In deze paragraaf gaan we elektrische en magnetische velden iets formeler wiskundig beschrijven. We zullen hiermee uiteindelijk de zogenaamde wetten van Maxwell afleiden. We zullen ons in deze paragraaf nog even beperken tot elektrische en magnetische velden die niet veranderen in de tijd.


Vectorcalculus

Voordat we beginnen de wetten van Maxwell kunnen afleiden, is het eerst van belang dat we goed kunnen rekenen met vectoren. We beginnen met het zogenaamde inproduct tussen twee factoren. Er geldt:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} \equiv AB \;\cos(\theta) $$

De letters met een pijl erboven zijn vectoren. De letters zonder pijl staan voor de lengte van deze vectoren. De hoek θ is de hoek tussen de twee vectoren. We hebben zoiets dergelijk als een keer gezien in de definitie van de arbeid:

$$ W = Fs \; \cos(\theta) $$

Dit kunnen we dus ook schrijven als:

$$ W = \vec{F} \cdot \vec{s} $$

Als de vectoren loodrecht op elkaar staan, dan geldt θ = 90o en vinden we:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 $$

Voor twee vectoren die in dezelfde richting wijzen geldt θ = 0o en vinden we:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = AB $$

Een vector in drie dimensies heeft drie componenten:

$$ \vec{A} = A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z} $$

Het inprodukt van twee van dit soort vectoren wordt:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z}) \cdot (B_x\hat{x} + B_y\hat{y} + B_z\hat{z}) = $$ $$ A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z $$

Bij het uitwerken van de haakjes hebben we gebruikt dat het inprodukt van twee eenheidsvectoren die loodrecht opelkaar staan nul levert. Het inprodukt van twee dezelfde eenheidsvectoren levert het getal 1.

$$ \hat{x} \cdot \hat{x} = \hat{y} \cdot \hat{y} = \hat{z} \cdot \hat{z} = \cos{0^\circ} = 1 $$ $$ \hat{x} \cdot \hat{y} = \hat{x} \cdot \hat{z} = \hat{y} \cdot \hat{z} = \cos{90^\circ} = 0 $$

Ook definieren we de del-operator:

$$ \nabla = \partial_x\hat{x} + \partial_y\hat{y} + \partial_z\hat{z}$$

Een inprodukt van de del-operator met een vector wordt een divergentie genoemd. Er geldt:

$$ \nabla \cdot \vec{A} = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z$$

Als we de divergentie zouden omschrijven in poolcoördinaten (geen zorgen, dit gaan we niet doen), kan je zien dat de divergentie van een vectorveld nul wordt als dit veld om de oorsprong cirkelt. We hebben een dergelijk veld bijvoorbeeld gezien bij een magneetveld om een draad.

Naast het inprodukt bestaat ook het kruisproduct. Hier geldt:

$$ \vec{A} \times \vec{B} \equiv AB \; \sin{\theta} \; \hat{n}$$

De n met het dakje is een eenheidsvector die loodrecht staat op beide vectoren. We vinden de richting van deze vector met de rechterhandregel die hieronder is afgebeeld. De eerste vector in het kruisproduct wijst in de richting van de wijsvinger en de tweede vector in de richting van de middelvinden. De duim wijst dan in de richting van de vector n.

We hebben een dergelijke structuur al eens gezien bij de lorentzkracht:

$$ \vec{F}_L = l(\vec{I} \times \vec{B}) $$

Bijzonder bij het kruisproduct is dat de volgorde van de vermenigvuldiging ertoe doet. Als we B×A doen in plaats van A×B, dan wijst nu de wijsvinger in de richting van B en de middelvinger in de richting van A. Als gevolg wijst de duim nu in de tegenovergestelde richting. Dit levert een extra minnetje op:

$$ \vec{B} \times \vec{A} = - \vec{A} \times \vec{B} $$

Om het kruisproduct in componenten uit te drukken gebruiken we:

$$ \hat{x} \times \hat{x} = \hat{y} \times \hat{y} = \hat{z} \times \hat{z} =0 $$ $$ \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \hat{y} \times \hat{x} = -\hat{z} $$ $$ \hat{y} \times \hat{z} = \hat{x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \hat{z} \times \hat{y} = -\hat{x} $$ $$ \hat{z} \times \hat{x} = \hat{y} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \hat{x} \times \hat{z} = -\hat{y} $$

We vinden hiermee:

$$ \vec{A} \times \vec{B} = (A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z}) \times (B_x\hat{x} + B_y\hat{y} + B_z\hat{z}) = $$ $$ (A_yB_z - A_zB_y)\hat{x} + (A_zB_x - A_xB_z)\hat{y} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{z} $$

Het kruisproduct met de del-operator met een vector wordt een rotatie genoemd. Er geldt:

$$ \nabla \times \vec{A} = (\partial_yA_z - \partial_zA_y)\hat{x} + (\partial_zA_x - \partial_xA_z)\hat{y} + (\partial_xA_y - \partial_yA_x)\hat{z} $$

Als we dit omschrijven naar poolcoördinaten, dan kan je zien dat de rotatie nul wordt voor een vectorveld dat naar de oorsprong wijst of van de oorsprong af wijst. We hebben een dergelijk veld bijvoorbeeld gezien bij een elektrisch veld om een puntlading.

