In deze paragraaf gaan we leren hoe we in de natuurkunde met behulp van meetwaarden een grafiek maken. In de bovenbouw gaan we ook leren hoe we een formule kunnen opstellen bij een grafiek.

Een goede manier om metingen weer te geven is met behulp van tabellen en grafieken. Hieronder zien we bijvoorbeeld een tabel met daarin de valtijd van een voorwerp bij verschillende hoogten. Belangrijk is om bij elke kolom de grootheid te schrijven en daarachter tussen haakjes de eenheid.

Hoogte (m)    Tijd (s)
0   0
10   1,4
20   2,0
30   2,5
40   2,9

Van deze tabel kunnen we de volgende grafiek maken:

Er zijn een aantal belangrijke regels voor het maken van grafieken in de natuurkunde:

Hieronder zien we nog een voorbeeld van een trendlijn. Wederom zien we hier een vloeiende lijn. Merk op dat deze lijn niet recht hoeft te lopen. Ook in dit voorbeeld zien we een paar meetfouten. De meetwaarde met de grootste meetfout is omcirkeld.



Als je de grafiek afleest, dan is het belangrijk niet naar de meetpunten te kijken, maar naar de trendlijn zelf. De individuele meetpunten kunnen immers meetfouten bevatten.


4VWO
Van een grafiek kunnen we een formule maken. Als een grafiek recht is en door de oorsprong gaat, dan spreken we van een recht evenredig verband. De bijbehorende formule heeft de volgende vorm: $$ y = ax $$ De constante a is hier gelijk aan de helling van de grafiek. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd. De helling wordt gegeven door: $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$ In het onderstaande voorbeeld vinden we dat de constante a gelijk is aan: $$ \frac{3,5}{6,0} = 0,58 $$

In de volgende grafiek zien we een kwadratisch verband. De formule hiervoor is: $$ y = ax^2 $$ Om ook hier de waarde voor a te vinden, moeten we van de grafiek eerst een rechte lijn maken. Dit wordt lineariseren genoemd. In dit voorbeeld doen we dit door als variabele voor de x-as niet de x te nemen, maar de x2. Hieronder hebben we x2 uitgerekend voor een aantal waarden. In de grafiek rechtsonder zien we dat deze meetwaarden inderdaad een rechte lijn opleveren.

x x2 y
0,00 0,00 0,00
1,00 1,00 0,25
2,00 4,00 1,00
3,00 9,00 2,25


De helling van deze rechte lijn is: $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1,5}{6,0} = 0,25 $$ De formule wordt dus: $$ y = 0,25 x^2 $$ In de onderstaande afbeelding zie je nog een aantal andere verbanden die vaak voorkomen. Het is van belang dat je deze verbanden uit je hoofd kent.

Laten we een praktisch voorbeeld bespreken. Stel we willen de relatie tussen de lengte van een slinger en de slingertijd bestuderen. In een grafiek linksonder zien we een aantal metingen die horen bij dit experiment. Als je deze grafiek vergelijkt met de bovenstaande grafieken, dan herken je hier een wortelverband in. Er geldt dus:

$$ T = a \sqrt{L} $$

Als we a willen bepalen, dan moeten we de grafiek lineariseren. Op de x-as schrijven we nu niet L, maar √L. Het resultaat hiervan zie we in de afbeelding rechtsboven. De helling is hier gelijk aan: $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6,0}{3,0} = 2,0 $$ De formule wordt dus: $$ T = 2,0 \sqrt{L} $$ De formule voor de slingertijd wordt volgens BINAS gegeven door: $$ T = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \sqrt{L} $$ De letter g is hier gelijk aan de zogenaamde valversnelling. Als we deze formule vergelijken met de formule die we gevonden hebben op basis van onze metingen, dan vinden we: $$ 2,0 = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} $$ Als we deze formule omschrijven, dan kunnen we de valversnelling g uitrekenen: $$ g= \left( \frac{2\pi}{2,0} \right)^2 = 9,9 \text{ m/s}^2 $$ Zoals je ziet komen we in de buurt van de correcte waarde 9,81 m/s2. Als we nog nauwkeuriger hadden gemeten, dan hadden we nog dichter bij deze waarde uitgekomen.








