdrachten zullen we aantonen dat een eenheidsvector is de richting van de radiusvector geschreven kan worden als:

$$ \hat{r} = \begin{pmatrix} \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \end{pmatrix} $$

Met deze eenheidsvector kunnen we de radiusvector ook schrijven als:

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} r\cos{\theta} \\ r\sin{\theta} \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \end{pmatrix} = r\hat{r}$$

Hier staat dat de radiusvector een vector is met lengte r in de richting van de radiusvector.

In de bovenstaande afbeelding zien we ook een eenheidsvector die loodrecht op de radiusvector staat. Deze vector wijst in de richting waarin de radiusvector zal draaien als de hoek θ toeneemt. Omdat deze vector loodrecht op de radiusvector staat vinden we:

$$ \hat{\theta} = \begin{pmatrix} \cos{(\theta+90^\circ)} \\ \sin{(\theta+90^\circ)} \end{pmatrix} $$

Omdat cos(θ+90o) = -sin(θ) en sin(θ+90o) = cos(θ), kunnen we dit versimpelen tot:

$$ \hat{\theta} = \begin{pmatrix} -\sin{\theta} \\ \cos{\theta} \end{pmatrix} $$

De afgeleide van de radiusvector geeft ons de snelheidsvector van het voorwerp. Er geldt dus:

$$ \dot{\vec{r}} = \vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} $$

In de onderstaande afbeelding kan je zien dat deze snelheidsvector kunnen opdelen in een horizontale component (vx) en een verticale component (vy). We kunnen de vector echter ook opdelen in een component in de richting van de radiusvector (vr) en een component in de draairichting (vθ).

De snelheidscomponent in de x- en y-richting kunnen we als volgt omschrijven in poolcoördinaten:

$$ v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d(r\cos{\theta})}{dt} = \dot{r}\cos{\theta} - r\dot{\theta}\sin{\theta}$$ $$ v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d(r\sin{\theta})}{dt} = \dot{r}\sin{\theta} + r\dot{\theta}\cos{\theta}$$

De snelheidsvector kunnen we dus ook schrijven als:

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{r}\cos{\theta} - r\dot{\theta}\sin{\theta} \\ \dot{r}\sin{\theta} + r\dot{\theta}\cos{\theta} \end{pmatrix}$$

Dit kunnen we vereenvoudigen tot:

$$ \vec{v} = \dot{r} \begin{pmatrix} \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \end{pmatrix} + r\dot{\theta} \begin{pmatrix} -\sin{\theta} \\ \cos{\theta} \end{pmatrix} $$

Met de formules voor de eenheidsvectoren kunnen we dit versimpelen tot:

$$ \vec{v} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta} \hat{\theta} $$

We zien hier dat de snelheidsvector te schrijven is in een component van lengte ṙ in de richting van de radiusvector en een component van lengte rθ̇ in de draairichting. Er geldt dus:

$$ v_r = \dot{r} $$ $$ v_\theta = r\dot{\theta} $$

Deze resultaten gaan we in dit hoofdstuk veel gebruiken. Maar wat staat hier eigenlijk. In de onderstaande afbeelding zien we een voorwerp dat van punt A naar punt B beweegt in een tijdsduur Δt. Zoals je kunt zien is de radiusvector een afstand dr langer geworden. Volgens deze tekening is vr dus gelijk aan dr/dt = ṙ. Dit is precies wat we in de berekening gevonden hebben.

Het voorwerp is ook een hoek dθ opgeschoven. De afstand AC die in de draairichting is afgelegd is gelijk aan rdθ (dit is de algemene formule voor een segment van een cirkel. Voor een hele cirkel is dθ gelijk aan 2π en krijg je de gebruikelijke omtrek 2πr). De bijbehorende snelheid vθ is dus gelijk aan rdθ/dt = rθ̇. Ook dit hebben in de berekening gevonden.