Als je doorrekent met deze vectoren, dan blijken ook de volgende twee uitspraken waar:

$$ \nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = 0 $$ $$ \nabla \times (\nabla \times \vec{v}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2\vec{v} $$

We gaan in dit hoofdstuk ook twee wiskundige theorema's nodig hebben. De eerste is het theorema van Gauss:

$$ \oint \vec{A} \cdot d\vec{a} = \int (\nabla \cdot \vec{A})dV $$

De tweede is het theorema van Stokes:

$$ \int (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{a} = \oint \vec{A} \cdot d\vec{l} $$

Electrostatica

We zullen eerst de elektrische velden bestuderen van een collectie stilstaande ladingen. We noemen dit de elektrostatica. We gebruiken hiervoor de wet van Coulomb, die we eerder in dit hoofdstuk al gezien hebben. In vectornotatie wordt dit:

$$ \vec{F} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0r^2}\hat{r} $$

In plaats van de constante f hebben we hier gebruik gemaakt van de constante 4πε0. Deze notatie zal formules laten in het hoofdstuk versimpelen. De eenheidsvector r is een vector van lengte 1 die van Q naar q loopt.

Met F/Q = E vinden we dan het elektrisch veld voor een puntlading gelijk is aan:

$$ \vec{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0r^2}\hat{r} $$

Nu gaan we de lading q iets anders schrijven, zodat deze niet alleen voor een puntlading geldig is, maar voor elke willekeurige ladingsverdeling. We gaan hiervoor een formule gebruiken die lijkt op de dichtheid:

$$ m = \int \rho dV $$

We kunnen de lading van een voorwerp namelijk aan beschijven met de ladingsdichtheid (we gebruiken hierovor ook het symbool ρ):

$$ q = \int \rho dV $$

We vinden hiermee:

$$ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho \hat{r}}{r^2} \; dV $$

In principe kan je met deze formule alle electrostatische fenomenen beschrijven. Het loont echter ook met deze formule twee van de wetten van Maxwell af te leiden. We gebruiken hiervoor de flux van het elektrisch veld door een oppervlak. Er geldt:

$$ \Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{a} $$

Als we een puntlading q in de oorsprong plaatsen en dan de flux bepalen door een bolvormig oppervlak met straal r om de oorsprong, dan vinden we:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}\oint \hat{r} \cdot d\vec{a} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2} 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} $$

Met q = ∫ ρ dV wordt dit:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \int \frac{\rho}{\epsilon_0} dV $$

Als we hier het theorema van Gauss op toepasen, dan vinden we:

$$ \int (\nabla \cdot \vec{E})dV = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV$$

Er moet dus gelden dat:

$$ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

We noemen dit zowel de wet van Gauss. Dit is tevens één van de vier wetten van Maxwell. We hebben deze wet nu alleen bewezen voor een puntlading. Met een algemener bewijs kunnen we laten zien dat deze formule voor elke ladingsverdeling geldt.

Naast de divergentie, kunnen we ook de rotatie van het elektrisch veld uitrekenen. Omdat het elektrisch veld van een puntlading van de lading af of naar de lading toe wijst, vinden we dat de rotatie nul moet zijn:

$$ \nabla \times \vec{E} = 0 $$

Ook dit is één van de vier wetten van Maxwell. Elk elektrostatisch veld moet voldoen aan deze twee wetten van Maxwell. Ook deze formule geldt voor alle ladingsverdelingen.


Magnetostatica

We gaan nu magnetische velden bestuderen die niet veranderen in de tijd. Deze magneetvelden ontstaan door constante stromen van lading. We noemen dit de magnetostatica. De rol die de wet van Coulomb innam in de elektrostatica, wordt nu vervuld door de wet van Biot-Savart. Er geldt:

$$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec{J} \times \hat{R}}{R^2}dV $$

J is hier de stroomdichtheid. Hierover later meer. Wij gaan deze formule echter direct versimpelen naar het veld voor een oneindig lange rechte ééndimensionale stroomdraad. In dat geval versimpelt de formule tot:

$$ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\hat{\theta} $$

r is hier de afstand vanaf de draad. De eenheidvector van θ geeft aan dat het veld om de draad heen draait. De richting van dit veld is zoals altijd te bepalen met de rechterhandregel.

Een lijnintegraal in een cirkelbaan op straal r levert:

$$ \oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \oint \hat{\theta} \cdot d\vec{l} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} 2\pi r = \mu_0I $$

Tot nu toe hebben we altijd gedaan alsof stroom altijd door een één-dimensionale draad loopt. In werkelijkheid loopt stroom natuurlijk door een drie-dimensionale draad. De stroom die door een oppervlak da stroomt noemen we de stroomdichtheid (J). Er geldt:

$$ I = \int J \cdot d\vec{a} $$

Als de deze uitspraak in de vorige formule stoppen, dan vinden we:

$$ \oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 \int \vec{J}\cdot d\vec{a} $$

Als we Stoke's theorema hierop toepassen, van vinden we:

$$ \int (\nabla \times \vec{B}) \cdot d\vec{a} = \mu_0 \int \vec{J}\cdot d\vec{a} $$

Er geldt dus:

$$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0\vec{J} $$

We noemen dit de wet van Ampère. Ook dit is één van de vier wetten van Maxwell.

Naast de rotatie, kunnen we ook de divergentie van het magnetisch veld uitrekenen. Omdat het magnetisch veld van een recht draad om deze draad heen cirkelt, vinden we dat de divergentie nul moet zijn:

$$ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $$

Ook dit is één van de vier wetten van Maxwell. Elk magnetisch veld moet voldoen aan deze twee wetten van Maxwell.