Training
    Tekenen van grafieken en tabellen op basis van meetwaarden
  1. (2) Een leerling laat water uit een grote bak stromen en meet om de paar seconden hoeveel water er nog in de bak zit. De leerling zet zijn metingen in het volgende diagram.

    1. Teken de grafiek in het bovenstaande diagram.
    2. Omcirkel de twee grootste meetfouten.
  2. (2) Geef bij de volgende diagrammen aan wat er ontbreekt of niet klopt:

  3. (2) Hieronder zien we een grafiek van de massa en het volume van een aantal stukjes van hetzelfde soort glas.
    1. Wat is de dichtheid van dit glas?
    2. Waarom staan de meetpunten niet helemaal precies op een lijn?

  4. (2) Een leerling heeft vier voorwerpen van een onbekend materiaal. De leerling meet de massa en het volume van deze voorwerpen en schrijft de meetgegevens in deze tabel:

    massa (kg)        volume (m3)       
    10 0,017
    30 0,052
    60 0,103
    80 0,138

    1. Maak een grafiek bij deze tabel met op de horizontale as de massa en op de verticale as het volume.
    2. Van welk materiaal zouden deze voorwerpen gemaakt kunnen zijn?
  5. (2) Een leerling heeft een aantal voorwerpen die van hetzelfde materiaal zijn gemaakt. Hij meet van deze voorwerpen de massa en het volume en zet deze gegevens in een tabel:

    massa (kg) volume (dm3)    
    5 0,6   
    8 0,9   
    10 1,4   
    13 1,5   
    18 1,6   
    20 2,4   
    27 3,0   

    1. Maak een diagram van deze tabel met op de horizontale as de massa en op de verticale as het volume.
    2. Omcirkel de twee metingen met de grootste meetfout.
    3. Van welk materiaal kunnen deze voorwerpen gemaakt zijn?
  6. (2) Teken een grafiek waarin je het verband weergeeft tussen de massa en het volume van lood. Zet op de horizontale as de massa in kg en laat dit lopen van 0 tot 30 kg in stapjes van 10 kg.
  7. (2) Een heliumballon stijgt op in de atmosfeer. Bevestigd aan de ballon zit een klein apparaatje waarmee om de paar kilometer de dichtheid van de lucht in de atmosfeer gemeten wordt. De meetgegevens staan in de onderstaande tabel:
    Hoogte (km) Dichtheid lucht (kgm-3)
    2,5 0,94
    5,0 0,69
    7,5 0,50
    10,0 0,37
    12,5 0,27
    15,0 0,19

    1. Teken de grafiek met op de horizontale as de hoogte en op de verticale as de dichtheid.
    2. Bepaal met behulp van de grafiek op welke hoogte de luchtdichtheid gehalveerd is.
    3. De ballon heeft een massa van 2,0 gram en is met 3,0 liter helium gevuld. Bepaal met behulp van de grafiek hoe hoog de heliumballon maximaal zal opstijgen.
  8. (2) Noteer waar je op moet letten bij het maken van een grafiek in de natuurkunde.

    9. Lineariseren van grafieken en het bepalen van de helling
  9. (4V) Een persoon doet onderzoek naar de relatie tussen de uitwijking van een veer en de veerkracht. De metingen zijn hieronder weergegeven:

    De formule die de veerkracht beschrijft is: $$ F = Cu $$ C wordt de zogenaamde veerconstante genoemd en deze is afhankelijk van het type veer dat gebruikt is. Bepaal met behulp van de grafiek de grootte van de veerconstante van de veer.
  10. (4V) In het onderstaande diagram zijn een aantal metingen zichtbaar waarbij gekeken wordt naar de relatie tussen de frequentie en de energie van licht:
    1. De meetwaarden suggereren een recht evenredig verband. Leg uit hoe je dit kan zien.
    2. De formule die bij deze grafiek hoort is: $$ E = hf $$ E is hier de energie van het licht en f de frequentie ervan. Bepaal met behulp van de grafiek de constante h.
  11. (4V) Hieronder zien we een grafiek waarin het verband tussen de valtijd en valhoogte van een voorwerp is weergegeven.
    1. Lineariseer de grafiek en toon hiermee aan om welk verband het gaat.
    2. De bijbehorende formule is: $$ h = \frac{1}{2}gt^2 $$ s is hier de aflegde weg van het voorwerp en t de valtijd. Bepaal met behulp van de grafiek de valversnelling g.
  12. (4V) Beschrijf hoe je een grafiek lineariseert en hoe je hiermee belangrijke constanten kan bepalen.
  13. (4V) In de onderstaande tabel zie we het resultaat van metingen aan het verband tussen de golflengte en de frequentie van geluid.
    Frequentie (Hz) Golflengte (m)
    300 1,14
    310 1,11
    320 1,07
    330 1,04
    340 1,01
    350 1,00
    360 0,95
    370 0,93
    380 0,90
    390 0,88
    400 0,86
    De relatie tussen de golflengte en de frequentie kan worden beschreven met de volgende vergelijking: $$ v = f\lambda $$ Maak van de tabel een gelineariseerde grafiek en bepaal hiermee de grootte van de geluidsnelheid v.
  14. (4V) De luchtwrijvingskracht wordt gegeven door: $$ F = \frac{1}{2}c_w \rho A v^2 $$ ρ is hier de dichtheid van de lucht, A het frontale oppervlak het voorwerp, v de snelheid van het voorwerp en cw een constante die o.a. afhangt van de vorm van het voorwerp.
    Een persoon wil cw bepalen voor een bepaald voorwerp. Het voorwerp heeft een frontaal oppervlak van 0,050 m2. Gebruik de metingen in de volgende tabel om cw te vinden. Lineariseer hiervoor eerst de grafiek.
    Snelheid (m/s) Wrijvingskracht (N)
    1 0,030
    2 0,103
    3 0,232
    4 0,413
    5 0,645
    6 0,929
    7 1,264
    8 1,651
  15. (4V) Hieronder zien we een grafiek waarin het verband tussen de lichtintensiteit en de afstand tot een lichtbron wordt weergegeven. Ga door te lineariseren na of we hier te maken hebben met een omgekeerd evenredig verband of een omgekeerd kwadratisch verband.
  16. (4V) In de onderstaande tabel kan je metingen zien van een experiment waarbij gekeken is naar de trillingstijd van een blokje aan een veer. Telkens zijn blokjes met een verschillende massa gebruikt.
    Massa (g) Trillingstijd (s)
    10 0,063
    20 0,089
    30 0,109
    40 0,126
    50 0,140
    60 0,154
    1. Lineariseer de bijbehorende grafiek.
    2. De bijbehorende formule is: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$ Bepaal met behulp van je grafiek de constante C.
  17. (4V) In de 17de eeuw vond Kepler het volgende verband tussen de omlooptijd van een planeet (T) en de afstand van de planeet tot de zon (r): $$ r^3 = a T^2 $$
    1. Maak met behulp van BINAS een gelineariseerde grafiek van dit verband. Gebruik hiervoor de omlooptijd en de afstand r van de Mercurius, Venus, Aarde en Mars. Je kan deze waarden in BINAS vinden.
    2. Newton bewees later dat de formule geschreven kon worden als: $$ \frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2} $$ G is hier de gravitatieconstante (zie BINAS 7) en M staat voor de massa van de zon. Bepaal met behulp van de grafiek de massa van de zon.
  18. (4V) Als je blaast langs de opening van flessen is een toon te horen. Voor sommige soorten flessen wordt de frequentie van het geluid gegeven door: $$ f = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{Vl}} $$ Een leerling wil de geluidsnelheid bepalen met behulp van zo'n fles. De leerling gebruikt een fles met een opening met oppervlak A = 2,54 × 10-4 m2 en een halslengte l = 0,070 m. De leerling vult de fles dan met water, zodat het volume lucht V in de fles aangepast kan worden. Bij verschillend volume meet de leerling dan de frequentie van het geluid:
    V (10-6 m3) f (102 Hz)
    94 3,3
    172 2,4
    298 1,9
    448 1,6
    630 1,3

    De resultaten worden in de volgende grafiek gezet:
    1. Leg uit wat de eenheid langs de horizontale as moet zijn.
    2. Geef de reden dat de grafiek door de oorsprong moet gaan.
    3. Bereken de geluidssnelheid met behulp van de gegeven functie.
    4. Je ziet dat de frequentie-metingen zijn gegeven in 2 significante cijfers, maar dat de helling van de getekende lijn gegeven is in 3 significante cijfers. Geef de reden dat hierbij het aantal significante cijfers toeneemt.
    (Bron: examen VWO 2016-2)