Als we terug gaan naar de onderstaande afbeelding, dan zien we dat de lengte van de totale snelheidsvector met de stelling van Pythagoras gelijk moet zijn aan:

$$ v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 $$ $$ v = \sqrt{\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2} $$

Op gelijke wijze kunnen we de versnelling in poolcoördinaten vinden. Als je dit uitwerkt vindt je:

$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ddot{r}\cos{\theta} - 2\dot{r}\dot{\theta}\sin{\theta} - r\ddot{\theta}\sin{\theta} - r\dot{\theta}^2\cos{\theta} \\\ddot{r}\sin{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}\cos{\theta} + r\ddot{\theta}\cos{\theta} - r\dot{\theta}^2\sin{\theta} \end{pmatrix}= $$ $$ (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{r} + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}) \hat{\theta} $$

Er geldt hier dus:

$$ a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = \ddot{r} - \frac{v_\theta^2}{r} $$ $$ a_\theta = 2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta} $$

Zoals je kan zien bestaat de versnelling in de radiusrichting uit twee termen. De eerste geeft ons de versnelling in de radiusrichting. De tweede is de zogenaamde middelpuntzoekende versnelling. In het hoofdstuk over cirkelbewegingen hebben we geleerd dat dit de versnelling is die een voorwerp nodig heeft om in een cirkelbaan te blijven.

Bolcoördinaten

We kunnen de positie van een voorwerp ook weergeven in bolcoördinaten (r,θ,φ) (zie de volgende afbeelding).

De relatie tussen de cartesische en de bolcoördinaten wordt gegeven door:

$$ x = r \sin \theta \cos \phi $$ $$ y = r \sin \theta \sin \phi $$ $$ z = r \cos \theta $$


Training


  1. In de volgende assenstelsel zijn twee punten weergegeven:
    1. Geef bij de volgende twee punten het (x,y)-coördinaat en het (r,θ)-coördinaat.
    2. Met de volgende formule kan je poolcoördinaten omschrijven in cartesische coördinaten: $$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos{\theta} \\ r\sin{\theta} \end{pmatrix} $$ Laat zien dat je voor de bovenste twee punten de juiste waarde vindt bij het omschrijven.
  2. In de volgende assenstelsel zijn twee vectoren weergegeven:
    1. Ontbind de vectoren in een vx- en een vy-component.
    2. Ontbind de vectoren in een vr- en een vθ-component.
  3. Laat met een tekening en een berekening zien dat de eenheidsvectoren voor r en θ worden gegeven door: $$ \hat{r} = \begin{pmatrix} \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \end{pmatrix} \\ \hat{\theta} = \begin{pmatrix} -\sin{\theta} \\ \cos{\theta} \end{pmatrix} $$ Gebruik voor de tweede eenheidsvector eventueel dat: $$ \cos(\theta+90^\circ) = -\sin(\theta) \\ \sin(\theta+90^\circ) = \cos(\theta) $$
    1. Reken na dat geldt dat: $$ \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{r}\cos{\theta} - r\dot{\theta}\sin{\theta} \\ \dot{r}\sin{\theta} + r\dot{\theta}\cos{\theta} \end{pmatrix} $$
    2. Laat met behulp van het antwoord van a) zien dat geldt dat: $$ v_r = \dot{r} \\ v_\theta = r\dot{\theta} $$
    1. (EXTRA) Reken na dat geldt dat: $$ \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ddot{r}\cos{\theta} - 2\dot{r}\dot{\theta}\sin{\theta} - r\ddot{\theta}\sin{\theta} - r\dot{\theta}^2\cos{\theta} \\\ddot{r}\sin{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}\cos{\theta} + r\ddot{\theta}\cos{\theta} - r\dot{\theta}^2\sin{\theta} \end{pmatrix} $$
    2. Laat met behulp van het antwoord van a) zien dat geldt dat: $$ a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \\ a_\theta = 2\dot{r}\dot{\theta} - r\ddot{\theta} $$
  4. Een planeet draait in een cirkelbaan om de oorsprong met een constante snelheid. Schrijf vr, vθ, ar en aθ in de simpelste vorm voor deze situatie.
  5. Een planeet draait in een elipsbaan om de oorsprong. Schrijf vr, vθ, ar en aθ in de simpelste vorm voor deze situatie.